历届全国中学生数学竞赛试题Word下载.docx

1、 x2n）= （a1）（1 x1）2 x22 = （a1）（x2 + + xn）2 x22 -370最后一步是由于x2, x3, . . . , xn 0, （x2 + + xn）2 = x22 + + x2n +2 ij nxixjx22 + + x2n.逆命题的证明:对于任意的1i AC,B为锐角.则OF 垂 直 平 分 线 段BC,由 外 心 的 性 质,C为 锐 角 时,OAB = OBA =1 2C） = 90 C.又因为AD BC, CAD = 90 C, OAB = DAC.类似地,当C为直角或钝角时也有OAB = DAC.由AE平分BAC,BAE = CAE. OAE = DA

2、E.（由于F, D在E两侧）.A为锐角时,O, A在BC同侧,F AE OAE = DAE. AOB） =2,其余xk均等于0.则 2（ai + aj）4（ai2（180sin F AE FEAFF E = F D DE = AF 2 AD2 DE = m2 122 5 0. m 13,m21225512m= 1; 1.解得当13 m 3.设z1, z2, . . . , zn为复数,满足|z1| + |z2| + + |zn| = 1.求证:上述n个复数中,必存在若干个复数,它们的和的模不小于 16.设zk = xk + yki（xk, yk R, k = 1, 2 . . . , n）将所

3、有的zk分为两组X,Y.若|xk|yk|,则将zk放入X中;若|yk|xk|,则将zk放入Y中. 其中必有一组中所有复数模长之和不小于 12.不妨设为X.再将X中的复数分为两组A,B.若xk0,则将zk放入A中;若xk0,则将zk放入B中. 其中必有一组中的所有复数摸长之和不小于 41.不妨设为A.则 |zk|zkA而对于zk A,x2kyk2,x2k + yk22xk.4 2即A中复数之和的模不小于 16.证毕.xk + iyk|xk另证:则|zk| =|xk| + |yk|.n|xk| + |yk|1.k=1 |xk 0xk| + |xkyk 0yk| + |yk其中必有一项不小于 14,

4、不妨设为第一项,则 |xk|zk| = |4 16.证毕.4.已知:四边形P1P2P3P4的四个顶点位于三角形ABC的边上.四个三角形 P1P2P3,P1P2P4,P1P3P4,P2P3P4 中,至少有一个的面积不大于 ABC的面积的四分之一.有两种情况:（1）四个顶点在两条边上;（2）四个顶点在三条边上.（1）不妨设P1, P4在AB上,P2, P3在AC上,P1, P2分别在AP4, AP3上. 将B移至P4,C移至P3,三角形ABC的2由正弦定理 sin DAE = DE AD .其中DE =AE2 AD2 = 5,且A为锐角等价于A为直角等价于A为钝角等价于 1;119 时,A为锐角;

5、119 时,A为直角;119 时,A为钝角.4,即4. |而4 2 c,最小的数为c,最大的数出现在线段AB的任意结点上. 当n为偶数时,与C最近的为AB中点,最短距离为当n为奇数时,与C最近的为AB中点向两边偏 21n的点,最短距离为 123+（2）将这个三角形绕中心旋转 32, 43弧度,得到的两个三角形也满足题意（2）. 将这三个三角形对应结点的数相加形成的三角形也满足（2）,三个顶点上的数均为a + b + c.由（1）的分析知所有结点上的数均为a + b + c. 共 21（n + 1）（n + 2）个结点, S = 13（ 12（n + 1）（n + 2）（a + b + c） =

6、 16（n + 1）（n + 2）（a + b + c）.3.某次体育比赛,每两名选手都进行一场比赛, 每场比赛一定决出胜负,通过比赛确定优秀选手, 选手A被确定为优秀选手的条件是:对任何其它选手B, 或者A胜B,或者存在选手C,C胜B,A胜C. 结果按上当6|n + 2时,令z = ei 3 = e+2 i, z （ 12 2 i）3 3 z 1 = 0有模为1的复根.6 ,k2 .n2 .述规则确定的优秀选手只有一名, 求证:这名选手一定胜所有其它选手.假设该优秀选手为A,且存在其他选手胜A.设B为所有胜A的人中胜的场次最多的一个,由B不是优秀选手,必存在选手C使得C胜B, 且不存在选手D

7、使得B胜D,D胜C. 由B胜A,C也胜A,且C胜B胜过的所有人.C至少比B多胜一场,且C胜A,与B的选取矛盾.所以A胜所有人.4.在一个面积为1的正三角形内部,任意放五个点,试证:在此正三角形内, 一定可以作三个正三角形盖住这五个点, 这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边, 并且它们的面积之和不超过0.64.100在面积为1的正三角形ABC中,在AB上取A1, B2,AC上取A2, C1,BC上取B1, C2, 使得AA1 = AA2 =BB1 = BB2 = CC1 = CC2 =（1）若 AB2C1,BC2A1,CA2B1中有一个至少包含五个点中的三个,另两个点可分别用面积为 2 的

8、13=169+ .（2）菱 形AA1A0A2, BB1B0B2, CC1C0C2中 有 两 个 有 两 个 点,另 一 个 中 有 一 个 点, 则 可 用 两 个 边 长为 136 AB的正三角形和一个面积为的正三角形覆盖. 面积之和为2（ 136 ）2 + （3）菱形AA1A0A2, BB1B0B2, CC1C0C2中有两个有一个点,另一个中有两个点, 不妨设为AA1A0A2,则B1B0C0C2中有一个点,不妨设这个点更靠近B, 则可用一个边长为 136 AB的正三角形覆盖AA1A0A2中两个点, 用一个边长为 136 AB的正三角形覆盖BB1B0B2, B1B0C0C2中的点. 用一个面

9、积为的正三角形覆盖最后一个点, 面积之和为（ 136 ）2 + （ 138 ）2 + =+ .证毕.注:当五个点取为A, B, C, A0, B0C0中点是不难证明不能用三个面积之和为 100的正三角形覆盖这五个5.设A1A2A3A4是一个四面体, S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球, 它们两两相外切.如果存在一点O, 以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切, 还可以作一个半径为R的球和四面体的各棱都相切,求证:这个四面体是正四面体.设Si的半径为ri（i = 1, 2, 3, 4）,则AiAj = ri + rj（14）.

10、设O到A2A3A4的投影为O1,由O到A2A3,A3A4,A4A2的距离相等, 得到O1到 A2A3A4的三边距离相等.即O1为 A2A3A4的内心,设O到A2A3的投影为B,即O1到A2A3的投影. 而BA3 = 21（A2A3 + A3A4 A2A4） = r3,OB = R. 若半径为r的球与四个球均外切,则A3O = r +r3,（r +r3）2 = r32 +R2, r3 =R2r22r.若半径为r的球与四个球均内切,则A3O = rr3,（rr3）2 = r32+R2, r3 =r2R2类似可求得r1, r2, r4均为该值,所以该四面体各条棱长相等为正四面体.6.m个互不相同的正

11、偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987, 对于所有这样的m与n,问3m + 4n的最大值是多少?请证明你的结论.设m个正偶数为a1 a2 am,n个正偶数为b1 b2 0）.13AB.连结A1C2, A2B1, B2C1交于A0, B0, C0.正三角形覆盖, 面积之和为（ 10）2 + 2 点. 即 169 + （ 0）为最优.设s = 3m + 4n,m = 13（s 4n）, 13（s 4n）（ 13（s 4n） + 1） + n21987.2 2s2 + （3 8n）s + 25n2 12n 9 19870.s 3+61987 14 n2）.不难知道n = 35时,f（n）有最大值

12、280 + 6762 14.所以s+ 6 762 14 3）,由s N, s221.又当s = 221, n = 35, m = 27.取2, 4, . . . , 52, 60, 1, 3, . . . , 69为和为1987的35个正奇数与27个正偶数,所以3m + 4n的最大值为221.6s 8ns + 25n + 3s 12n 9 所以判别式 = （3 8n） 4（25n 12n 9 1987） = 26（1987 41 n2） 0.2（8n设f（n） = 8n + 6 1987 14 n2, f （n） = 8 6n（1987 14 n2） 2 ,又n为奇数.2（280第三届中国数学

13、奥林匹克（1988年）上海 复旦大学1.设a1, a2, . . . , an是给定的不全为零的实数, r1, r2, , rn为实数,如果不等式r1（x1 a1） + r2（x2 a2） + + rn（xn an）对任何实数x1, x2, , xn成立,求r1, r2, , rn的值.x21 + x22 + + x2n a21 + a22 + + a2n令xi = 0（i = 1, 2, . . . , n）,（r1a1 + r2a2 + + rnan）n n （ riai）2 a2.i=1 i=1令xi = 2ai（i = 1, 2, . . . , n）,r1a1 + r2a2 + +

14、rnan （ riai）2 = a2.n n n n由Cauchy不等式, （ r2）（ a2） （ riai）2, r2i=1 i=1 i=1 i=1 a21 + a22 + + a2n.又令xi = ri（i = 1, 2, . . . , n）,i=1ri2 riaia2i .由riai =a2i ,ri2ri2,不难解得ri = （i = 1, 2, . . . , n）. + anr1a1r2a2= =rn2.设C1, C2为 同 心 圆,C2的 半 径 是C1的 半 径 的2倍, 四 边 形A1A2A3A4内 接 于C1, 设A4A1延 长 线 交圆C2于B1, A1A2延长线交C

15、2于B2, A2A3延长线交圆C2于B3, A3A4延长线交圆C2于B4.试证:四边形B1B2B3B4的周长 2（四边形A1A2A3A4的周长）.并确定等号成立的条件.设圆心为O,连结OB1, OB4, OA4,设C1的半径为R,C2的半径为2R.在四边形B4A4OB1中,由Ptolemy定理,OA4 B1B4 + OB1 A4B4OB4 A4B1.R B1B4 + 2R 2R A4B1,即B1B42A4B1 2A4B4.同理B1B22A1B2 2A1B1,B2B32A2B3 2A2B2,B3B42A3B4 2A3B3.相加得B1B2 + B2B3 + B3B4 + B4B12（A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A1）.即四边形B1B