1、初等数论教案 第八节 一次不定方程第八节 一次不定方程教学目的:1、掌握一次不定方程的一些简单性质;2、掌握一次不定方程有解的判别条件;3、会解二元、三元一次不定方程.教学重点:有解的判别条件、求解二元、三元一次不定方程.教学课时:4课时教学过程设a1, a2, , an是非零整数,b是整数,称关于未知数x1, x2, , xn的方程()a1x1 a2x2 anxn = b (1)是n元一次不定方程.若存在整数x10, x20, , xn0满足方程(1),则称(x10, x20, , xn0)是方程(1)的解,或说x1 = x10,x2 = x20,xn = xn0是方程(1)的解.1、定理1
2、 方程(1)有解的充要条件是(a1, a2, , an)b. (2)证明:记d = (a1, a2, , an).若方程(1)有解,设为(x1, x2, , xn).则由dai(1 i n)及整除的性质容易知道式(2)成立. 必要性得证.另一方面,存在整数y1, y2, , yn使得a1y1 a2y2 anyn = (a1, a2, , an) = d.因此,若式(2)成立,则就是方程(1)的解,充分性得证. 证毕2、定理2 设a,b,c是整数,方程ax by = c (3)若有解(x0, y0),则它的一切解具有, tZ (4)的形式,其中.证明:容易验证,由式(4)确定的x与y满足方程(3
3、). 下面证明,方程(3)的解都可写成式(4)中的形式.设(x, y)是方程(3)的解,则由ax0 by0 = ax by = c得到a(x x0) = b(y y0),.由此,以及得到x x0,因此存在整数t,使得.证毕定理1和定理2说明了解方程(3)的步骤:() 判断方程是否有解,即(a, b)c是否成立;() 利用辗转相除法求出x0,y0,使得ax0 by0 = (a, b);() 写出方程(3)的解3、定理3 设a1, a2, , an, b是整数,再设 (a1, a2, , an 1) = dn 1,(a1, a2, , an) = dn,则(x1, x2, , xn)是方程(1)的
4、解的充分必要条件是存在整数t,使得(x1, x2, , xn, t)是方程组 (5)的解.证明:若有整数t,使得(x1, x2, , xn, t)是方程组(5)的解,则显然(x1, x2, , xn)满足方程(1).设(x1, x2, , xn)是方程(1)的解,则a1x1 a2x2 an 1xn 1 anxn = b. (6)令a1x1 a2x2 an 1xn 1 = b,则 dn 1 = (a1, a2, , an 1)b.因此,存在tZ,使得a1x1 a2x2 an 1xn 1 = dn 1t, (7)再由式(6),得到dn 1t anxn = b,即(x1, x2, , xn, t)满
5、足方程组(5). 证毕定理3说明了求解n元一次不定方程的方法:先解方程组(5)中的第二个方程,再解方程组(5)中的第一个方程,于是,解n元一次不定方程就化为解n 1元一次不定方程.重复这个过程,最终归结为求解二元一次不定方程. 记(a1, a2) = d2,(d2, a3) = d3,(dn 2, an 1) = dn 1,(dn 1,an) = dn,逐个地解方程dn 1tn 1 anxn = b,dn 2tn 2 an 1xn 1 = dn 1tn 1, d2t2 a3x3 = d3t3,a1x1 a2x2 = d2t2,并且消去中间变量t2, t3, , tn 1,就可以得到方程(1)的
6、解.例1 求不定方程3x 6y = 15的解.解 (3, 6) = 315,所以方程有解.由辗转相除法(或直接观察),可知x = 1,y = 1是3x 6y = 3的解,所以x0 = 5,y0 = 5是原方程的一个解.由定理2,所求方程的解是, tZ.例2 求不定方程3x 6y 12z = 15的解.解 原方程等价于x 2y 4z = 5. (8)由定理3,依次解方程t 4z = 5,x 2y = t,分别得到 , uZ, (9), vZ. (10)将式(9)与式(10)中的t消去,得到, u, vZ.注:本例在解方程时,首先将原方程化为等价方程(8),这使问题简化. 例1也可以如此处理.例3
7、 设a与b是正整数,(a, b) = 1,则任何大于ab a b的整数n都可以表示成n = ax by的形式,其中x与y是非负整数,但是n = ab a b不能表示成这种形式.解 () 由定理2,方程ax by = n (11)的解具有, tZ (12)的形式,其中x0与y0满足方程(11).由假设条件n ab a b及式(11)与式(12),有ax = n by = n b(y0 at) ab a b b(y0 at). (13)取整数t,使得0 y = y0 at a 1,则由式(13)得到ax ab a b b(a 1) = a,x 1,x 0,即n = ax by,x 0,y 0.()
8、 设有x 0,y 0,使得ax by = ab a b, (14)则a(x 1) b(y 1) = ab. (15)所以ab(y 1).但是(a, b) = 1,于是必有ay 1,y 1 a.同理可以证明x 1 b,从而a(x 1) b(y 1) 2ab,这与式(15)矛盾,所以 (14) 式是不可能的.例4 设a,b,c是整数,(a, b) = 1,则在直线ax by = c上,任何一个长度大于的线段上至少有一个点的坐标都是整数.解 由定理2,直线ax by = c上的坐标都是整数的点(xt, yt)的坐标是, tZ,其中(x0, y0)是直线ax by = c上的坐标都是整数的点,由定理1
9、,这样的点是存在的.对于任意的tZ,记Pt是以(xt, yt)为坐标的点,则Pt 1与Pt 之间的距离.这说明,两个“相邻的”坐标是整数的点的距离是,从而得出所求之结论.例5 将写成三个分数之和,它们的分母分别是2,3和5.解 设,则15x 10y 6z = 19.依次解方程5t 6z = 19,15x 10y = 5t,得到, uZ, (16), vZ. (17)从式(16)与式(17)中消去t,得到, u, vZ.取u = 0,v = 0,得到x = 1,y = 1,z = 4,因此.例6 甲物每斤5元,乙物每斤3元,丙物每三斤1元,现在用100元买这三样东西共100斤,问各买几斤?解 设
10、买甲物x斤,乙物y斤,丙物z斤,则5x 3y z = 100,x y z = 100.消去z,得到7x 4y = 100. (18)显然x = 0,y = 25是方程(18)的解,因此,方程(18)的一般解是, tZ因为x 0,y 0,所以0 t 3.即t可以取值t1 = 0,t2 = 1,t3 = 2,t4 = 3. 相应的x,y,z的值是(x, y, z) = (0, 25, 75),(4, 18, 78),(8, 11, 81),(12, 4, 84).例7 求不定方程x 2y 3z = 7的所有正整数解.解 依次解方程 t 3z = 7,x 2y = t,得到 , uZ, vZ.从上式
11、中消去t,得到, u, vZ. (19)要使x 1,y 1,z 1,则应有3u 2v 0,v 1,1 u 0. (20)所以3u 2v 2,u 1 u 1,即 u = 1.由此及式(20),有3 2v 0,v 1 v 1,所以v = 1.将u = 1,v = 1代入式(19),得到原方程的唯一的一组正整数解x = 2,y = 1,z = 1.二、小结三、作业 1. 将写成三个既约分数之和,它们的分母分别是3,5和7.2. 求方程x1 2x2 3x3 = 41的所有正整数解.3. 求解不定方程组:.4. 甲班有学生7人,乙班有学生11人,现有100支铅笔分给这两个班,要使甲班的学生分到相同数量的
12、铅笔,乙班学生也分到相同数量的铅笔,问应怎样分法?5. 证明:二元一次不定方程ax by = n,a 0,b 0,(a, b) = 1的非负整数解的个数为 1.6. 设a与b是正整数,(a, b) = 1,证明:1, 2, , ab a b中恰有个整数可以表示成ax by(x 0,y 0)的形式.1. 设,即35x 21y 15z = 17,因(35, 21) = 7,(7, 15) = 1,117,故有解.分别解5x 3y = t,7t 15z = 17得x = t 3u,y = 2t 5u,uZ,t = 11 15v,z = 4 7v,vZ, 消去t得x = 11 15v 3u,y = 2
13、2 30v 5u,z = 4 7v,u,vZ.对于任意的确定的u和v的值,都给出一种表示法.2. 分别解x1 2x2 = t,t 3x3 = 41得x1 = t 2u,x2 = u,uZ,t = 41 3v,x3 = v,vZ,消去t得x1 = 41 3v 2u,x2 = u,x3 = v,u,vZ.由此得原方程的全部正整数解为(x1, x2, x3) = (41 3v 2u, u, v),u 0,v 0,41 3v 2u 0.3. 消去x1得9x2 14x3 = 3,解得x2 = 9 14t,x3 = 6 9t,tZ,从而得不定方程组的解为x1 = 43 55t,x2 = 9 14t,x3
14、= 6 9t,tZ,4. 设甲、乙班的学生每人分别得x,y支铅笔,则7x 11y = 100,解这个不定方程得x = 8,y = 4.5. 二元一次不定方程ax by = n的一切整数解为,tZ,于是由x 0,y 0得,但区间的长度是,故此区间内的整数个数为 1.6. 因为0, 1, 2, , ab a b中共有(a 1)(b 1)个数,故只须证明n与g n(g = ab a b)有且只有一个能表示成ax by(x 0,y 0)的形式.如果n与g n都能表示成ax by(x 0,y 0)的形式,即ax by = n(x 0,y 0),ax by = g n(x 0,y 0),则a(x x) b(y y) = g,这是不可能的;如果n不能表示成ax by(x 0,y 0)的形式,则因为二元一次不定方程ax by = n的一切整数解为,tZ,所以当t使0 x b 1时,必有y 1,于是a(b 1 x) b(1 y) = g n,即g n能表示成ax by(x 0,y 0)的形式.
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