任一偶数均可表为两个奇素数之差a.docx

1、任一偶数均可表为两个奇素数之差a“任一偶数均可表为两个奇素数之差”简捷证明王若仲 （务川自治县实验学校 贵州564300）摘要：“任一不小于4的偶数，偶数均可表为两个均不大于偶数2的奇素数之差”确实存在一种简捷的证明方法，即就是证明存在有“奇素数-奇素数”的情形可以转换到奇素数的个数和奇合数的个数上来加以分析，即通过顺筛和逆筛的办法，从而得到“任一不小于4的偶数，偶数均可表为两个均不大于偶数2的奇素数之差”的一种简捷证明。关键词：奇素数 奇合数 顺筛 逆筛我们知道，只能被1和本身整除的正整数，称为素数。定义1：我们把既是奇数又是合数的正整数，称为奇合数。引理1：对于任一正整数M（M2），关于某

2、一奇素数p，pM，设集合p，2p，3p，mp中元素个数与集合 1，2，3，4,5,6，M 中元素个数的比值为t，则（1）、当mp=M时，t=1/p；（2）、当mpM时，t1/p。其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数。证明：因为集合p，2p，3p，mp有个元素，集合1，2，3，4, 5, 6，M有M个元素，（）、当mp=M时，t=m/mp=1/p；（）、当mpM时，又因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，那么mpM，而t=m/Mm/mp1/p。综上所述，引理1成立。引理2：对于任一奇数M（M2），关于某一奇素数p，pM，设集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中元素个数与

3、集合1，3，5，7，9，M中元素个数的比值为t,则（1）、当（2m-1）p=M时，t1/p；（2）、当（2m-1）p+p-1=M时，t1/p；（3）、当（2m-1）p+p-1M时，t1/p；（4）、当（2m-1）p+p-1M时，t1/p；其中（2m-1）p为该形式下不大于正整数M的最大奇数。证明：因为集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p有m个元素,集合1，3，5，7，9，M有(M+1)/2 个元素（）、当（2m-1）p=M时，则(M+1)/2=(2m-1)p/2mp,所以t=2m/(M+1)1/p ；（）、当（2m-1）p+p-1=M时，则(M+1)/2=mp，所以t=m/mp=1/

4、p ； （）、当（2m-1）p+p-1M时，则(M+1)/2mp，所以t=2m/(M+1)1/p；（）、当（2m-1）p+p-1M时，则(M+1)/2mp，所以t=2m/(M+1) 1/p。综上所述，引理2成立。引理3：对于一个相当大的正整数M，关于任一小于正整数M的奇素数p，设集合p，2p，3p，mp中元素个数与集合1，2，3，4,5,6，M中元素个数的比值为t，则t1/p（其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数）。证明：对于任一奇素数p，集合p，2p，3p，mp有m个元素，集合1，2，3，4, 5, 6，M有M个无素（）、当mp=M时，t=m/mp=1/p；（）、当mpM时，因为mp

5、为该形式下不大于正整数M的最大正整数，那么mpM，我们令M=mp+h，那么hp，所以mpM=mp+h（m+1）p，则m/（m+1）pt=m/Mm/mp，因为正整数M相当大，那么正整数m也相当大，故t1/p。综上所述，引理3成立。引理4：对于一个相当大的奇数M，关于任一小于奇数M的奇素数p，设集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中元素个数与集合1，3，5，7，9，M中元素个数的比值为t，则t1/p（其中（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数）。证明：对于任一奇素数p，集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p有m个元素，集合1，3，5，7，9，M有(M+1)/2 个元素（）

6、、当（2m-1）p=M时，(M+1)/2 =mp-（p-1）/2，因为m/（mp-p）= m/（m-1）p，M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，则m/（mp-p）= m/（m-1）p1/p，即m/mp-（p-1）/21/p，t1/p；（）、当（2m-1）p+p-1=M时，(M+1)/2=mp，则t=m/mp=1/p；（）、当（2m-1）p+p-1M时，我们令（2m-1）p+p-1+h=M，然而1hp+1，这是因为（2m-1）p 为该形式下不大于奇数M的最大奇数，我们令h=p，则(M+1)/2 =mp+p/2（m+1）p，即mpmp-（p-1）/2（m+1）p，M为相当大的奇数，那么m也

7、为相当大的正整数，m/（m+1）p1/p，故t1/p；（）、当（2m-1）p+p-1M时，我们令（2m-1）p+p-1-h=M，然而1hp-1，这是因为（2m-1）p 为该形式下不大于奇数M的最大奇数，我们令h=p-1，则(M+1)/2 =mp-（p-1）/2（m-1）p，即（m-1）pmp-（p-1）/2mp，M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，m/（m-1）p1/p，故t1/p。综上所述，引理4成立。引理5：对于任一比较大的正整数M，设奇素数p1，p2，p3，pt均为不大于M的全体奇素数（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t），那么在区间M，M中任何一个奇合数a，奇合数a均能

8、被集合p1，p2，p3，pt中某一个奇素数pi整除。证明：设奇数a为区间M，M中的一个奇合数，那么奇数a总可以分解为两个均不小于3的奇数的积，具体分析如下：（1）、当M =bc，如果b=c，b和c均为素数，那么M =b2=c2；则素数b为不大于M；（2）、当M =bc，如果b=c，b和c均为大于M的素数，那么Mbc，即奇合数bc不可能是区间M，M中的一个奇合数，这种情形与已知情形产生矛盾；（3）、当M =bc，如果b=c，b和c均为奇合数，那么奇合数b中必有一个奇素数因子q小于M；（4）、当M =bc，如果bc，b和c均为奇合数，那么奇合数c中必有一个奇素数因子q小于M；（5）、当M =bc，

9、如果bc，b和c均为奇素数，那么奇素数c小于M；（6）、设奇数a为区间M，M中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a M，如果b=c，b和c均为素数，那么b素数为小于M奇素数；（7）、设奇数a为区间M，M中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a M，如果b=c，b和c均为奇合数，那么奇合数b中必有一个素数因子p小于M；（8）、设奇数a为区间M，M中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a M，如果bc，b和c中一个为素数和一个为合数，那么奇数b和c必为一大一小的奇数，不妨设小的一个奇数为素数，则小的一个素数必为小于M的奇素数；（9）、设奇数a为区间M，M中的一个奇合数，令奇合数a=bc，a M，如果bc，b

10、和c中一个为素数和一个为合数，那么奇数b和c必为一大一小的奇数，不妨设大的一个奇数为素数，那么小的一个奇数必为奇合数，不妨令小的一个奇数为c，则奇合数c总可以分解为素因子的乘积，其中任何一个素因子必为小于M的奇素数；（10）、其它情形同理可得出同样的结论。综上所述，引理5成立。引理6：对于一个相当大的奇数M，关于任何两个均小于正整数M的奇素数p和q（pq），若在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中的全体元素和筛除属于集合q，3q，5q，7q，9q，（2m-1）q中的全体元素，则有下列等式成立：W1-（1/p+1/q）+1/pq= W（1-1/p）

11、-（1-1/p）/q=W（1-1/p）（1-1/q）。其中W为集合1，3，5，7，9，M中元素的个数，（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m-1）q为该形式下不大于奇数M的最大奇数。证明：对于一个相当大的奇数M，由引理4可知，关于任一小于奇数M的奇素数g，那么集合g，3g，5g，7g，9g，（2m-1）g中元素个数与集合1，3，5，7，9，M中元素个数的比值约等于1/g，其中（2m-1）g为该形式下不大于奇数M的最大正整数；那么任何两个均小于正整数M的奇素数p和q（pq），若要在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中的全体元素和筛除

12、属于集合q，3q，5q，7q，9q，（2m-1）q中的全体元素，则有W-（W/p+W/q）+W/pq= W1-（1/p+1/q）+1/pq= W（1-1/p）-（1-1/p）/q=W（1-1/p）（1-1/q），其中W为集合1，3，5，7，9，M中元素的个数。故引理6成立。引理7：对于一个相当大的奇数M，设奇素数p1，p2，p3，pt均为不大于M的全体奇素数（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t），若要在集合1，3，5，7，9，M中筛除全体奇合数，那么只须在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合p1，3p1，5p1，7p1，9p1，（2m-1）p1中的全体元素，筛除属于集合p2，3p2

13、，5p2，7p2，9p2，（2m-1）p2中的全体元素，筛除属于集合p3，3p3，5p3，7p3，9p3，（2m-1）p3中的全体元素，筛除属于集合pt，3pt，5pt，7pt，9pt，（2m-1）pt中的全体元素；并且有下列等式成立：W1-（1/p1+1/p2+1/p3+1/pt）+（1/p1p2+1/p1p3+1/p1p4+1/pt-1pt）-（1/p1p2p3+1/p1p2p4+1/p1p2p5+1/pt-2pt-1pt）+（-1）t1/p1p2p3pt-2pt-1pt=W（1-1/p1）（1-1/p2）（1-1/p3）（1-1/pt-1）（1-1/pt）。其中W为集合1，3，5，7，9

14、，M中元素的个数，（2m-1）p1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m-1）p2为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m-1）p3为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m-1）pt-1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m-1）pt为该形式下不大于奇数M的最大奇数。证明：因为W（1-1/p1）（1-1/p2）（1-1/p3）= W1-（1/p1+1/p2+1/p3）+（1/p1p2+1/p1p3+1/p2p3）-（1/p1p2p3），又因为在区间M，M中的任何一个奇合数a，奇合数a均能被集合p1，p2，p3，pt中某一个奇素数pi整除，故由引理4和引理5以及引理6可知引理7成立。定义2：

15、在集合1，3，5，7，9，（M-3），（M-1）中筛除属于集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中的全体元素，这种筛除方式，称之为顺筛；其中M为比较大的偶数，p为小于偶数M的奇素数，（2m-1）p为该形式下小于偶数M的最大奇数。引理8：设有一个相当大的正整数M，对于任一小于正整数M的奇素数p，集合p，2p，3p，mp中的元素个数为m，其中mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，则mM/p。证明：（）、当mp=M时，则m=M/p；（）、当mpM时，因为mp为该形式下不大于正整数M的最大正整数，则mM/p。综上所述，引理8成立。引理9：设有一个相当大的奇数M，对于任一小于奇数M的奇素数p

16、，集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p中的元素个数为m，其中（2m-1）p为该形式下不大于奇数M的最大奇数，则mM/p。证明：对于任一小于奇数M的奇素数p，集合p，3p，5p，7p，9p，（2m-1）p有m个元素，集合1，3，5，7，9，M有(M+1)/2 个元素（）、当（2m-1）p=M时，(M+1)/2 =mp-（p-1）/2，因为mp-（p-1）/2/p（m-1）p/p=（m-1），M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，故mM/p；（）、当（2m-1）p+p-1=M时，(M+1)/2=mp，则m=M/p；（）、当（2m-1）p+p-1M时，我们令（2m-1）p+p-1+h

17、=M，然而1hp+1，这是因为（2m-1）p 为该形式下不大于奇数M的最大奇数，我们令h=p，则(M+1)/2 =mp+p/2（m+1）p，即mpmp-（p-1）/2（m+1）p， M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，故mM/p；（）、当（2m-1）p+p-1M时，我们令（2m-1）p+p-1-h=M，然而1hp-1，这是因为（2m-1）p 为该形式下不大于奇数M的最大奇数，我们令h=p-1，则(M+1)/2 =mp-（p-1）/2（m-1）p，即（m-1）pmp-（p-1）/2mp，M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，故mM/p。综上所述，引理9成立。定义3：对于某一偶数2m

18、，mN，m4，若a-b=2m，其中a和b中至少有一个为奇合数，则称a和b为关于偶数2m的负合对子，记为2m（ab）。定义4：对于某一偶数2m，mN，m4，若a-b=2m，其中a和b均为奇素数，则称a和b为关于偶数2m的负素对子，记为2m（ab）。定义5：对于某一偶数2m，mN，m4，若a-b=2m，其中a和b中一个为奇素数一个为奇合数，则称奇素数的一个为关于偶数2m的负虚合数，特别当b 为1时，仍称a为关于偶数2m的负虚合数，记为2m（p）。定义6：在集合M，（M+1），（M+3），M+（2m-3）p，M+（2m-1）p中筛除属于集合（M+p），（M+3p），（M+5p），（M+7p），（M+

19、9p），M+（2m-1）p中的全体元素或者在集合1，3，5，7，9，（M-1），M 中筛除属于集合（2m-a1）pM，（2m-a2）pM，（2m-a3）pM，（2m-1）p- M中的全体元素，这种筛除方式，称之为逆筛；其中M为比较大的偶数，p为小于偶数M的奇素数，（2m-a1）p为该形式下大于偶数M的最小奇数，（2m-1）p为该形式下小于偶数2M的最大奇数。定理1：任一不小于4的偶数H，偶数H均可表为两个均不大于该偶数H两倍的奇素数之差。证明：对于任一比较大的偶数2m，mN，我们设奇素数p1，p2，p3，pr均为不大于2m的全体奇素数（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，r），rN；设奇素

20、数p1，p2，p3，pt均为不大于4m的全体奇素数（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t），tN。 因为偶数2m=（4m-1）-（2m-1）=（4m-3）-（2m-3）=（4m-5）-（2m-5）=（4m-7）-（2m-7）=（2m+3）-3=（2m+1）-1。对于“奇数-奇数=2m”的情形，则有下列几种情形：1、 奇合数-奇合数=2m，2、 奇合数-奇素数=2m，3、 奇素数-奇合数=2m，4、 奇素数-奇素数=2m，5、 奇合数-1=2m，6、 奇素数-1=2m，所以关于“2m=奇数-奇数”的情形，我们具体分析如下：（）、对于偶数2m，设不大于偶数2m的全体奇数组成的集合为1，3，5

21、，7，9，H，u为集合1，3，5，7，9，H中元素的个数，设不大于偶数4m的全体奇数组成的集合为1，3，5，7，9，M，W为集合1，3，5，7，9，M 中元素的个数，由引理5可知，若要在集合1，3，5，7，9，M中筛除全体奇合数，那么只须在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p1中的全体元素，筛除属于集合3p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p2中的全体元素，筛除属于集合3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3中的全体元素，筛除属于集合3pr，5pr，7pr，9pr，（2mr-1）pr中的全体元素，筛除属于集合3pt，5pt，

22、7pt，9pt，（2mt-1）pt中的全体元素。其中（2m1-1）p1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m2-1）p2为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m3-1）p3该形式下为不大于奇数M的最大奇数，（2mr-1）pr为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2mt-1-1）pt-1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2mt-1）pt为该形式下不大于奇数M的最大奇数。（）、我们令集合A=3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p13p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p23p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p33pr，5pr，7pr，9pr，（2mr-1）pr3pt，

23、5pt，7pt，9pt，（2mt-1）pt，则集合A中的元素均为奇合数。设关于偶数2m的全体负虚合数组成的集合为B，由定义9可知，因为集合AB中的任一元素都能组成负合对子，所以只要我们探讨得出关于偶数2m的全体负虚合数组成的集合B与全体奇合数组成集合A的并集不包含集合1，3，5，7，9，M；那么集合1，3，5，7，9，M与集合AB的差集中的任一元素必然都能组成负素对子，即集合1，3，5，7，9，M与集合AB的差集中至少有两个奇素数p和q，使得p-q=2m。（1）、当偶数2m中含有奇素数因子pi（i=1，2，3，t）时，对于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中任一奇数g

24、，奇数（g-2m）（2mg4m）和奇数（2m+g）（0g2m）仍能被奇素数pi整除；说明奇数（g-2m）和奇数（2m+g）为奇合数或者为关于偶数2m的负虚合数。若在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中的全体元素，其中（2mi-1）pi为该形式下不大于偶数4m的最大奇数，由引理4和引理6以及引理7可知，那么筛除后集合1，3，5，7，9，M中剩下元素的个数X可转化为下列计算公式：X=W-W/pi=W（1-1/pi）。（2）、当偶数2m中不含有奇素数因子pi（i=1，2，3，t）时，对于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-

25、1）pi中任一奇数g：、当奇数g小于偶数2m时，则奇数（2m+g）不能被奇素数pi整除；、当奇数g大于偶数2m而小于偶数4m时，则奇数（g-2m）不能被奇素数pi整除；其中（2mi-1）pi为该形式下不大于偶数4m的最大奇数。和说明奇数（2m+g）或（g-2m）（除g=pi外）为奇合数或者为关于偶数2m的负虚合数。在集合1，3，5，7，9，M中除了要筛除属于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中的全体元素，同时在集合1，3，5，7，9，M中还要筛除和中的全部情形，即要筛除4m以内pi的全体奇数倍（除pi1外）；还要筛除2m以内pi的全体奇数倍分别加上2m所得的奇数; 还

26、要筛除2m至4m以内3的全体奇数倍分别减去2m所得的奇数;那么由第（2）的情形和引理4以及引理6和引理7以及引理8和引理9可知，则筛除后集合1，3，5，7，9，M中剩下元素的个数X可转化为下列计算公式：X=W-2W/pi=W（1-2/pi）。（3）、在集合1，3，5，7，9，M中筛除属于集合p1，3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p1中的全体元素，筛除属于集合p2，3p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p2中的全体元素，筛除属于集合p3，3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3中的全体元素，筛除属于集合3pr，5pr，7pr，9pr，（2mr-1）pr中的全体元素

27、筛，筛除属于集合pt，3pt，5pt，7pt，9pt，（2mt-1）pt中的全体元素，以及筛除关于偶数2m的全体负虚合数；根据上述（1）和（2）中分析的情形，由引理5和引理7以及引理8可知，我们可以把按照上述这样的情形筛除后集合1，3，5，7，9，M中最后剩下元素的个数转化为下列计算公式：Y=tt-1321W（1-d1/p1） 1（1-d2/p2）2（1-d3/p3） 3t-2（1-dt-1/pt-1） t-1（1-dt/pt） t，其中di=1或2（i=1，2，3，t）。第1、当偶数2m中含有奇素数因子pi时，那么di取值为1；第2、当偶数2m中不含有奇素数因子pi，（2m-pi）为奇素数时

28、那么di取值为2。对于上述计算公式Y=tt-1321W（1-d1/p1） 1（1-d2/p2）2（1-d3/p3） 3t-2（1-dt-1/pt-1） t-1（1-dt/pt） t而言，由上述第（2）和第（3）分析的情形可得，原因是：Y1=W（1-d1/p1）；Y2=W（1-d1/p1）- W（1-d1/p1）d2/p2=21W（1-d1/p1）1（1-d2/p2） 2；Y3=21W（1-d1/p1） 1（1-d2/p2） 2- 21W（1-d1/p1） 1（1-d2/p2）2d3/p3+e3=321W（1-d1/p1） 1（1-d2/p2） 2（1-d3/p3） 3；Yt=Y=tt-1321

29、W（1-d1/p1） 1（1-d2/p2） 2（1-d3/p3） 3t-2（1-dt-1/pt-1） t-1（1-dt/pt） t。所以从上述（1）和（2）以及（3）中分析的情形可知，实际上可能没有被筛除的奇数的个数比数值Y要大得多。（）、我们假定偶数2m中均不含有奇素数因子p1，p2，p3，pt；并且把奇数p1，（2m+p1），p2，（2m+p2），p3，（2m+p3），pt，（2m+ pt）等等均看作要筛除；那么可得如下情形：X1=W（1-2/p1），由第（）中（2）的情形可知，当偶数2m中不含有奇素数因子pi（i=1，2，3，t）时，对于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi

30、-1）pi中任一奇数g：、当奇数g小于偶数2m时，则奇数（2m+g）不能被奇素数pi整除；、当奇数g大于偶数2m而小于偶数4m时，则奇数（g-2m）不能被奇素数pi整除；在集合1，3，5，7，9，M中除了要筛除属于集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中的全体元素，同时在集合1，3，5，7，9，M中还要筛除和中的全部情形，即要筛除4m以内pi的全体奇数倍，还要筛除2m以内pi的全体奇数倍分别加上2m所得的奇数， 还要筛除2m至4m以内3的全体奇数倍分别减去2m所得的奇数，又因为集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）pi中的全体元素的个数与在集合1，3，5，7，9，M中要筛除和中的全部情形的全体元素的个数相等，并且集合pi，3pi，5pi，7pi，9pi，（2mi-1）