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1、常见的机器学习数学知识点资料常见的机器学习&数据挖掘知识点原文：一只鸟的天空(常见的机器学习&数据挖掘知识点之Basis SSE(Sum of Squared Error, 平方误差和)SSE=i=1n(XiX)2 SAE(Sum of Absolute Error, 绝对误差和)SAE=i=1n|XiX| SRE(Sum of Relative Error, 相对误差和)SREi=1nXiXX MSE(Mean Squared Error, 均方误差)MSE=ni=1(XiX)2n RMSE(Root Mean Squared Error, 均方根误差)，又称SD(Standard Devi

2、ation, 标准差)RMSE=ni=1(XiX)2n MAE(Mean Absolute Error, 平均绝对误差)MAE=ni=1|XiX|n RAE(Root Absolute Error, 平均绝对误差平方根)RAE=ni=1|XiX|n MRSE(Mean Relative Square Error, 相对平均误差)MRSEni=1XiXXn RRSE(Root Relative Squared Error, 相对平方根误差)RRSEni=1XiXXn Expectation(期望)&Variance(方差)期望是描述一个随机变量的“期望值”，方差反映着随机变量偏离期望的程度，偏离

3、程度越大哦，方差越大，反之则相反。对于离散随机变量X，其期望为：E(X)=i=1xip(xi)其中p(x)为随机变量的X的分布率(概率分布).其方差为：D(X)=i=1xiE(X)2p(xi)对于连续变量X，其期望为：E(X)=+xf(x)dx其中f(x)为随机变量的X的概率密度分布.其方差为：D(X)=+xE(X)2f(x)dx对于Yg(X)(g是连续函数)，则Y的期望为：X是离散随机变量：E(Y)=E(g(x)=i=1g(xi)p(xi)X是连续随机变量：E(Y)=E(g(x)=+g(xi)f(x)dx常见分布的期望与方差：分布/数字特征期望方差两点分布qpq二项分布npnpq泊松分布均匀

4、分布a+b2112(ba)2指数分布112正态分布2 标准差：标准差为方差的平方根，即：V(X)=D(X) JP(Joint Probability, 联合概率)o 二维离散随机变量X,Y 联合概率分布(分布率)P(x,y)=PX=xi,Y=yi=pijpij0ijpij=ijpij=1 联合分布函数F(x,y)=PXx,Yy=xyP(x,y)o 二维连续随机变量X,Y 联合概率密度f(x,y) 联合分布函数F(x,y)=xyf(u,v)dudvf(x,y)0+f(x,y)dxdy=F(+,+)=1 MP(Marginal Probability, 边缘概率)o 二维离散随机变量 X的边缘分布

5、率pi.=PX=xi=j=1pij,j=1,2,3,. Y的边缘分布率p.j=PY=yi=i=1pij,i=1,2,3,. X的边缘分布函数FX(x)=F(x,+)=PXx=PXx,Y+ Y的边缘分布函数FY(y)=F(+,y)=PYy=PX+,Yyo 二维连续随机变量 X的边缘分布率fX(x)=+f(x,y)dy Y的边缘分布率fY(y)=+f(x,y)dx X的边缘分布函数FX(x)=F(x,+)=x+f(u,y)dydu Y的边缘分布函数FY(y)=F(y,+)=y+f(x,v)dxdv Independence(独立性)若对一切x,y，都有：PXx,Yy=PXxPYy即：F(x,y)=

6、FX(x)FY(y)则随机变量X, Y是互相独立的.对于离散随机变量，等价于：PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj,i,j=1,2,.对于连续随机变量，等价于：f(x,y)=fx(x)fy(y) CP(Conditional Probability, 条件概率)对于离散随机变量，定义为:若PY=yj0：PX=xi|Y=yj=PX=xi,Y=yjPY=yj=pijp.j,i=1,2,.而PY=yj=p.j=i=1pij因此：PX=xi|Y=yj=PX=xi,Y=yjPY=yj=piji=1pij,i=1,2,.上式即为在Y=yj条件下X的条件分布律.同理：PY=yj|X=xi=PX=xi,

7、Y=yjPX=xi=pijj=1pij,j=1,2,.上式即为在X=xi条件下Y的条件分布律.对于连续随机变量，定义为:FX|Y(x|y)=PXx|Y=y=xf(x,y)dxfY(y)FY|X(y|x)=PYy|X=x=yf(x,y)dyfX(x)条件概率密度分别为：fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x) Bayesian Formula(贝叶斯公式)使用已知知识来对先验概率进行修正，得到后验概率，即得到条件概率：P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)ni=1P(Bi)P(A|Bi)P(Bi|A)为后验概率，P(Bi|)为先验概率. CC(Cor

8、relation Coefficient, 相关系数)对于(X,Y)为二维随机变量，若EXE(X)YE(Y)存在，则称它为随机变量X与Y的协方差，记为cov(X,Y)或XY，即：cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y)当D(X)0,D(Y)0时，XY=cov(X,Y)D(X)D(Y)称为随机变量X,Y的相关系数或标准协方差.特别地，cov(X,X)=D(X)cov(Y,Y)=D(Y)因此方差是协方差的特例.若X,Y相互独立，则cov(X,Y)=0，从而XY=0. 同时|XY|1. 若|XY|1，则随机变量X,Y线性相关.+1代表正线性相关，1代表负线性相关，绝对值越大则表明它们之间越相关，若为

9、0，则表示它们互相独立. Covariance(协方差矩阵)若X是由随机变量组成的n列向量，E(Xi)=i，那么协方差矩阵定义如下：=EX1E(X1)X1E(X1).EXnE(Xn)X1E(X1).EX1E(X1)XnE(Xn).EXnE(Xn)XnE(Xn)=EX11X11.EXnnX11.EX11Xnn.EXnnXnn Quantile (分位数)对随机变量X，其分布函数为F(x)，任意给定,01，P(X0，它是一个步长，对于具体取多大的值，一般按照经验进行取，可以从10, 1,0.1,0.01,0.001不断进行尝试而取一个合理的值。而可以刚开始取一个较大值，后面越来越小，这样刚开始步子

10、就大一点，到逐渐接近最优点的时候，放慢脚步，如果这时候过大，就会造成一直在最优点附近震荡。3. 最后，按照步骤2进行迭代更新W，直到目标函数值不再变化，或者变化的范围小于事先设定的阈值。所以，梯度下降算法的一个缺点就是需要确定的值，但是该值并不好确定，需要不断进行尝试和依靠经验。 SGD(Stochastic Gradient Descent, 随机梯度下降) 在梯度下降法中，参数的每一次更新都要使用训练集中的全部的样本(批量梯度下降算法)，这样速度便相对较慢，于是每次更新时随机选择一个样本进行更新参数，这样便能提高计算速度，但每次更新的方向并不一定朝着全局最优化方向. 正规方程求解方法 该方

11、法利用极值点的偏导数为0，即令：WJ(W)=XTXWTXTy=0得到正规方程：XTXW=XTy求解W：W=(XTX)1XTy该方法的时间复杂度为O(n3)，因为需要对矩阵求逆运算，其中n为(XTX)1的特征数量，如果n值很大，那么求解速度将会很慢。对此，Andrew Ng的经验建议是：如果n10000，那么使用梯度下降算法进行求解。同时，如果(XTX)是奇异矩阵，即含有0特征值，那么其便不可逆，一个解决方法便是L2正则，后面将会讲到。 MLE(Maximum Likelihood Estimation, 极大似然估计)在我们已经知道到随机变量的一系列观察值，即试验结果已知(样本)，而需要求得满

12、足该样本分布的参数，于是我们需要采取某种方法对进行估计，在最大似然估计中，我们假定观察的样本是该样本分布下中最大可能出现的，把最大可能性所对应的参数对真实的进行参数估计。o 对于离散随机变量设总体X是离散随机变量，其概率分布P(x;)(注意：与P(x,)的区别，前者中是一个常数，只是值暂时不知道，也就是它是一个确定值，而后者中是一个随机变量)，其中是未知参数. 设X1,X2,.,Xn分别都是取自总体X的样本，我们通过试验观察到各样本的取值分别是x1,x2,.,xn，则该事件发生的概率，即它们的联合概率为：P(X1=x1,X2=x2,.,Xn=xn)假设它们独立同分布，那么联合概率为：P(X1=

13、x1,X2=x2,.,Xn=xn)=i=1nP(xi;)因为xi,i1,2,.,n都是已知的确定的值，那么上式的值取决于，从直观上来说，一件已经发生的事件，那么该事件发生概率应该较大，我们假设该事件的发生概率是最大的，即x1,x2,.,xn的出现具有最大的概率，在这种假设下去求取值.定义似然函数为：()=(x1,x2,.,xn;)=i=1nP(xi;)它是关于的函数.极大似然估计法就是在参数的取值范围内选取一个使得()达到最大值所对应的参数，用来作为的真实值的估计值，即：=argmax(x1,x2,.,xn;)这样，对求解总体X的参数极大似然估计问题转化为求似然函数()的最大值为题，那么求去最

14、大值问题可以使用导函数进行求解.为了便于求解，对似然函数进行ln运算，因为ln为递增函数，那么ln()与()在同一处取得最大值，于是,ln()=lni=1nP(xi;)=i=1nlnP(xi;)对上式进行求导操作，并令导函数为0:dln()d=0解该方程，得到作为真实值的估计.o 对于连续离散随机变量：设总体X是连续随机变量，其概率密度函数为f(x;)，对样本X1,X2,.,Xn观察得到的样本值分别为x1,x2,.,xn，那么联合密度函数为：i=1nf(xi;)则，似然函数为：()=i=1nf(xi;)例：1、父 人 女 虫 禾 立 2、口 田 今 木 人 门同理，按照先前的处理与求解方式，即

15、极大似然估计法，求取theta值.前面所说的使用已知知识对先验概率进行矫正，得到后验概率，便可以用到似然函数，即后验概率先验概率似然函数.o 极大似然估计步骤：1. 由总体分布导出样本的联合概率函数(或联合密度)；2. 把样本联合概率函数(或联合密度)中自变量看成为已知数，而参数作为自变量未知数，得到似然函数()；3. 4. 风字框 （风 凤） 王 王字旁（球玩 ）将似然函数转化为对数似然函数，然后求取对数似然函数的最大值，一般使用求导方法；5. 最后得到最大值表达式，用样本值代入得到参数的极大似然估计值. (4)牧童骑（黄牛），歌声振林越，意欲捕鸣蝉，忽然（闭口立）。一幅画 一个家 一座山

16、一朵云 一片云QP(Quadratic Programming, 二次规划)我们经常用到线性规划去求解一部分问题，然后很多问题是非线性的，而二次规划是最简单的非线性规划，简称QP问题，何为二次规划，即其目标函数是二次函数，而约束条件是线性约束的最优化问题. 用数学语言描述，其标准形式为：minf(x)=12xTGx+gTx定时 时间 房间 帮忙 早晚 送给 干净 伙伴 起立 得到 得意s.t.aTix=bi,iEaTjxbj,jI地（土地）（大地）（田地）（种地）（天地）女 女字旁（好 妈 奶） 心 心字底（想 思 念）zh?ng( 长高 ) l （快乐） zh（一只） kng（有空）（1）春

17、雷跟柳树（说话），（春雨）给柳树洗澡了，（春风）给柳树梳头，柳树跟（孩子们）玩耍了，玩着玩着，小（朋友）们，（长高）了。其中，G是nn的对称矩阵(Hessian矩阵)，E,I分别对应等式约束和不等式约束指标集合，g,x,ai|iE,aj|jI都是n维列向量o o 人字头：全、会、合o 双人旁：得、往、很o o 开关 多少 恨爱 好坏 答问雪（雪白）（雪花）（白雪）（下雪）（雪人）若G正半定，那么QP问题存在全局最优解(凸二次规划)；o o 例：我替爸爸拿拖鞋。 我给妈妈洗手绢。若G正定，那么QP问题存在唯一的全局最优价(凸二次规划)；o o o 一把尺 一双手 一个人 一群人 一堆土课件|教案

18、|试卷|无需注册o o 刂 立刀旁（别 剑 到） 灬 四点底（热 熟）o 宀 宝盖头 （宝 家宁） 土 提土旁（地 场 城）又大又圆 又大又红 又大又甜 又蹦又跳若G不定，那么可能存在非全局的最优解；凸二次规划即二次规划目标函为维凸函数. L1 /L2 Regularization(L1/L2正则)我们在做数据挖掘或机器学些的时候，在训练数据不够时，或者出现过度训练时，往往容易过拟合，即训练时效果特别好，而测试时或者在新数据来临时，模型效果较差，即为模型的泛化能力比较差。随着训练过程不断进行，该模型在training data上的error渐渐减小，但是在验证集上的error却反而渐渐增大因为

19、训练出来的网络过拟合了训练集，对训练集外的数据(测试数据或者新数据)却不work。如下图所示：避免过拟合的方法有很多：early stopping, 数据集扩增(Data augmentation), 正则化(Regularization),Dropout等.o o 一（包）菜子 一（畦）秧苗 一（片）沙滩 两（条）腿o 慢（快） （南）（北） （古）（今） 闲（忙）o o o 红火 红红火火 日夜 日日夜夜（5）、“把”字句与“被”字句互改。2、近义词L1L1正则是一个稀疏规则算子，其是在代价函数(优化目标函数)后面加上参数w绝对值和乘以n，目标函数即为：开关 多少 恨爱 好坏 答问原和园

20、园和圆 进和近 话和画 阳和洋 称和秤一条路 一里路 一只鹅 一群鹅 一根木(4)牧童骑（黄牛），歌声振林越，意欲捕鸣蝉，忽然（闭口立）。例：李老师正忙着改作业呢！F=F0+nw|w|（14）自己学会（生活）的本领，才能成为（真正）的狮子。其中F0为原目标函数，那么新目标函数的导数为：Fw=F0w+nsgn(w)上式中sgn(w)是w的符号函数，0是更新步长，它是一个常数，0是正则项数，它是一个常数，那么参数w的梯度下降算法更新方程为：w:=wF0wnsgn(w)上面的更新方程比原来的多了nsgn(w)这一项. 当w为正时，更新后w变小，为负时则相反，即将w往0值靠，这样对于那些接近0值的参数

21、，那么就可能为0，这样很多w就会趋近于0，这样便起到了稀疏作用，也就是为何叫做”稀疏规则算子”了，这样相当于降低了模型的复杂度，提高模型泛化能力，防止过拟合.任何正则化算子，如果它在等于0处不可微，并且可以分解为一个“求和”的形式，那么这个正则化算子就可以实现稀疏. 也就是这么说，w的L1范数正则是绝对值，而|w|在w=0处是不可微. 其实L0范数正则(L0范数是指向量中非0的元素的个数)，也可以达到稀疏目的，但是现实中为什么不用L0正则呢，因为L0范数正则的优化是一个NP难问题，所以L1范数正则具有更好的优化特性.在w的更新式子中，当w为0时，|w|是不可导的，所以需要按照原始的未经正则化的

22、方法去更新w，即为了方便我们定义sgn(0)=0，这样便统一了所有情况.L1正则的稀疏性特性可能用来进行特征选择，只选择那些重要的，区分能力强的特征，而去掉那些不重要的，区分能力不强的特征. 虽然如果加上这些特征，可能会使得在模型训练时效果更好，但是可能会造成过拟合，从而模型的泛化能力不强.在线性回归中使用L1正则的叫做LASSO(Least Absolute Shrinkage and Selectionator Operator L1正则最小二乘回归).o L2L2范数正则化是在代价函数(优化目标函数)后面加上平方和正则项，即：F=F0+2nww2注意：常数项的w是不带入正则项中的，为了便

23、于区分，将其用b表示.其中F0为原始目标函数，在正则项前面乘以12是为了在求导过程中方便，因为平方项在求导过程中会产生一个2倍，这样便能约掉常数项. 那么新目标函数的导数为：Fw=F0w+nwFb=F0b这样参数的更新方程为:w:=wF0wnw=(1n)wF0wb:=bF0b其中，0是更新步长，它是一个常数，0是正则项数，它是一个常数从w更新方程中可以看出，在不使用L2正则项时，求导结果中的w前的系数为1，而现在前面的系数为(1n)，因为,n都是正数，因此前面的系数小于0，它的效果就是减小w，这就是为何L2正则又被称为“权值衰减”(weight decay).通过L2正则来降低模型的复杂度，提

24、高模型的泛化能力，防止过拟合，并且L2正则本书是一个凸二次函数，这样便有利于优化.在前面所说的正规方程中，若XTX不可逆，则无法进行求解，那么如果加上L2正则项，就变成：W=(XTX+I)1XTy这样(XTX+I)肯定是可逆的.最后通过一张图直观上来区别L1与L2正则，如图:FromPRML上图中使用的模型是线性回归，该模型中有两个特征，要优化的参数分别是w1和w2，左图的正则化是L2，右图是L1. 蓝色线就是优化过程中遇到的等高线，一圈代表一个目标函数值，圆心就是样本观测值(假设一个样本)，半径就是误差值，受限条件就是红色边界(就是正则化那部分)，二者相交处，才是最优参数. 可见右边的最优参数只可能在坐标轴上，所以就会出现0权重参数，使得模型稀疏.从另一个角度上来看，正则化其实就是对模型的参数设定一个先验，这是贝叶斯学派的观点，也是一种理解。L1正则是Laplace先验，L2是高斯先验.o L2.5该正则化集合了L1与L2正则，具有它们两者的优点.