初探数学创新思维的培养.docx

1、初探数学创新思维的培养初探数学创新思维的培养 一、数学创造性思维的含义数学教学中所研究的创造性思维一般是指“创造过程中的思维活动”。这里的创新，一般是对思维主体来说是新颖独到的思维活动，即只要是思维的结果具有创新性质，则他的思维（过程）就是创新思维，它包括发现新事物，提出新见解，揭示新规律，创造新方法，建立新理论，解决新问题等思维过程。创造性思维对一切正常人来说，都是可以产生的，对于数学教学具有重要的现实教育意义。创造性思维的实质就是合理地、协调的运用逻辑思维能力、形象思维以及直觉思维等多种思维方式，使有关信息有序化产生积极的效果。它具有新颖、突破常规和灵活变通的特征。创造性思维是人类最高层次

2、的思维活动，它的产生是多因素，多变量、多层次的交互作用促成的。就其产生的过程的结构而言，可分为四分环节，即创造诱因、信息储备、序化方式和创造结果。前三个环节组成了创造性思维的心理机制。创造诱因是只诱发思维主体产生的创新意识的各种因素，其作用是形成问题情景，促使主体开展积极地、有明确目的思维活动，去努力寻求解决问题的途径。这些诱因包括学生的强烈的创造欲望、兴趣爱好，社会和个人需要，原型或相关信息的启示，旧有的理论或方法的缺陷或矛盾。试图对某种现象做出解释，以及科学的发展的内在逻辑，提出课题或预见性猜想等。创造诱因所产生的问题必须在思维主体的认知结构中是新颖的，才能形成创造机制。信息储备是是指思维

3、主体形成问题情景时的相关信息的质与量是否足以推动问题的解决进程。若主体的认知结构中已具备了相关信息，则主体就能已这些已有的知识为基础展开积极有效地思维活动，使主体逐步逼近问题的解决的目标；若主体的认知结构无充分的信息储备，则主体就要通过观察、实验、查阅资料、钻研相关问题等各种手段获得更多的可靠信息，以形成有关的最佳知识结构，使问题得以圆满的解决。序化方式是指思维主体有效地使用相关信息时所采取的思维方式，它应是系统的、协调的、灵活地运用思维的各种基本方式，特别是形象思维、发散思维和直觉思维等，并借助于其他的科学理论与方法，促进有序信息系统地产生。在数学创新思维产生的机制形成方面，归纳、想象、猜想

4、、直觉、灵感等起着主导作用。从上述创造性思维的发生机制分析，如果思维主体有了想要解决的问题，又具备或搜索到了与这个问题有关的必要信息，并且掌握了有效的灵活变通的思维方式和方法，那么就能最终达到问题的解决，同时培养了学生的创造性思维的能力。二、以创新的精神培养学生的创造性思维数学创造性思维的培养，其关键在于激发学生创造性思维的发生机制，培养过程中首要的便是观念的创新。要用创新精神去培养学生的数学创造性思维，也就是说，学生的创造性思维要靠有创新精神的老师去培养。1、教材内容的创新由于社会发展的需要，数学课本不仅是一些数学知识的介绍，更要体现知识的认识发展过程，而当前的数学课本的编排体系只是侧重于逻

5、辑体系，而不反映认知体系，这就要求教师选择有关的实际的或具体的材料，用来体现抽象知识的认知过程；选择一些发散思维强的教学知识或问题，通过创设问题情景，促进知识探索，形成创造气氛，活跃学生的数学思维。对学有余力的学生，更要敢于适当增删一些材料，或对教材作不同情况的改动，为了沟通某一知识，可以适当插入一些过度知识；为了示范某种类型的计算，可适当补充一些简单的典型例题；为了加强与其他学科的联系，以不“喧宾夺主”为前提，选编一些邻近学科内容为题材的例题；为了扩大学生的知识面，可介绍一些现代科学知识，数学课本中的“读一读”、“想一想”以章头的引入部分等等，都是拓宽知识面的好素材。如学习配方法解一元二次方

6、程时，为了启发学生思维，并促使学生接受知识的同时提高观察、分析和归纳能力。补充了下面的内容，创设问题情景。让学生考虑这样一个问题：如图，若把正方形的每边都增加3厘米后，所得的新正方形的面积为121平方厘米，问原来正方形的边长是多少厘米？（引导学生列出方程（X+3）=121，并解得X= 8）。如果把面积为9平方厘米的第部分拿掉，再把、三部分拼成如图那样的长方形，请用方程表达这长方形的边长与面积的关系。（引导学生列出方程：X（X+6）=112，既X2+6X=112）提出问题：“你会解这样的方程吗？”把图变形为，并提出问题：要把图重新拼成正方形，那就需要加上一个小正方形，所以加的小正方形的边长和面积

7、各是多少呢？补加了小正方形后，表示所得正方形边长和面积关系的方程是什么？（学生得出X+6X+32=112+32,即（X+3）=121）从图可看出，补加小正方形后得到的一个边长为X+3的正方形，这种情况反映在方程上，就是在方程的两边加上一个常数32后变为方程，从而使方程的左边配成了一个完全平方式。于是，我们就可以用直接开平方法来解这个方程了。像这种解方程的方法就是配方法。再提出问题：要使方程的左边人6X成为关于X的完全平方式，方程的两边所添加的常数项与这个方程的哪一项的系数有关？有什么关系？把方程的左边配成完全平方式时，应用了什么公式？（引导学生探索添加的常数与原方程的一次项系数有关，与一次项系

8、数有关，是一次项系数一半的平方。方程左边配方时，应用了公式ab+b2=(a+-b)2。）本课补充了正方形的割补，使其与配方联系起来，促使学生从图形割补中提炼出方程配方的基本步骤，并认识其合理性，产生很强的启迪性，有助于学生认清问题的阐明确解题思路。总之，根据学生的实际和教材适当的增删内容是十分必要的，但要慎重考虑增补内容的深度，绝不能认为超教材越深越好。要关注学生已有的生活经验和知识背景；关注学生的实践活动和直接经验，关注学生的自主探索和合作交流；关注学生的数学情感和情绪体验；使学生投入到丰富多彩充满活力的数学学习过程中去，从而有利于学生自信心和兴趣，激发创造诱因，增加创造性思维的信息储备，以

9、促使学生能力、情感、知识的全面发展。2、教材顺序的创新作为课本，它的编排顺序有其科学的考虑，教学时应遵循教材内在的逻辑规律，但也不一定完全按教材的顺序去实施教学。有时对教材顺序进行适当的地调整，教学效果反而会更好些。有的调整有利于激发学生创造性思维的发生机制，有的调整可节省教学时间，给学生进行创造性的学习提供更多的时间可空间，从而真正提高学习效率。如几何第三册的“锐角三角函数”，首先讲“和余弦”6课时，再讲“正切和余切”3课时，可以改进为锐角的四个三角函数一块给出，再进行有次的对比练习，这样既可以节省教学时数，提高教学效率；又有利于类比思想的形成和发展；还可以有利于系统地掌握锐角的四个三角函数

10、，从而有利于信息储备。3、教学过程设计要突出把学生学习知识的过程当作他们认识过程来看待，引导他们亲身参与、经历对事物的观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律的过程二而要想让学生勇于探索、有所创新，教师应创设引导学生探索的合理情景，创设让学生提出问题和发现矛盾的情景。这样在注意给学生打好基础的前提下，引导学生为解决矛盾寻找突破口去探索、发现，有发现才能有所创新。这个过程即是思维创新的过程，这正是培养学生教学创新思维的必由之路。合理的情景创设要注意学生已有的生活经验、知识背景和认识基础，更要特别注意诱发学生的灵感。灵感，是指人们在长时间地考虑某一问题，久攻不下的情况

11、下，忽然受到外界条件是启示，茅塞顿开，豁然开朗，使问题迎刃而解的短暂过程；是人们在时间活动中逐步形成或培养出来的一种不同常人的高效率、大跨度的创造性思维的表现而灵感的发生常常导致突破和创新。在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生中出现的灵感，对于学生在探究时“违反常识”的提问，“标新立异”的构思，解题时，别出心裁的想法，即使只有一点点新意，都应充分肯定其合理性的、有价值的一面，引导学生进一步思考，扩大思维中的闪光因素。学生往往出自于敢于提问，发现矛盾、解决矛盾的探索过程中的。4、教学方法及手段的创新教学方法是指按照设计的教学过程，根据教学原则，进行教学实中活动的具体方式和手段。现代数学论对教学方法

12、的理解，已从过去强调教学方法是教师的教法发展到在教师的引导下，师生配合进行的教学的方法体系。教学方法名目繁多、各有特点，只有在教学实践依据教学目标、内容，师生实际水平，教学材料和设备进行恰当地组合，有机地结合，灵活地运用，才能达到优化有效。而有利于培养学生数学创新思维的教学方法的选择，应着于启发学生创造诱因和促进有序信息系统的产生，有助于建立学生主动探索、创新及合作学习的教学机制，有助于对学生学习方法的指导和培养，使学生在学会数学的过程中逐渐学会学习，从而培养学生的创造性思维打下更坚实的基础。综合上面所述，通过挖掘教材创造性，选择有利于培养学生的直觉思维和创新思维的教学程序、教法和现代的教学手

13、段，激励学生创造性的心理机制，促进学生多讲、多动手、多猜想、多发现、多创造，在积极思维的过程中，体验发现真理解决问题的甘苦，体验创造的乐趣，获得解决问题的愉悦感受。鼓励学生勇于探索，不断创新。对数学创新思维的认识2005-7-26 15:20:52 来源:中国现代教育众所周知，在数学活动乃至一般的实践活动中，谁都希望自己具有较强的思维能力。这主要取决于一个人的思维品质。思维的发生和发展，既服从于一般的、普遍的规律性，又表现出个性差异，这种个性差异体现在个体思维活动中的智力特征方面就是思维品质，有时也称思维的智力品质。就数学思维来说较为重要的思维品质有深刻性、广阔性、灵活性、创新性、目的性、敏捷

14、性以及批判性。下面就数学思维的创新性谈一谈自己的认识。 思维的创新性与思维活动的独创性、创造性或创造性思维具有相同的含意，只不过创新性强调“新颖”而已，也就是说，创新性是指独立思考创造出有社会(或个人)价值的具有新颖性成分的成果的智力品质。它的特点是主体对知识经验和思维材料进行新颖的组合分析、抽象概括以致达到人类思维的高级形态；它的结果，不论是概念、理论、假设、方案，或是结论，都包括着新的因素，它是一种探新的思维活动。当然，这种新颖不是脱离实际的荒唐，而是具有社会价值的新颖。它可能被人们所忽视或误解，但它的见解或产物，最终会被社会所承认。 在数学教学中，思维的创新性主要表现在学习数学的过程中善

15、于独立地思索、分析和解答问题，提倡探讨与创新精神，当然也包括小发明创造。做为教师，要自觉地启发学生多提问题，提问题是思维的结果，也是创新的开始，不要给学生立下很多规矩，更不要打棍子，即学生在学习过程中常会提出许多不同的看法或新见解，它往往蕴藏着智慧的萌芽，哪怕只有一点点新意，也应充分肯定和大力鼓励。 在中学，思维的创新性更多地表现在发现矛盾以后，把知识融汇贯通，以进攻的姿态，突破矛盾，最终解决问题。例如： 求证： 分析：该题纯从三角去考虑，是较繁琐的。如果想到单位圆上的点，而点，那么欲证命题成立，只须证即可。又数列，故成立。 (方法二)，想到单位圆上的点 ，而点 又对应着向量那么欲证命题成立，

16、只须证即可。又向量可看作力，进而想到大小一样，终端分布在正n边形的n个顶点上的共点于正n边形中心的力系，其合力为零。故成立。证明(略)。 用数学方法解决物理问题似乎理所当然，但反过来用物理方法去解决数学问题却不太被人们重视，但对有些问题这样去做不仅解法新颖，具有创新性，而且强化了各科之间的相互联系、互相渗透。 思维的创新性的反面是思维的保守性，它的主要表现是在数学学习中受到各种条条框框的限制，思维受束缚，不愿多想问题，只求现成的“法规”，而产生思维的惰性。消除思维保守性的有效方法是提倡学生多思和多问几个为什么，在加强基础知识和基本训练的前提下，提倡学生独立思考。 21世纪人才竞争的焦点在于培养

17、具有创新思维的一流人才上。只有具有创新思维的人，才能领导和把握科技发展的潮流。作为教师，对学生创新思维的培养是我们义不容辞的责任，也是我们不断探索的课题。在活动中培养兴趣，在兴趣中深化活动谈高中数学创新思维的培养方超飞内容提要：一个民族的未来在于创新，而创新的根本在于教育。数学教育是进行创新教育的一个重要阵地，它理应肩负培养学生创新意识的重任。在高中数学教学中，不仅要教会学生知识，更重要的是要让学生理解数学的真谛，培养学生学习数学的兴趣，养成探究的习惯，树立创新的意识。本文试从两个方面阐述创新思维的培养。一是培养创新意识的原则，包括激活数学创新欲望，激发数学创新情感，培养数学创新观念。另一方面

18、是培养创新意识的途径，包括指导学生善于归纳总结，形成知识及能力框架；发展求异和批判思维，开发创新潜能；通过定理推广，加强知识间的联系，培养探究能力；培养应用意识，开展研究性学习。从小养成多阅读，爱思考，勤实践，学写作的习惯，打下科学研究的基础，为将来的继续学习积累经验。关键词：创新 兴趣 探究 应用正文：普通高中数学课程标准（实验版）对学生提出了如下要求：提高数学的提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力；发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断；提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不

19、舍的钻研精神和科学态度；具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。同时指出：数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力。总而言之，就是要重视培养学生的创新意识创新意识是指对创新的态度，是一个人对于创

20、新活动所具有的比较稳定的积极的心理倾向，简单地说就是推崇创新，追求创新，以创新为荣，万事都求率先的意识。而数学创新意识则主要表现为对数学创新的态度和认识，是在后天的环境与数学教育影响下形成并发展起来的一种稳定的心理倾向。对于学生而言，数学创新更多的是指学生在学习数学的过程中所表现出来的探索精神，发现问题、提出问题、掌握数学思想方法的强烈愿望以及运用所学知识创造性地解决数学问题或简单的实际问题的能力。可以说这在很大程度上主要表现为一种创新意识。在2000年初（高）中数学教学大纲（试验修订版）中对数学创新意识有更为明确而具体的阐述：数学创新意识主要是指对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求

21、新知、独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，并用数学方法加以探索、研究和解决。1 培养创新意识的原则1 1激活数学创新欲望创新欲望是人类与生俱来的一种本能。小孩子天生的对神话故事，童话世界的向往，以及喜欢游戏等等都是一种创新欲望的体现。人的活动都是有目的的，而目的都是为了需要的满足。所以说，需要是人的活动总动力、总根源（也称内在驱力）。学生的需要是多种多样的，如求知的需要、理解的需要、美的需要、创造的需要、自我实现的需要等。在数学课堂教学中，必须充分考虑学生自身的各种心理需要，每一具体教学环节的实施，都应以满足学生的需要为行动目标，从学生的实际需要出发，实施差异教学，以特定的教学方式和行为引

22、发学生探究、创新的需要。学生一旦形成了这种需要，并能深刻体验这种需要，就会形成一种满足这种需要的内部动力，推动学生去创造性地学习和思考，充分地开发自己的潜能，能使人的创造心理活动全部都处于亢奋状态，为人的创新能力的形成和发展提供不竭的能源。创新人才都有一种追求普遍规律、乐于探索、爱好创新的欲望和需求。但学生的数学创新欲望最初只是一种朦胧的、潜藏的、无意识的本能，它没有明确的、稳定的指向，它需要教师在教学中来激活它，可以说，学生的数学创新欲望在很大程度上是数学教育的产物。它的强弱完全取决于后天所受的教育和熏陶。通过教师的正确引导和有效诱发，学生的数学创新欲望会得到强化，创新本能会被逐渐激活，学生

23、的数学创新活动的行为指向也会更为鲜明、稳定，其行为目的也更加确定突出。在强烈的数学创新欲望的支配下，才会有积极的创造性思维和坚定的创造性实践。从数学创新欲望的激活到强化的过程，我们不难发现，数学教育在其中起着决定性的作用。教育是一把双刃剑，它既可以培养学生的创造性，也可以扼杀学生的创造性，作为数学教育，应将学生创新欲望的激活作为培育创新意识的第一要义，在教学中要很好的保护并激发学生学习数学的求知欲、好奇心及学习数学的兴趣，鼓励学生独立思考，不断追求新知，发现，提出，分析并创造性地解决问题，使数学学习成为再发现、再创造的过程。12激发数学创新情感数学创新活动不仅仅是激烈的智力活动，更是强烈的情感

24、活动。因此，要培养学生的数学创新意识，就不能不重视学生数学创新情感的激发。数学创新过程绝非冷冰冰的智力活动过程，缺乏生动的、丰富的、充满活力的情感因素，没有火热的创新情感动力，数学创新活动是无法展开的。从数学创新欲望的激活到数学创新意识的形成，整个过程无不蕴藏着创造者的情感因素。事实上，“创造涵容着为推进人类文明进化而选择的崇高性、独特性兼备的创新目标，涵容着为提高人类美学价值而投入创新过程的高尚情操，涵容着为增进利他精神而尽情发挥的开拓风貌，涵容着为优化个体的创造性社会功能而认真掌握创新技巧的热情，涵容着为追求永恒的价值目标而把自我短暂的人生化为人类文明序列的磊落胸怀。”13培养数学创新观念

25、 数学创新观念较之数学创新欲望、数学创新情感，更趋于稳定、持久。它一旦形成，就难以改变，就会稳定、持久地影响创造者自身；是一种稳定的、积极的创新心理倾向，它使数学创新内化为创造者的一种需要，形成惯性，形成自然。可以说，数学创新观念的确立，标志着数学创新意识的形成。但数学创新观念的确立，绝非一朝一夕就能完成，它是在数学教育的影响下，长期积累，长期渗透，在潜移默化中逐渐形成的。中学阶段是培养学生数学创新观念的关键时期。中学生正处于智力发展的黄金时期，也是身心发展和世界观、人生观、价值观形成的最重要时期。因此教师应因势利导、因材施教，创设良好的教育条件，调动各种积极因素，促进学生数学创新观念的形成。

26、 我们知道，想象力是引导学生创造性思维的源泉，人类思维中无与伦比的想象力是使科学不断进入未知领域的原始动力。而观察力是激发学生创造思维活动的关键。因而，提供原材料让学生去观察、思考，发挥学生的想象力，是培养学生数学创新精神的崭新途径。而原材料从何而来，我认为，重新认识教材，从中挖掘创新素材，发挥知识的智力因素，从而创设教学活动情景，激发兴趣，鼓励学生奇思异想，进行创新探索，培养创新精神。我们学习和掌握数学知识，比如，学习一个重要定理，我们不仅要求学生掌握定理的条件和结论，知道它的重要用途，认识定理证明的思想方法，理解其中的运算和推理技巧，关键还要深刻理解定理反映的事物本质，正如马克思指出的，尤

27、其数学知识中丰富的有关事物发展和变化的唯物辨证法思想。这大量的智力因素，让我们站在巨人的肩上，看得更远。这大量的智力因素，正是我们培养学生创新思维能力的智力源泉，也是启迪我们进行创新思维活动的根据。在平常的课堂教学和课外创新活动辅导中，我是通过以下几个途径进行创新意识的培养。2 培养创新意识的途径21善于归纳总结，形成知识及能力框架。高中数学的特点概括地说，有以下三点： 1、知识的抽象性大。 在初中学习的“函数”的基础上，高一又要学习“集合”、“对应”、“映射”等更为抽象的知识。高一的立体几何也削弱了直观性而突出了抽象性和空间的想象能力。这就是说思维要从直观，经验型向抽象，理论型过渡。 2、知

28、识的密度增大。 由于年龄的增长，接受能力、理解能力也在提高。同时高中数学教材的内容多而杂，这就决定了高中数学每节课的内容较初中时要多，即密度加大了。教师在教法上也随之有所变化。初中时教师常常把知识掰开揉碎地细讲，同时还选相当数量的习题去巩固这一知识；而在高中却常常是在新知识的开始阶段，例题即有一定的坡度。尤其强调知识的“以旧带新”和“横向，纵向的沟通、联系”。一节课下来，似乎是听懂了，但一遇到作业常常感到知识的运用不熟练，思路不通畅。似乎总感到新知识没有完全掌握，更新的知识又接踵而来。 3、知识的独立性大。初中知识的系统性是较严谨的，平面几何尤其如此，这个系统给我们学习带来了很大的方便。因为它

29、便于记忆，又适合于知识的提取和使用。因此，平面几何的知识使人长久不忘，记得清，用得上。但高中的数学却不同了，除了立体几何、解析几何有个相对明确的系统（与平面几何相比也不成体统），代数、三角的内容具有相对的独立性。因此，注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点，否则，综合运用知识的能力必然会欠缺。正因为高中数学的以上特点，要让学生能学到知识的真谛，就要让学生内化知识，让学生学会形成系统的知识结构和能力框架。在教学中，我试着让学生整理知识的纵横关系，找出所学知识的易错问题，总结解题方法。我想，这些做法是创新的第一步，既巩固了知识和能力，又接触了搞科学研究的初步方法。最后，

30、鼓励学生把自己的成果形成文章。如附录一就是学生的成果。22发展求异和批判思维，开发创新潜能。人的创新意识主要依靠求异思维，没有求异，就无所谓创新。尽管学生的创造性没有客观的价值，但对学生自己来说，从主观上看是新的，研究过程是创造性的，故发展学生的求异思维是开发其创新潜能的重要途径。教学中发展学生的求异思维的方法：一是引导学生学会从不同的角度观察问题，引导学生多角度、全方位地观察、探索，进而发现知识内在的本质和规律，从而教给学生思维的方法。二是启发学生用多种思路解答问题。从不同的角度观察问题，就会有不同的解题思路，通过比较可选择出最佳思路。三是鼓励学生打破常规，标新立异。常规是我们认识问题和解决

31、问题的一般方法。教学要在掌握常规的基础上，让学生突破常规，敢于设想创新，敢于标新立异。要多给学生发表独立见解的机会，允许学生随时改变自己的说法和做法。激励学生突发奇想，发现新问题，提出新问题，开发学生的创新潜能。四是重视发散思维的训练。在高中教材中，由于是面对中学生，很多问题的处理要顾及到全体学生的接受能力，对于学有余力的同学，就应该鼓励他们从多的角度加以研究，并撰写出论文。如对两圆方程相减所得直线方程的几何意义，温斌生同学在老师的指导下就进行了深入的研究，并撰写出论文，该文章在市科技创新大赛中获得二等奖。该文章见附录二。23通过定理推广，加强知识间的联系，培养探究能力。由于普遍性的规律寓于具

32、体的事物中，因此我们在证明一个定理后，应该探究此定理能否推广，这对于丰富知识，深化认识，提高解题能力是很有益的。譬如由三角形内角和到n边形内角和，由(a+b)的公式到(a+b)n的展开式，由sin2a的公式到sinna的公式等等。对于这些问题的研究，必然大大提高我们的认识水平和解题能力。定理的推广实际上是一个由特殊到一般的深化认识的过程。当我们证实了一些特殊的形(或数)的某种特性以后，再将条件一般化，采用类比或经验归纳的方法猜想结论，然后设法证明(肯定或否定)这一猜想。如果猜想得到证实，那么定理就推广了。这种推广既有对以前所学定理公式的推广，从而得到高中的数学定理，如把平面几何的一些定理、公式引申到立体几何，如从勾股定理到余弦定理等等，既加深了新旧知识的联系，也能因此容易找到证明的途径，培养了类比能力；也有把现有课本的定理结论加以深化或引申，或者是由此及比，或者在不同数学范畴的类推，或者是有简单到复杂，有具体到一般。如把函数的奇偶性引申到函数图象中心对称和轴对称；某种结论能否在几种圆锥曲线中同时得到体现，某些定理能否推广到一切自然数（或整数、有理数、实数），从而得到更一般的形式，如此等等。利用课本的资源，在老师的引导下