苏教版七年级数学上册知识点归纳.docx

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苏教版七年级数学上册知识点归纳

七年级数学（上）知识点总结

第一章数学与我们同行

知识点1数字与生活

生活中我们所遇到的很多数字都蕴含着很多的数学问题，数学已成为人们表达与交流的工具。

例如，身份证号码、学生的学籍号、火车的列次等。

知识点2图形与生活

生活中充满了图形，多姿多彩的图形不仅美化了我们的生活，还包含着丰富的信息和数学知识。

知识点3动手操作

动手操作主要是让学生在实际操作的基础上设计相关的图形及制作相关图案。

这类题病根是培养学生的创新能力和实践能力。

动手操作包括折叠、裁剪、拼图等各种活动。

知识点4找规律

这类问题主要是通过一些数字或图形信息，寻求其内在的共同之处，也就是具有规律性的问题。

知识点5统计知识

在进行生产、生活和科学研究时，往往需要收集数据，并把数据加以分类、整理，需要求出数据的平均数，或者制成统计表、统计图，用来反应所了解的情况，这样的工作就是统计。

第二章有理数

2.1正数与负数

正数：

大于零的数，正数前面可以放“+”来表示（通常省略不写）。

正数可分为正整数和正分数。

负数：

小于零的数，负数前面放上“－”来表示。

负数可分为负整数和负分数。

注意：

0既不是正数，也不是负数。

同时，0属于偶数、整数、非正数、非负数、非正整数、非负整数。

我们把正整数、零和负整数统称为整数，正分数、负分数统称分数。

2.2有理数与无理数

整数和分数统称为有理数。

我们把能够写成分数形式

（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数。

实际上，有限小数和循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。

无限不循环小数叫做无理数。

整数

分数

正整数

零

负整数

自然数

正分数

负分数

有理数

有理数知识点提示：

（1）有理数可按不同标准分类，标准不同，分类也不同。

（2）在分类时，要注意0的地位和意义。

（3）有理数的分类方法有很多，不论采取哪种分类方法，在对有理数分类时，都要做到不重不漏。

（4）习惯上，把正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；把负整数、0统称为非正整数，正有理数、0统称为非负有理数，负有理数、0统称为非正有理数。

无理数知识点提示

（1）只有满足“无限”和“不循环”这两个条件，才是无理数。

（2）圆周率π是无理……

（3）无理数与有理数的和差一定是无理数。

（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数一定是无理数。

（5）无理数分为正无理数和负无理数。

注意：

（1）容易出错的原因是不按标准分类，即分类标准混乱；

（2）易将0忽略，0既不是正数，也不是负数；（3）如

有分数线，但它不是分数，是无理数。

2.3数轴

单位长度：

像这样规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。

数轴定义包含三层含义：

①数轴是一条可以向端无限延伸的直线；②数轴有三要素：

原点、正方向、单位长度；③注意“规定”二字，是说原点的位置、正方向的选取、单位长度的大小都是根据实际需要来确定。

画数轴时，通常按以下步骤进行；

①画一水平直线；②在这条直线上任取点，作为原点；③确定正方向（一般规定向右为正），从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…，从原点向左，依次标上-1，-2，-3，…,同一条数轴上的长度作为单位长度必须统一，不能出现同样的长度表示不同的数量的情况。

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数都大于0，负数都小天0，正数大于负数。

有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的任意一点都可以表示一个有理数或无理数。

2.4绝对值与相反数

数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。

表示方法

。

正数的绝对值是它本身。

负数的绝对值是它的相反数。

0的绝对值是0.

符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数。

（0的相反数是0）

表示一个数的相反数可以在这个数的前面添加一个“－”号。

数轴上表示两个正数的点都在原点的右边，其中表示绝对值较大的正数的点在另一个点的右边；数轴上表示两个负数的点都在原点的左边，其中表示绝对值较大的负数的点在另一个点的左边。

两个正数，绝对值大的正数大；

两个负数，绝对值大的负数小。

总结：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是它本身。

2.5有理数的加法与减法

加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a+b=b+a

有理数的加法法则

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

（a+b）+c=a+（b+c）

有理数的减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

根据有理数的加法运算律，在进行有理数的加法运算时，可以交换加数的位置，也可以把其中的几个数先相加。

根据有理数的减法法则，有理数的加减混合去处可以统一为加法运算。

如

2+5-8=2+5+（-8）=7+（-8）=-1

有理数的乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

0与任何数相乘都得0.

有理数乘法运算律

交换律：

两数相乘，交换因数的位置，积不变。

a×b=b×a

结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

（a×b）×c=a×（b×c）

分配率：

一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。

a×（b+c）=a×b+a×c

2.6有理数的乘法与除法

像8与

、－4与－

……..乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数。

提示：

（1）由于0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；

（2）有理数ɑ（ɑ≠0）倒数是

;

（3）求一个真分数的倒数，直接写成以这个整数为分线，分子为1的分数即可，如－6的倒数是－

;

（4）求一个真分数的倒数，只要把这个分数的分子与分母颠倒位置即可；求一个带分数的的倒数，要先化成假分数，再求其倒数；求一个小数的倒数，要先把小数化成分数，带分数化成分数，再就倒数；

有理数的除法法则

除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。

两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。

（5）互为倒数的两个数的符号相同，也就是说正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

2.7有理数的乘方

一般的，在数学上我们把n个相同的因数a相乘的积记做an,即

n个a

开始思考是

a×a×…a=an

求相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。

例1、计算（－5）4

解：

（－5）4＝（－5）（－5）（－5）（－5）＝625

例2、计算－54

解：

－54＝－（5555）＝－625

注意不能混淆－54与（－5）4，－54表示54的相反数

而（－5）4表示（－5）（－5）（－5）（－5）

正数的任何次幂都是正数；

负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

其中，a叫做底数，n叫做指数。

an读作a的n次方。

特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方。

一般地，一个大于10的数可以写成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数法称为科学计数法。

如1800000＝1.8×106

法则：

先算方，再乘除，最后算加减，如果有括号，先进行括号内的运算。

2.8有理数的混合运算

有理数的运算技巧：

1、巧妙组合法（巧妙利用加法结合律，灵活“组合”，简化计算）

例：

计算：

1-3-5+7+9-11-13+15+17-．．．-2011.

分析：

本题可以看成１、-3、-5、+7、+9、-11、-13、+15、+17、．．．、-2011的和，根据加法结合律从前向后四个数一个整体，分别相加，每个数之和均为0.

解：

1-3-5+7+9-11-13+15+17-．．．-2011

＝（1-3-5+7）+（9-11-13+15）+1-3-5+7+9-11-13+15+17-．．．+（2001-2003-2005+2007）+2009-2011＝-2

2、运用乘法分配率

例：

计算：

（-

）3×（-

）3-2

×

×（-1

）3+（

）2×（-

）3．

分析：

根据加、减号将式子分成三部分，由于每一部分中都有（-

）3,故考虑逆用乘法分配率.

解：

原式＝（-

）3×[（-

）3-2

×

+（

）2]

＝-

×（

-

×

+

）=-

×0=0

3、拆分法

例：

观察下列计算：

=1-

，

=

-

，

=

-

，

＝

-

，．．．．从计算结果中找规律，利用规律计算

+

+

+

+．．．+

＝__________．

解析：

原式＝（1-

）+（

-

）+（

-

）+．．．+（

-

）

＝1-

+

-

+

-

+．．．+

-

＝1-

＝

．答案：

第三章代数式

从具体到抽象，我们用字母表示数；

从特殊到一般，我们用代数式揭示数量之间的关系。

3.1用字母表示数

在数学中，经常用字母表示数。

利用字母表示数，能把数和数量关系一般化的、简明的表示出来。

提示：

（1）字母与字母相乘，字母与数字相乘时，“×”通常省略不写。

（2）数字与字母相乘时，一般把数字放在字母前边。

（3）同一个问题中，相同的字母只表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示。

（4）用字母表示数时，某些特定的字母表示特定的数，如用π表示圆周率。

3.2代数式

用“+”“－”“×”“

”和“乘方”“开方”等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子都是代数式（“＝”“<”“>”“≠”等符号不是运算符号，因此含有这些符号的式子不是代数式）。

单独一个数或一个字母也是代数式。

像10a+2b,2a2,

这样的式子都是代数式。

代数式可以简明地描述许多实际问题中的数量关系。

在代数式中，数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常用“*”表示或省略不写，

并且把数字写在字母的前面，除法运算通常写成分数的形式。

代数式0.55a、0.35b、2a、等都是数与字母的积，象这样的代数式叫做单项式。

单独一个数或一个字母也是单项式。

《中学教材全解》摘录：

单项式中数与字母或字母与字母之间都是乘积关系，例如：

可以看成是

x，所以

是单项式；而

就不是单项式。

分母中含有字母的式子既不是单项式，也不是多项式。

单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。

几个单项式的和叫做多项式。

多项式中，每个单项式叫做多项式的项；多项式里含几项，就把这个多项式叫做几项式，其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫常数项。

扩展（可以无视）：

代数式分为有理式和无理式（类似于实数分为有理数和无理数），有理式又分为整式和分式，有QQ群中家长提过这样的问题，分母中含有字母是不是整式？

如,应该是分式，不是整式。

全解中解释，分母含字母，不是单项式。

再如根号中是什么式呢，应该是无理式。

单项式和多项式统称整式。

《中学教材全解》摘录：

代数式、整式、单项式、多项式之间的关系是：

代数式包含整式，整式就是单项式与多项式的统称。

3.3代数式的值

一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化。

用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

例如：

11是代数式x+5当x=6时的值。

《中学教材全解》摘录：

求代数式的值时，第一步只代入不计算，要注意书写格式。

在用数代替字母时，遇到分数、负数的乘方要添上括号。

3.4合并同类项

多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。

根据乘法分配律，把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

《中学教材全解》摘录：

⑴

合并同类项法则

同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

合并同类项必备的条件：

①所含字母相同；②相同字母的指数也分别相同，二者缺一不可，这是判断同类项的依据。

⑵同类项与系数无关，与字母排列顺序也无关。

3.5去括号

去括号法则

括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项符号都不改变。

括号前面是“－”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里的各项符号都改变。

例：

（1）a+（-b+c-d）=a-b+c-d

（2）a-（-b+c-d）=a+b-c+d

分析：

第

（1）题括号前面是“+”，去括号时，括号里面各项的符号都不改变；第

（2）题括号前面是“－”号，去括号时，括号里面的各项的符号都改变。

点拨：

去括号法则可以简单地记为“正不变，负全变”，其中正、负是指括号前面的符号。

3.6整式的加减

进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。

思考：

1、代数式是数学符号组成的语言，是刻画现实世界中数量关系的重要工具。

2、在实际问题中，数量之间的关系常常可以用代数式表示：

同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量关系。

3、代数值的值由代数式里的字母所取的值确定，它随字母所取值的变化而变化。

4、合并同类项、老弱病残括号法则是整式运算的重要工具。

5、在数学中，用代数式简化的方法把复杂问题转化为简单问题。

如5（x-2y）-3（x-2y）+8（x-2y）-4（x-2y），把（x-2y）看成一个字母a，使这个代数式简化为5a-3a+8a-4a.

第四章一元一次方程

方程，表达数量之间相等关系的“天平”，是解决实际问题的有效模型（工具）。

4.1从问题到方程

从现实世界的许多实际问题中，通常有已知的量和未知的量，这些数量之间常常有相等的关系。

实际问题中已知量和未知量之间的相等关系，可以用多种不同的方程描述，通过比较可以看出，用议程描述这种相等关系最简明。

方程两边都是整式，它们只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），像这样的方程，叫做一元一次方程。

像x+50=150,2x=200这样含有未知数的等式是方程。

如1+2＝3，x+1>2，x-2等式子都不是方程。

《中学教材全解》摘录：

注意：

一元一次方程必须同时满足下面三个条件：

（1）方程必须是整式方程，即方程两端必须都是整式（方程中分母不含未知数，如

=10就不是一元一次方程）；

（2）只含有一个未知数；（3）未知数的次数是1（次），指的是含未知数的项的最高次数都是1，如x2+x=2就不是一元一次方程。

4.2解一元一次方程

能使议程两边的值相等的未知数叫做方程的解。

求方程的解的过程叫做解方程。

等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

等式两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。

等式两边同时（都）加上（或都减去）同一个数或式，所得的结果仍是等式。

a=b,a±c=b±c

等式两边都乘或同时（都）除以同一个数或式（除数不能为0），所得结果仍是等式。

a=b,ac=bc，或

=

（c

0）

方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

《中学教材全解》摘录：

注意：

（1）去分母是易错点，不要漏乘没有分母的项。

（2）如果分子是多项式，应该看做一个整体，在去分母时，不要忘记将分子用括号括起来。

解一元一次方程有哪些步骤？

一般地，解一元一次方程的步骤是：

去分母，去括号，多项，合并同类项，未知数的系数化为1。

→→→→

通过这些步骤可以将一个一元一次方程转化为x=a的形式。

4.3用一元一次议程解决问题

用一元一次方程解决问题，通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据实际问题中数量之间的相等关系列出方程，然后解这个议程，写出问题的答案。

方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

在本章里，我们经历了从问题到方程、解一元一次方程、用一元一次方程解决实际问题的过程。

思考：

1、用一元一次方程解决问题的关关键，是通过列表、画线形图、扇形图、柱形图……直观地揭示实际问题中数量之间的相等关系，从而列出方程。

2、用方程这个模型解决问题，一般要经历以下过程：

3、解一元一次方程的一般步骤是：

去分母，去括号，移项，合并同类项，将未知数的系数化为1。

通过这些步骤，可以把一个一元一次方程逐步转化为x=a的形式。

4、代数式的值是随代数式中字母取值的变化而变化的，如果字母的值确定，那么代数式的值也随之确定。

如果代数的值确定，那么通过解一元一次方程可以求得字母的值。

5、生活中常用一元一次方程解决一些实际问题。

第五章、走进图形世界

我们生活在丰富的图形世界里，多姿多彩的图形美化了我们的生活。

生活中常见的几何体可分为：

柱体、锥体和球体。

柱体包括棱柱和圆柱；锥体包括棱锥和圆锥。

5.1丰富的图形世界

面与面相交得到线，线与线相交得到点。

面有平面，也有曲面；线有直线，也的曲线。

在棱柱、棱锥中，任何相等两个面的叫做棱，相邻两个侧面的叫做侧棱。

棱柱的棱与棱的交点做棱柱的顶点。

棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点。

棱柱的棱长相等，棱柱的上、下底面是相同的多边形，直棱柱的侧面都是长方形，棱锥的侧面都是三角形。

几何图形由点、线、面组成。

点、线、面之间的关系：

面与面相交得到线，线与线相交得到点。

图形所表示的各个部分都在同一平面内的几何图形，称为平面图形。

如桌面、墙面、平静的水面等给我们以平面的形象。

图形所表示的各个部分不在同一平面内的几何图形，称为立体图形。

如水管、易拉罐的侧面，地球仪的表面等给我们以曲面的形象。

如图是图①的正方体切去一块，得到图②～⑤的几何体．

（1）它们各有多少个面？

多少条棱？

多少个顶点？

考点：

截一个几何体．

分析：

根据正方体原有的面数，顶点数，棱的条数，以及正方体截去一个角后，面、棱、顶点的变化情况，形数结合求解；

解答：

解：

如图①正方体原有6个面，12条棱，8个顶点，

如图②把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有15条棱，有10个顶点．

如图③把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有14条棱，有9个顶点．

如图④把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有13条棱，有8个顶点．

如图⑤把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有12条棱，有7个顶点．

（2）举例说明其他形状的几何体也切去一块，所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少；

，

如图顶点数a、棱数b、面数c填入下表：

（3）若面数记为f，棱数记为e，顶点数记为v，则f+v-e应满足什么关系？

由

（1）得：

∵把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有15条棱，有10个顶点．

把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有14条棱，有9个顶点．

把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有13条棱，有8个顶点．

把一个正方体截去一个角后得到的几何体有7个面，有12条棱，有7个顶点．

即7+10-15=2，7+9-14=2，7+8-13=2，7+7-12=2，

∴面数记为f，顶点数记为e，棱数记为v，

∴则f+v-e=2．

点评：

本题考查了正方体的截面．关键是明确正方体的面数，顶点数，棱的条数，形数结合，求出截去一个角后得到的几何体的面数，顶点数，棱的条数．

5.1图形的运动

把笔尖看成一个点，这个点在纸上运动时形成线。

把汽车的雨刷看成一条线，这条线在玻璃上运动时形成扇面。

点动成线，线动成面，面动成体。

（1）长方形纸板绕它的一条边旋转1周，形成圆柱；

（2）直角三角尺绕它的一条直角边旋转1周，形成圆锥；

（3）一枚硬币在桌面上竖直快速旋转，形成球。

图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折，图形在运动的过程中，对应线段、对应角的大小不变，改变的是图形的位置。

平移：

对应点的连线平行且相等。

旋转：

对应线段的夹角相等，这个夹角就是旋转角。

翻折：

对应点的连线的垂直平行线就是对称轴。

（1）旋转不改变图形的大小和形状。

（2）图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。

（3）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角。

（4）对应点到旋转中心的距离相等。

5.3展开与折叠

长方体纸盒展开后，可以得到平面图形。

1、将圆柱形纸筒的侧面沿虚线剪开，得到的是长方形平面图形

2、将圆锥形冰淇淋纸筒的侧面沿虚线剪开，得到的扇形平面图形。

3、将无盖的正方体（无盖五个面）纸盒剪开，得到的平面图形如下。

将一个正方体纸盒沿部分棱剪开展成一个平面图形。

正方体的表面展开图可分成三类。

（1）“二二二型”：

两个正方形连成一排，如右上图。

（2）三个正方形连成一排，称为“三三型”“一三二型”（也叫“二三一型”）如下图

（3）“一四一型”：

四个正方形边成一排，如下图

口诀：

“一四一”“一三二”一在同层可任行；“三个二”成阶梯，“二个三”，“日”状连；异层必有“日字现”，整体没有，有“田”就完蛋。

5.4主视图、左视图、俯视图

从不同方向看同一物体，看到的图形往往是不同的。

比课本P134中图5-20更复杂一些的

生活中，你有类似的体验吗？

P135观察下表中所示物体，并将看到的图形填入表中。

在生产实践中，通常把俯视图画在主视图的下面，左视图画在主视图的右面。

（见下面）

人们从不同的方向观察某个物体，可以看到不同的图形，一般地，我们把从正面看到的图形，称为主视图；从左面看到的图形，称为左视图；从上面看到的图形，称为俯视图。

在生产实践中，物体的主视图、左视图、俯视图是标注相应尺寸的。

这样，根据物体的三个视图通常可以确定物体的开关和大小，画出它的表面展开图，加工出所需的产品。

一个物体的三视图同主视图、左视图和俯视图组成。

其中，俯视图画在主视图的下面，左视图在主视图的右面。

在三视图中，由主视图与俯视图可以知道物体的长，由主视图与左视图可以知道物体的高，由左视图与俯视图可以知道物体的宽，三个视力起来就能确定简单物体的形状和大小，画三视图时，要使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视力的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。

三视图在生产实际中有着广泛的应用，生产中，工人师傅根据设计者提供的三视图，确定出物体的形状、大小，并进行进行加工。

设计包装纸盒

某种产品的形状是长方体，它的长、宽、高分别是16cm、6cm、3cm。

请厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装30件这种产品，且该纸箱所用材料尽可能少。

解析：

要使所用材料尽可能少，即表面积要尽可能的小。

对于一个长方体来说，当长、宽、高的值相等时，表面积最小。

因此要尽可能使长宽高的值接近。

另一方面，结合实际情况，长宽高的值还必须是肥皂的长宽高的倍数。

综合这两个条件，得：

16*6*3*30＝86400＝16*18*30此时，包装箱的表面积是：

（30*18+18*16+30*16）*2＝2616（平方厘米）

小结与思考：

1、在本章里，我们学习用眼光看世界，从多姿多彩的图形世界中，我们看到许多熟悉的图形，如圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球……

我们通过观察、操作等活动，感受到图形的平移、翻折、旋转等运动，运用平移、翻折、旋转，让图形“动”起来，是研究图形性质的重要方法。

2、在本章里，我们学习了图形的展开与折叠，以及简单物体的视图，初步感受立体图形与平面图