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解析几何知识点

篇一：

解析几何知识点总结

抛物线的标准方程、图象及几何性质：

1.抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）。

定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程y2?

2px

叫做抛物线的标准方程。

0），它的准线方程是x?

；

注意：

它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（2.抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：

y2?

2px，x2?

2py，x2?

2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程。

说明：

（1）通径：

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；

（2）抛物线的几何性质的特点：

有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：

是焦点到准线的距离。

题型1：

抛物线例1．

（1））焦点到准线的距离是2；

（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，?

2），求它的标准方程

【解析】

（1）y=4x，y=?

4x，x=4y，x=?

4y；

方程是x=?

8y。

点评：

由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。

当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。

题型2：

抛物线的性质

x2y2

1的右焦点重合，则p的值为（）例2．

（1）若抛物线y?

2px的焦点与椭圆62

A．?

2B．2C．?

4D．4

（2）抛物线y?

8x的准线方程是（）

（A）x?

2（B）x?

4（C）y?

2（D）y?

4（3）（201X湖南卷文）抛物线y2?

8x的焦点坐标是（）

A．（2，0）B．（-2，0）C．（4，0）D．（-4，0）

x2y2

1的右焦点为（2,0），所以抛物线y2?

2px的焦点为（2,0），则p?

4，故选D；【解析】

（1）椭圆62

（2）2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A；（3）由y2?

8x,易知焦点坐标是（?

0）?

（?

2,0），故选B.2

点评：

考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。

例3．

（1）（全国卷I）抛物线y?

x2上的点到直线4x?

3y?

0距离的最小值是（）A．

（2）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。

能使这抛物线方程为y2＝10x的条件是．（要求填写合适条件的序号）

（3）对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A.（－∞，0）

B.（－∞，2]C.［0，2］

478

B．C．D．3355

D.（0，2）

|4m?

3m?

8|24

【解析】

（1）设抛物线y?

x上一点为（m，－m2），该点到直线4x?

3y?

0的距离为，当m=时，取得最小值为，选A；

335

（2）答案：

②，⑤

从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤。

（3）答案：

设点Q的坐标为（0，y0），

由|PQ|≥|a|，得y02+（0－a）2≥a2.

整理，得：

y02（y02+16－8a）≥0，∵y02≥0，∴y02+16－8a≥0.

即a≤2+0恒成立.而2+0的最小值为2.

∴a≤2.选B。

点评：

抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。

关于双曲线知识点的补充：

1、双曲线的定义：

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|e（e注意：

F1F2|）的点的轨迹。

1）的点的轨迹。

两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。

常数叫做离心率。

PF1|?

|PF2|?

2a与|PF2|?

|PF1|?

2a（2a?

|F1F2|）表示双曲线的一支。

2a?

|F1F2|表示两条射线；2a?

|F1F2|没有轨迹；

2、双曲线的标准方程

x2y2y2x2

①焦点在x轴上的方程：

1（a>0，b>0）；②焦点在y轴上的方程：

1（a>0，b>0）；

abab

③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：

mx-ny=1（m·n<0）；④双曲线的渐近线：

改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程.

3、双曲线的渐近线：

①求双曲线x?

1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x?

2222

abab

22x2y2xy

0，因式分解得到。

②与双曲线2?

1共渐近线的双曲线系方程是2?

；

abab

4、等轴双曲线：

为x2?

y2?

t2，其离心率为25、共轭双曲线：

6、几个概念：

xyb2b222

;;③等轴双曲线x-y=?

（?

∈R,?

≠0）：

渐近线是y=±x,2；④2?

1焦点三角形的面积：

bcot（其中∠F1PF2=?

）；

ca2ab

⑤弦长公式：

c=a-b,而在双曲线中:

c=a+b,

篇二：

平面解析几何知识点归纳

◆知识点归纳直线与方程1.直线的倾斜角

规定：

当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0范围：

直线的倾斜角?

的取值范围为[0,?

）2.斜率：

tan?

（a?

），k?

斜率公式：

经过两点P?

1（x1,y1），P2（x2,y2）（x1?

x2）的直线的斜率公式为kP1P23.直线方程的几种形式

y2?

x2?

能力提升

斜率应用

例1.已知函数f（x）?

log2（x?

1）且a?

0，则

f（a）f（b）f（c）

,的大小关系abc

例2.已知实数x,y满足y?

x2?

2x?

2（?

1），试求

两直线位置关系两条直线的位置关系

的最大值和最小值x?

设两直线的方程分别为：

111或1111；当k?

k或AB?

AB时它们

121221

l2:

k2x?

b2l2:

A2x?

B2y?

C2?

k1x?

b1A1x?

B1y?

C1?

或?

k2x?

b2?

A2x?

B2y?

C2?

相交，交点坐标为方程组?

直线间的夹角：

①若?

为l1到l2的角，tan?

k2?

k1A1B2?

A2B1

或tan?

；

k2k1A1A2?

B1B2

k2?

k1A1B2?

A2B1

或tan?

；

k2k1A1A2?

B1B2

②若?

为l1和l2的夹角，则tan?

（?

）③当1?

k1k2?

0或A1A2?

B1B2?

0直线l1到l2的角?

与l1和l2的夹角?

：

或?

（?

）；

距离问题

1.平面上两点间的距离公式P1（x1,y1）,P2（x2,y2）则P1P2?

x2?

x1）?

（y2?

y1）2.点到直线距离公式

点P（x0,y0）到直线l:

Ax?

By?

0的距离为：

3.两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：

Ax?

By?

C1?

0，

Ax0?

By0?

l2：

Ax?

By?

C2?

0，则l1与l2的距离为d?

C1?

C2A?

4.直线系方程:

若两条直线l1：

A1x?

B1y?

C1?

0，l2：

A2x?

B2y?

C2?

0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为（A1x?

B1y?

C1）＋?

（A2x?

B2y?

C2）?

0或

（A2x?

B2y?

C2）+?

（A1x?

B1y?

C1）?

0（λ为常数）

对称问题

x1?

x2?

1.中点坐标公式：

已知点A（x1,y1）,B（x2,y2），则A,B中点H（x,y）的坐标公式为?

y1?

y2?

点P（x0,y0）关于A（a,b）的对称点为Q（2a?

x0,2b?

y0），直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。

2.轴对称：

点P（a,b）关于直线Ax?

By?

0（B?

0）的对称点为P'（m,n），则有

n-b

（?

）?

m-aB

，直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问题。

mb?

22?

（1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A（a,b）关于C（c,d）的对称点（2c?

a,2d?

b）②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出

直线方程；

Ⅱ、求出一个对称点，在利用l1//l2由点斜式得出直线方程；Ⅲ、利用点到直线的距离相等。

求出直线方程。

如：

求与已知直线l1:

2x?

3y?

0关于点P（1,?

1）对称的直线l2的方程。

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。

Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：

求点A（?

3,5）关于直线l:

3x?

4y?

0对称的坐标。

②直线关于直线对称：

（设a,b关于l对称）

Ⅰ、若a,b相交，则a到l的角等于b到l的角；若a//l，则b//l，且a,b与l的距离相等。

Ⅱ、求出a上两个点A,B关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设P（x,y）为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点P'的坐标适合a的方程。

如：

求直线a:

2x?

0关于l:

3x?

4y?

0对称的直线b的方程。

能力提升

例1.点P（2,1）到直线mx?

0（m?

R）的最大距离为

例2.已知点A（3,1），在直线y?

x和y?

0上各找一点M和N，使?

AMN的周长最短，并求出周长。

线性规划问题：

（1）设点P（x0,y0）和直线l:

Ax?

By?

0，

①若点P在直线l上，则Ax0?

By0?

0；②若点P在直线l的上方，则B（Ax0?

By0?

C）?

0；③若点P在直线l的下方，则B（Ax0?

By0?

C）?

0；

（2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式Ax?

By?

0（?

0），

①当B?

0时，则Ax?

By?

Ax?

By?

②当B?

0时，则Ax?

By?

0表示直线l:

Ax?

By?

0下方的区域；

Ax?

By?

Ax?

By?

注意：

通常情况下将原点（0,0）代入直线Ax?

By?

C中，根据?

0或?

0来表示二元一次不等式表示平面区域。

（3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意：

①当B?

0时，将直线Ax?

By?

0向上平移，则z?

Ax?

By直线Ax?

By?

0向下平移，则z?

Ax?

②当B?

0时，将直线Ax?

By?

0向上平移，则z?

Ax?

By直线Ax?

By?

0向下平移，则z?

Ax?

如：

在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数

ay取得最小值的最优解有无数个，则a为；

（1）设点P（x0,y0）和直线l:

Ax?

By?

0，

①若点P在直线l上，则Ax0?

By0?

0；②若点P在直线l的上方，则B（Ax0?

By0?

C）?

0；

③若点P在直线l的下方，则B（Ax0?

By0?

C）?

0；

（2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式Ax?

By?

0（?

0），

①当B?

0时，则Ax

By?

Ax?

By?

0l:

Ax?

By?

篇三：

平面解析几何知识点总结

基本要求①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系;

②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。

③.掌握圆的标准方程和一般方程.

④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用;

⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题.

1直线方程的五种形式

点斜式：

y0?

k（x?

x0），（斜率存在）

斜截式：

kx?

b（斜率存在）两点式：

y1x?

x1，（不垂直坐标轴）?

y2?

y1x2?

xy?

1（不垂直坐标轴,不过原点）ab截距式：

一般式：

Ax?

By?

2.直线与直线的位置关系：

（1）有斜率的两直线l1：

y=k1x+b1；l2：

y=k2x+b2；有：

①l1∥l2?

k1=k2且b1≠b2；②l1⊥l2?

k1·k2=-1；

③l1与l2相交?

k1≠k2④l1与l2重合?

k1=k2且b1=b2。

（2）一般式的直线l1：

A1x+B1y+C1=0，l2：

A2x+B2y+C2=0有：

①l1∥l2?

A1B2-A2B1=0；且B1C2-B2C1≠0②l1⊥l2?

A1A2+B1B2=0③l1与l2相交?

A1B2-A2B1≠0④l1与l2重合?

A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。

3.点与直线的位置关系：

点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离：

Ax0?

By0?

B22。

平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0之间的距离为d?

C1?

B22

两点间距

离公式：

|PP12|?

.4直线系方程

①过直线l1：

A1x+B1y+C1=0，l2：

A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：

A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ∈R）（除l2外）。

②过定点M（x0,y0）的直线系方程为y?

y0?

k（x?

x0）（其中不包括直线x?

x0）

③和直线Ax?

By?

0平行的直线方程为Ax?

By?

C'?

0（C?

C'）

④和直线Ax?

By?

0垂直的直线方程为Bx?

Ay?

C'?

5.圆的定义:

平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.

在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:

如三个点,半径和圆心（两个坐标）等.

6.圆的方程

（1）标准式：

（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0），其中r为圆的半径，（a，b）为圆心。

（2）一般式：

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），其中圆心为（?

）22?

rcos?

（3）参数方程:

，?

rsin?

（?

是参数）.消去θ可得普通方程

（4）A（x1，y1）B（x2，y2）为直径的圆:

（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0;

（5）.过圆与直线（或圆）交点的圆系方程：

i）x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0，表示过圆与直线交点圆的方程

ii）x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ≠-1）；表示过两圆交点的圆的直线方程

（?

1时（D1?

D2）x?

（E1?

E2）y?

F1?

F2?

0一条过两圆交点的直线，该方程不包括圆C2）

（6）二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件:

A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0。

7.点P（x0,y0）与圆的位置关系:

代入方程f（x）?

（x?

a）2?

（y?

b）2?

r2（或f（x）?

x2?

y2?

Dx?

Ey?

F）看符号.

①点P在圆上?

f（x0,y0）?

0②点P在圆外?

f（x0,y0）?

0③点P在圆内?

f（x0,y0）?

8.直线与圆的位置关系：

相离、相切和相交。

有两种判断方法：

（用几何法更具有直观性）

（1）代数法（判别式法）:

Δ>、=、<0时分别相离、相交、相切。

（2）几何法，圆心到直线的距离d>、=、

9．切线方程：

圆x2?

y2?

r2上点M（x0,y0）的切线方程：

x0x?

y0y?

r2（或x0（x?

x0）?

y0（y?

y0）?

0）

过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上点M（x0,y0）的切线方程：

（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=0.（或（x0?

a）（x?

x0）?

（y0?

b）（y?

y0）?

0）

．切线长公式：

11．弦长求法：

（1）几何法：

弦心距d，圆半径r，弦长l，则d2+（l/2）2=r2.

（2）解析法：

用韦达定理，弦长公式。

12．圆与圆的位置关系：

看|O1O2|与r1+r2和|r1－r2|的大小关系。

特别提示:

解直线与圆的问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质,利用几何法解题要比解析方法来得简捷.

13.①中积最小

过P（x0,y0）的直线与坐标轴在P所在的象限围成的三角形AOB（A,B为直线与轴的交点）面积最小的时当且仅当P为线段AB中点，此时

（1）横截距a?

2x0,纵截距b?

2y0

（2）Smin?

2|x0y0|

（3）直线方程：

xy?

12x02y0

②以A（x1,y1）和B（x2,y2）为直径端点的圆的方程为（x?

x1）（x?

x2）?

（y?

y1）（y?

y2）?

③点（线、圆）与圆的距离的最值问题dmin?

心距?

半径?

r;dmax?

心距?

半径?

r心距指点（直线或圆心）与圆心之间的距离

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