泰勒公式与极值问题.docx
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泰勒公式与极值问题
§4泰勒公式与极值问题
教学计划：
6课时.
教学目的：
让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二元函数取极值的必要和充分条件.
教学重点：
高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件.
教学难点：
复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式.教学方法：
讲授法.
教学步骤：
一高阶偏导数
由于z=f（x,y）的偏导函数fx（x,y）,fy（x,y）仍然是自变量x与y的函数，如果它们关于x与y的偏导数也存在，则说函数f具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下
四种情形：
.:
x:
yfy；：
x
但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数
22
x-y22
xy飞2，xy-0,
xy
0,x2+y2=0.
它的一阶偏导数为
y（x4+4x2y2_y4）2+2」o
fxx,y=
fyx,y=
（x2+y22,xy,
.0,x2+y2=0,
仪4_4x2y2_y4）2+2
*（x2+y22,x『
22
L0,x+y=0,
进而求f在（0,0）处关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数，得
fx0,y-fx0,0y4
fxyO,o=啊—厂啊可=7
以0,0）=慎Zx瓦"
由此看到，这里的fx,y在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？
为此，我们按定义先把fxyx0,y0与fyxx0,y0表
成极限形式•由于
因此有
fxyXo,y°
lim丄lim
.y】0AyQ
fxXo,y°Ly-fxxo,yo
也y
fXo：
x,y°：
y_f（xo,yo：
y）
△x
lim
.x_o
fxoxy。
一f（x°,y°）
Z一
•x：
y
f（x。
+Ax,y。
+也y）—f（X。
，y。
+Ay）—f（x。
+Ax,y°）+f（x。
y。
）=limlim-
.y。
.x-p
类似地有
fyxXo,y。
一limlim心。
+&，y。
+也y）—f（x。
+Ax,y。
）-f（x。
，y。
+3）+f（x。
y。
）
.x_。
.y—o
为使fxyXo,yo=fyXx°,y。
成立，必须使
（1）,
（2）这两个累次极限相等，即以交换累次极
限的极限次序.下述定理给出了使极限
（1）,
（2）相等的一个充分条件.定理17.7若fxy.x,y和fyx.x,y都在点连续，则
fxyX。
，y。
=fyxX。
，y。
3
证令
F（：
x,：
y）=f（x。
xy。
y）-f（x。
：
x,y。
）-
f（Xo,y。
y）f（xo’y。
）,
：
xi；=f（x,y。
：
y）-f（x,y。
）
于是有
F3x,Ay）=®（x。
+Ax）—®（x。
）.（4）
由于函数f存在关于x的偏导数，所以函数「可导。
应用一元函数的中值定理，有
（X。
LX）_（X。
）='Xt=XX
二fxX。
十x,y。
y一fxx。
齐：
x,y。
1x（0：
耳:
:
1）
又由fx存在关于y的偏导数，故对以y为自变量的函数fx（x。
•二「x,y）应用一元函数中
值定理，又使上式化为
®（x。
+Ax）-®（x。
）=fxy（x。
+TQx,y。
+日23紅X心y.
（。
艸2"）•
由4则有
f（AxQy）=口仪。
十日1也x,y。
中日2也y徑xAy.
（。
£日1,日2＜：
1）.（5）
如果令（y）=f（x。
：
-X,y）-f（x。
，y）,
则有
F（AxQy）M（yo+Ay）N（y。
）.
用前面相同的方法，又可得到
F（Ax,Ay）=fyx（X。
十日3也x,y。
+Wy）AxAy
（0：
：
：
屯门4:
:
:
1）（6）
当Ax,Ay不为零时，由（5），（6）两式得到
fxy（xoy..：
x,y。
r：
y）x：
y=fyx（x°xy°ty）x：
y
（0：
：
：
宀户2宀3宀4:
:
:
1）（7）
由定理假设fxyx,y与fyxx,y在点（xo,yo）连续，故当x>0Jy、0时，⑺式两边极
限都存在而且相等，这就得到所要证明的（3）式.
这个定理的结论对n元函数的混合偏导数也成立。
如三元函数u=f（x,y,z），若下述
六个三阶混合偏导数
fxyz（x,y,z）
fyzx（x,y,z）,fzxy（x,y,z）,
fxzy（x,y,z）,fyxz（x,y,z）,fzyx（x,y,z）
在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等；同样，若二元函数f（x,y）在点
（x,y）存在直到n阶的连续混合偏导数，则在这一点m（乞n）阶混合偏导数都与顺序无关.
今后除特别指出外，都假设相应阶数的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序
无关.
下面讨论复合函数的高阶偏导数•设z是通过中间变量x,y而成为s,t的函数，即
Z=f（x,y）
其中X=「（s,t）,yL・（s,t），若函数f,都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数的
z对s,t同样存在二阶连续偏导数。
具体计算如下：
同理可得
.：
2z¥：
2z■y2;：
2z.:
s.:
t
-2
;：
2z-;:
x2皿丿
.2
>x.22
）czexcy
——I+2+
丿£x£yctct
22
jz:
:
x:
zy
i-.jnt〜r-.ji-.tJ
x；t-y.t
厂z；:
xjx：
：
2z
〔空型+空空］+
；:
x2:
s；:
tjx：
y；s：
：
t；:
t.s
22z；:
y；:
y；z:
:
x
；:
y2；:
s；:
t
；2z
.:
t.:
s
例3设z=fX,—［，求
-2
:
z
-2
x
;:
X
；：
2z
r~-,r~-
:
xy
解这里z是以x和y为自变量的复合函数,
=f（u,v）,U=X,v=—y
:
y；:
s.:
t
它也可以改写成如下形式:
由复合函数求导公式有
:
z
.:
x
f.：
Ujfjvf
~1~=
L、.L\.L\L'、
.u.x:
v:
x.u
注意，这里■，一仍是以u,v为中间变量x,y为自变量的复合函数.所以
.U:
V
j2z
„2L、L、
&x£x凹
22
Ef£U+&f£v*1
—-2.^■iL\L\L'、
.u:
x：
uv：
x
a2f
:
f1汗
r-
:
v
-2
c
f；:
u
yl^vfuex
2
:
:
f:
v-2—.v:
x
1;:
2f
；：
2z
：
x：
y
-22-2uyuvy:
vd（cf1cf
£y逹uy5v；
22、cfcu
=r
2
.u:
y
；：
2f:
ylovecy
xc2f
：
：
frv1
u:
v:
yy2:
v
-2
—
；:
v
f;:
v
2-
：
y
X；：
2f
1cf
2.、.、3-22-
y：
u；vy:
vy:
v
二中值定理和泰勒公式
二元函数的中值公式和泰勒公式，与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，对于n
元函数（n•2）也有同样的公式，只是形式上更复杂一些.
在叙述有关定理之前，先介绍凸区域的概念.
若区域D上任意两点的连线都含于D，则称D为凸区域（图17-6）.这就是说，若D
为凸区域，则对任意两点R（x^yj,P2（X2,y2）・D和一切•（0辽…乞1）,,恒有
P（xi，（X2—Xi）,yi，（y2-yi））D.
1■-n
（hk）f（Xo,yo）■n!
jx:
y
Ar
（11）
——（h二k厶）n1f（x0汕，y0rk）.
n1!
鋼
:
x^yml
f（xo,yo）hikm
”_m
（hk）f（xo,y0）="Cm
'X:
yi卫
与定理17.8的证明一样•作函数
”（t）=f（x0th,y0tk）.
由定理的假设，一元函数：
•：
」（t）在0,1上满足一元函数泰列定理条件，于是有
1!
2!
（12）
川n）（0）川n1（）
（0:
:
:
1）.n!
（n1）!
应用复合函数求导法则，可求得：
•:
‘（t）的各阶导数：
aa
：
：
"）（t）=（hk）mf（x。
th,y。
tk）.（m=1,2「，n1）.excy
当t=0时,则有
：
：
S（0）=（h丄k亠）mf（X0,y。
）（m=1,2,,n）.（13）
excy
及
aa
：
：
'n"（R=（h—-k—）n1f（x0=h,y0rk）.（14）
excy
将（13）,（14）式代入（12）式就得到所求之泰勒公式（11）•□
易见，中值公式（8）正是泰勒公式（11）在n=0时的特殊情形.
若在公式（11）中只要求余项R」cn）（「一、h2•k2），则仅需f在U（P0）内存在直
到n阶连续偏导数，便有
f（X。
+h,y°+k）
n1--
二f（X0,y°）（hk）Pf（X。
，y°）:
（'n）.（15）
p^p!
excy
例4求f（x,y）=xy在点（1,4）的泰勒公式（到二阶为止），并用它计算（1.08）'96.
解由于x0=1,y0=4,n=2,，因此有
f（x,y）二xy,f（1,4）=1,fx（x,y）二yxy_1,fx（1,4）=4,
fy（x,y）=xyInx,fy（1,4）=0,fx2（x,y）二y（y-1）xyjf；（1,4）=12,fxy（x,y）=xy‘yxy，Inx,f（1,4）=1.fy2（x,y）=xy（Inx）2,f；（1,4）=0.
将它们代入泰勒公式（15），即得
xy=14（x—1）6（x—1）2（x—1）（y—4）o*.
若略去余项，并让x=1.08,y=3.96,，则有
1.083.96：
140.0860.082一0.080.04=1.3552口
与§1例7的结果相比较，这是更接近于真值（1.356307…）的近似值.因为微分近似式
相当于现在的一阶泰勒公式.
三极值问题
多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用，这里仍以二元函数为例进行讨论.
定义设函数f在点F0x0,y。
的某邻域R内有定义.若对于任何点
Px,yUP0,,成立不等式
f（P）「（P。
）（或f（P沱f（P。
））
则称函数f在点P。
取得极大（或极小）值，点P。
称为f的极大（或极小）值点•极大值、极小值统称极值•极大值点、极小值点统称极值点.
注意：
这里所讨论的极值点只限于定义域的内点.
例5设f（x,y）二2x2y2,g（x,y）=、1-x2-y2,h（x,y）二xy..由定义直接知道，
坐标原点（0,0）是f的极小值点，是g的极大值点，但不是h的极值点•这是因为对任何点（x,y）,恒有f（x,y）_f（0,0）=0；对函数（x,y）"（x,y）x2y2岂1,恒有g（x,y）—g（0,0）=1;而对于函数h,在原点的任意小邻域内，既含有使h（x,y）0的I、川
象限中的点，又含有使h（x,y）:
:
:
0的n、w象限中的点，所以h（0,0）=0既不是极大值又不是极小值.口
由定义可见，若f在点x0,y0取得极值，则当固定y=y0时，一元函数fx,y0必定
x=x0在取相同的极值上.同理，一元函数fx0,y.在y=y0也取相同的极值.于是得到
二元函数取极值的必要条件如下：
定理17.10（极值必要条件）若函数f在点P。
x°,y°存在偏导数，且在P。
取得极值，
则有
fxx°,y°二0,fyX。
，y。
=0.（16）
反之，若函数f在点P°满足（16），则称点F0为f的稳定点•定理17.10指出：
若f存在偏导数，则其极值点必是稳定点。
但稳定点并不都是极值点，如例5中的函数h，原点
为为其稳定点，但它在原点并不取得极值.
与一元函数的情形相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。
例如
f（x,y^,x2y2在原点没有偏导数，但f（0,0）=0是f的极小值.
为了讨论二元函数f在点P0X°,y°取得极值的充分条件，我们假定偏导数，并记
它称为f在P0的黑赛（Hesse）矩阵.
定理17.11（极值充分条件）设二元函数f在点P°（x0,y0）的某邻域U（P°）内具有
二阶连续导数，且P0是f的稳定点。
则当Hf（P°）是正定矩阵时，f在P0取得极小值；当Hf（P°）是负定矩阵时，f在P0取得极大值；当Hf（R）是不定矩阵时，f在P0不取极值.
证由f在P0的二阶泰勒公式，并注意到条件fx（P°）=fy（P°）=0,，有
f（x,y）一f（xo,y°）
由于Hf（P0）正定，所以对任何（ex,0,0，恒使二次型
Q（X.：
y）=（.：
x,.y）Hf（F0）（.：
x,.：
y）T0..因此存在一个与.：
x,.：
y无关的正数q,使得
Q（.：
x,二y）_2q（=x，.:
y）.
从而对于充分小的u（Po）,只要（x,y）・U（Po）就有
22*22*22
f（x,yf（x0,y0q（Ax+Ay片o（Ax+Ay）=（Ax+Ay$q+0））X0
即f在点（x°,y°）取得极小值.
同理可证Hf（P0）为负定矩阵时，f在P。
取得极大值.
最后，当Hf（P。
）不定时，f在P。
不取极值•这是因为倘若f取极值（例如取极大值），则沿任何过P0的直线=x0Ux,y=y0Uy,f（x,y^f（x0-Ux,y0•t=y）二t,
在t=0亦取极大值.由一元函数取极值的充分条件:
"（0）0是不可能的（否则「在t=0将取极小值），故"（0）乞0.而
「'（t）=fxxfry,
「"（t）二fix22fxyx：
yfyy.y2,「"（0）=x：
yHf（P。
）x：
yT.
这表明Hf（P0）必须是负半定的。
同理，倘若f取极小值，则将导致Hf（P0）必须是正半
定的。
也就是说，当f在P0取极值时，Hf（P0）必须时正半定或负半定矩阵，但这与假设
相矛盾.
根据正半定或负半定对称阵所属主子行列式的符号规则，定理17.11又可写成如下比较
实用的形式：
若函数f如定理17.11所设。
P0是f的稳定点，则有：
（i）当fxxP00,（fxxfy^f；y）P00时，f在点P0取得极小值；
（ii）当fxxP0",（fxxfyy-蔦）P。
0时，f在点P。
取得极大值；
（iii）当（fxxfyy-f：
）P0<0时，f在点P。
不能取得极值；
（）当（fxxfyy-f：
）P。
=0时，不能肯定f在点P。
是否取得极值.
例6求f（x,y）=x2•5y2-6x•10y6的极值.
解由方程组
fx=2x-6=0,
fy=10y10=0
得f的稳定点P03,-1，由于
fxxP0=2,fxyP07,
因为f在点P。
取得极小值f（3,-1）=-8.又因f处处存在偏导数，故（3,-1）为f的惟一极值点.
例7讨论f（x,x2xy是否存在极值.
解由方程组fx=2x•y=0,fy=x=0得稳定点为原点.
因fxxfyy-fx：
=-1£0,，故原点不是f的极值点。
又因f处处可微，所以f没有极
值点。
例8讨论f（x,y）=（y-X2）y-2X2在原点是否取得极值.
解容易验证原点是f的稳定点，且在原点fyy-f：
=0,故由定理17.11无法判定
2222
f在原点是否取到极值.但由于当X:
:
:
y:
:
:
2x时f（x,y）:
:
：
0,而当y•2x或y：
：
：
x时,
f（x,y）>0,（图17-7）,所以函数f不可能在原点取得极值.
SWa2
由极值的定义还知道，极值只是函数f在某一点的局部性概念•要获得函数f在区域
地D上的最大值和最小值（由上一章知道在有界区域上的连续函数一定能取得最大值与最小值），与一元函数的问题一样，必须考察函数f在所有稳定点、无偏导点以及属于区域的
界点上的函数值.
比较这些值，其中最大者（或最小者）即为函数在D上的最大（小）值.
例9证明：
圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小.
证设圆的半径为a•任一外切三角形为C,，三切点处的半径两两相夹的中心角
分别为：
■,:
.其中=2黛一（：
；亠『'）（图17-8）。
容易得出—2C的面积表达式为
2（aP
S=ata_n+ta-n+ta-ni
<222丿
2（aPg+B）
=atan—+tan——tan.
I222丿
其中0：
：
〉，!
「：
：
..为求得稳定点，令
广2口2口+呂）
secsecu0,
<22丿
（202川、°
sec一一sec|=0.
<22丿
在定义域内上述关于a,B的方程组仅有惟一解：
a=B=—x7=2兀—（a+B）=—n.
3'3
为了应用定理17.11，求得在稳定点:
J=2二，2二处的二阶偏导数为
133丿
S--.=4.3a2,S-[=23a2,S匚=4.3a2.由于S-•0,S…S匚-S2「二36a40,,因此S在此稳定点上取得极小值.
因为面积函数S在定义域中处处存在偏导数，又因此时:
=二，，而具体问题存在
最小值，故外三角形中以正三角形的面积为最小.
例10（最小二乘法问题）设通过观测或实验得到一列点xi,yi,i=1,2，…n.。
它们
大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量x与y之间的对应关系（参见图
22
17-9）.现在要确定一直线使得与这n个点的偏差平方和最小（最小二乘方）
解设所求直线方程为y=axb,所测得的n个点为xi,yi,（i1,2，…n.）.现要确定a,b，使得
n
f（a,b）=為（axib—yi）2
i=1
为最小•为此，令
「n
fa=2迟xdaxi+b-yj=0,
fb=2、（axb=0,
把这组关于a,b的线性方程加以整理，得
n2nn
a瓦Xi+b送人=送Xjyi=0
i4i4i4
nn
a送Xj+bn=送yi.
i吕i£
求此方程组的解，即得f（a,b）的稳定点
-.tx*yi
.i42
n
D=AC—B2=4nE一4送XjI>0,
i=1
从而根据定理17.11,f（a,b）在点a,b取得极小值.由实际问题可知这极小值为最小
值.口
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