析理以词解体用图.docx
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析理以词解体用图
刘徽所著的《九章算术注》中主张“析理以辞，解体用图”。
这里所说的“辞”，就是指逻辑与逻辑理性的推理过程及表述；“图”是指图形及其直观性分析。
刘徽在数学方面的成就可以概括为两个方面：
一是清理古代数学体系
，完善理论基础；二是推陈出新，取得了一批出色的数学成果。
《九章算
术》和《欧氏几何》在思维方法上有很大的不同。
《九章》强调辩证思维
，这里“悟”很重要，只有深入的“悟”，才有最后的“觉”。
事物之间
，虽然枝叶纷繁，必有主干支撑，一定要削枝强干，彼此类推。
“析理以
辞，解体用图”是刘徽常用的方法，也是中算的特色，学者不仅要明“形
数结合”之理，还要明“寓理于算”之理，把形象思维和逻辑思维结合起
来。
学数学不能满足于“懂了，会了”的要求，还要不断探索研究。
现在
开设的研究性课题就是为了发展这方面的能力。
二）刘徽及其《九章算术注》的数学思想与方法
1．极限的思想
刘徽是世界上第一个在数学中运用极限思想的人。
他在“割圆术”、“弧田术”、“开方术”、“阳马术”等中都用到了极限思想。
“割圆术”是刘徽为“方田章”第23题的“圆田术”作注时引入的，用来求圆面积及推算圆周率。
他用倍增圆内接正六边形的边数，以正3╳边形当时面积的极限来定义圆的面积；他说：
“以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂；若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。
割之弥细，所失弥少。
割之又割，以致于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。
刘徽根据上述思想求出圆内接正192边形的面积，求得，他继续求到圆内接正3072边形的面积，求得圆周率。
另外，刘徽还把“割圆术”用到求弓形的面积、棱锥的体积上。
刘徽在数学上多次用极限思想处理问题，而且运用比较熟练，说明他已经对极限有了相当的认识，这是刘徽在数学上极其重要的成就，充分反映了他数学思想的先进。
2．数形结合的思想
“出入相补原理”，又称“以盈补虚法”，是刘徽发展并系统化了的一种独特的数学方法，发展了古代的数形结合思想。
用现代语言来说，就是指这样的一个明显事实：
“一个平面图形从一处移置他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系；立体的情形也是这样”。
刘徽在“方田”章第26题注中，把等腰三角形田变换成等积的矩形田（直田），再利用“方田术”求面积。
在“勾股术”注中，论述到：
“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也；合成弓玄方之幂，开方除之，即弓玄也”。
在“少广”章的开平方术中，把数的开平方归结为求一个已知面积的正方形的一边长。
“出入相补原理”可以说贯穿在刘徽的整个《九章算术注》中，它反映了当时人们已具有较高的抽象概括能力，抽象概括出解决实际问题的一般原理，而这种一般原理又具有简明性和较强的直观性，用它能帮助人们把许多算法联系起来并得出更多的有效算法。
“出入相补原理”的提出，反映了刘徽对中国古代传统的数学思想做了大的发展。
3．辩证的思想
刘徽主张对于具体问题具体分析，解决数学问题不应拘于一法。
例如《九章算术注》“均输”章第26题，他认为有两种解法，到底用哪种方法，刘徽认为“可随率宜也”。
4．转化的思想
刘徽用转化的思想指导运算中的化简工作，例如对于约分就明确地讲述了这一点。
他注意到“分之为数，繁则难用”，因此要约分，而约分的结果数值不变；他说：
“设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四，约而言之，则二分之一也；虽则异词，至于为数，亦同归尔”。
在“衰分”章中，刘徽还讲了分数的同值变换问题，“一乘一除适足相消，故所分犹存”。
5．逻辑推理的思想
刘徽很注意数学推理的逻辑性，他对《九章算术》中的所有数学概念都作了解释或逻辑定义，他还考虑了各问题间的逻辑关系。
在“勾股”章中明确指出：
这一章只所以一开始就提出了勾股定理，是因为“将以施于诸率，故先具此术，以见其源也”。
他从逻辑严谨性出发，对于那些能从逻辑上证明的法则都进行了论证，他认为有些问题不能只限于感性认识，必须从理性上加以认识。
6．同一性的思想
刘徽在《九章算术注》的序文中说：
“事类相推，各有攸归，故条枝虽分而本同干者，知发其一端而已”。
意思是有许多问题，表面上看不相同，但在理论上都是一致的，它们有共同的根源；在整个注解中，都贯穿了这种思想，如在“勾股”章16题注中说：
“言虽异矣，及其所以成法，实则同归矣”。
7．直观性的思想
刘徽也非常注意数学的直观性，他主张“析理以辞，解题用图”。
理论与直观并用，只有这样，才能更好地使人理解数学内容，达到“庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣”的目的。
因此他在数学研究中很注意使用图形、立体模型、剪纸和涂抹颜色。
8．无限的思想
刘徽超越前人、天才地将无限过程成功地运用于数学证明，特别是他的阳马术注展示了他所具有的非凡的高难技巧。
刘徽在“阳马术”注中说“半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉？
”，无限进行分割的结果最后得到一个“至细”“无形”的东西；在“割圆术”中利用边数增加的圆内接正多边形逼近圆，当边数增加到无穷多时，这个正无穷多边形就和圆重合。
在刘徽那里，不可分量构成几何图形和“无厚”可积的观念取得了合法地位，并成为他成功地用于处理面积、体积问题的某些方法的基础。
∙刘徽是三国时期魏国人，籍贯山东临淄，生卒年代不详，中国古典数学理论的主要奠基人。
其主要著作是《九章算术注》、《重差》（至唐代更名为《海岛算经》）一卷和《九章重差图》一卷。
其内容反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献，成为中国历史上最伟大的数学家。
他是世界上最早提出十进制小数概念的人，也是世界上第一个引入极限概念，并用它解决实际问题的人。
“析理以辞，解体用图”是他研究数学的风格之一，他对许多数学概念给出了定义，并在证明许多重要公式、原理时，既注意逻辑推理，又注意运用直观手段，经他注释的《九章算术》对中国古代数学的发展影响了一千余年，是东方数学的典范之一，与古希腊欧几里得的《原本》所代表的古代西方数学体系交相辉映。
第三，想介绍一下中国传统数学理论体系的奠基就是以刘徽《九章算术注》为代表的汉末至唐初数学。
东汉末年起，中国的政治、经济和思想发生了重大的变革。
首先是在军阀混战中，自给自足的庄园经济得到进一步的发展，到魏晋已经成为主要的经济形态。
与庄园经济相适应的是门阀世族制度的建立。
门阀世族取代了秦汉的世家地主，占据了政治舞台的中心。
与这个相适应的儒家的统治地位受到削弱，思想界出现了大的解放。
繁琐的两汉经学退出了历史舞台,而西汉独尊儒术之后受到压抑的先秦诸子，甚至被视为异端的墨家，重新抬头。
那么当时思想解放最突出的表现就是玄学与辩难之风的兴起。
玄学家将道家的“道法自然”与儒家的名教结合在一起，主张“名教本于自然”，主张“名教本于自然”。
后来他们又发展到，这个称为“辩难之风”。
提出“越名教而任自然”，宣扬“非汤武而薄周孔”，突破了正始之音，力图调和儒道的观点，学术界的思想进一步解放。
玄学是研究自然与人的本性的学问，主张顺应自然的本性，那么这是有利于数学和科学技术发展的。
玄学名士们特别重视“理胜”。
探讨“理胜”的途径，探讨思维规律，成为学者们的一项重要任务，这就是“析理”。
“析理”是名士们进行辩论的主要方法，甚至成为辩难之风的代名词。
玄学名士对“析理”遵循“易简”的原则。
先秦诸子的抽象能力大都比较强，但是两汉的学者的抽象思维能力都比较弱，明显低于先秦。
玄学家们的辩难的命题大都十分抽象，思辩水平相当高。
数学由于是最严密、最艰深的学问，那么经常成为玄学家们析理的依据。
同时玄学家们析理的这个思想也深入到数学中，所以数学中也开始析理。
刘徽对《九章算术》的注的宗旨就是“析理以辞，解体用图”。
这个“析理”当然和思想界的“析理”有不同的内容。
但是，他对数学概念进行定义，追求数学命题的证明，追求推理的正确、证明的严谨，即在追求数学上的“理胜”这个与思想界的析理是一致的。
所以他在析理的原则上，刘徽与玄学名士嵇康、王弼、何晏都认为应该“要约”，“约而能周”主张“举一反三”“触类而长”，反对“多喻”，反对“远引繁言”。
析数学之理,显然是深受辩难之风“析理”的影响。
这些都说明，思想界的析理与数学的析理是相辅相成的，相得益彰。
刘徽《九章算术注》，便是魏晋玄学和辩难之风影响下的产物。
在这之前，东汉末的徐岳还致力于记数法和计算工具的改革，赵爽以简洁的文字证明了当时的勾股知识。
所以魏晋这一段尽管时间跨度不长，在中国数学史上的地位却十分重要，不仅大大超过了先秦（秦汉），而且再次登上了世界数学发展的高峰，特别是理论的高峰。
数学家们的主要业绩是表现在数学方法、数学证明和数学理论方面。
因此以刘徽《九章算术注》为代表的魏晋数学无论从数学的研究方向，还是理论高度，逻辑方法，都与《九章算术》时代的数学有明显不同，应该属于另外一个阶段，这就是中国传统数学理论奠基的阶段。
这一时期的主要（数学）工作是：
刘徽大大发展了《九章算术》的率概念和齐同原理，指出了率和齐同是“算之纲纪”借助于率，把中国古代数学的算法提高到理
怎样开平方
本题实际上是一个整数因式分解题,原书用开平方法来解.现在由于计算器已经普及,开平方的方法也不列入中小学的教学内容了.但是开平方是一种非常重要的运算,其难度远超过四则运算和乘方.在古代<周髀算经>里已给出了若干具体数字的平方根.<九章算术>详细说明了开平方的方法,步骤,尤其可贵的是采用数形结合的方法,根据几何上”出入相补”的原理.”析理以词,解体用图”,显示了中国传统数学的特色.现借用这一题,说一说古人的思想方法和开方原理,可以帮助我们拓宽解决其他问题的思路.
开平方的运算从几何上看,最早起源于解”已知正方形的面积,求边长”这样一个实际问题的需要,也就借助于图形分割把平方根一位一位地开出.
设正方形ABCD面积为361,先估计它的第一位数字（在<九章算术>里称为’议’）.因为
100<361<400
10<361的平方根<20
它告诉我们它的平方根是二位数,十位数是1
AB上取AE=a=10,作小正方形AFEG,其面积为100,从大正方形中挖去小正方形,余下一个直角曲尺形EBCDGF,其面积为361-100=261再根据261来确定361的平方根的个位数从图中可看出要根据EB的长度定个位数b,不光是挖去一个小正方形b*b,还要挖掉两个小长方形2ab,把a=10代入
2ab+b*b=20b+b*b=（20+b）*b
利用这个式子估计个位数b,b取1,2,..9从图中看出b接近8,9,代入试算,估计个位数为9,取EB’=9,则（20+b）*b=29*9=261正好B’与B重合,开方得尽所以361的开平方为19如果B’与B不重合,还可以继续开下去,刘徽就是用这样的图形来说明开平方的方法的.
华罗庚教授曾说：
数缺形时少直觉，形缺数时难入微。
《九章算术》言：
析理以词，解体用图，讲的就是这个道理。
数与形的有机结合本身就是数学学习的有效方法，我们习惯上把上述问题看成单纯的计算问题，就计算解决计算，对该习题价值的把握与挖掘难免有失偏颇，不能给学生找到解决问题的钥匙也就在情理之中了。
刘徽对数学公式与定理的证明体现了明显的严格求证思想和高度的技巧，运用了多种逻辑推理方法，其基本原则是“析理以辟，解体用图”，即分析道理（包括证明命题）靠逻辑论证，阐发几何对象使用各种图形，他对正四棱台体积公式，勾股定理，勾股数一般公式的证明都十分精彩。
刘徽善于从古代数学的具体算法中概括出具有普遍意义的一般原则、原理，使之上升到理论的高度，例如，他从分数的通分过程中概括出“齐同术”，又结合比率的基本性质又概括出关于率的运算的三条法则成为处理各种复杂问题的有力工具。
他又由传统数学中暗含的几何图形通过各种分、合、移、补变换面积、
刘徽在《九章算术》注释中谈到“析理以辞，解体用图”，赵爽注释《周脾算经》时谈到“辄依经为图，以披露堂之奥”，这反映数形结合思想在古代数学中就作为了一种重要的数学思想。
数学教学中，教师应灵活地借助数形结合思想，将数学问题化难为易，帮助学生理解。
那么，如何在小学数学教学中挖掘数形结合思想并适时地加以应用呢？
下面笔者根据日常的教学实践谈谈自己的见解。
推类是刘徽注“析理以辞、解体用图”的基础。
刘徽对《九章算术》的作注所依宗旨是：
“析理以辞，解体用图”。
而这一宗旨是当时和前期数学研究范式的文化内涵的高度抽象与高度概括。
如何“析理”，从《周髀算经》开始，人们一致认为，“贵约”。
《周髀算经》中有：
“夫道术，言约而用博者，智类之明”[8]，嵇康则明确提出“析理贵约而尽情，何尝浮秽而迂诞哉？
”（《明胆论》）刘徽对数学析理则作出深刻的论证：
“又所析理以辞，解体用图。
庶亦约而能周，通而不黩”[9]，“至于此类，苟务其成，然或失之，不可谓要约”[10]。
那么“贵约”的技术要点在于什么，嵇康认为在于“触类而理知”，他说：
“故善求者，观物于微，触类而长，不以已为度也”（《答阮侃释难宅天吉凶摄生论》）。
“触类而长，所致非一”（《琴赋》），“夫至物微妙，可以理知，难以目识”（《养生论》）。
刘徽则认为在于“触类而情推，”他说，“触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入”[11]，“教而求穷之者，谓以情推，不用筹算”[12]。
由此看来，刘徽与嵇康等人对析理有共识：
析理在于贵约，贵约在于推类。
我们的祖先迈进文明社会的门槛以后，在相当长的时间里，仍然非常重视图画在传授文
化知识中的作用。
《易·系辞上》说：
“河出图，洛出书，圣人则之。
”这是个古老的故事。
相传古时候，龙马驮图出现在黄河上，神龟负书出现在洛水上。
伏羲根据河图洛书，画成八
卦。
这便是以后《周易》的来源。
尽管这个传说故事荒诞不经，但是它却反映了古人把图与
书视为一个不可分割的整体，故称“图书”。
然而，图与书，即图画与文字，其功能不同，
魏晋时的数学家刘徽说，“析理以辞，解体用图”。
所以，古人以图为经，以书为纠，“一经
一纬，相错而成”。
我国先秦典籍大概是讲究图文并茂的。
比如“《山海经》古有图”，流传过
程中图散失了，后人又补绘。
上海古籍出版社的《山海经校注》有图画150幅。
南宋史学家
郑樵在《图谱略》中讲过一个故事，他说有人以“鲁三桓郑七穆族系”向唐代学者武平一求
教，武平一能够详细无遗地讲出来。
当时人叹服武平一深明《春秋》。
可郑樵却指出：
“平一
固熟于《春秋》，此非明《春秋》之效也，见《春秋》世族谱焉！
”这里所说的世族谱，就类
似我们新一代历史教科书图画中的一类图示。
这个故事对我们有两点启示：
一点是，作为我
国流传下来的第一部历史书和第一部历史教科书的《春秋》原有图谱；再一点是，《春秋》图
谱是掌握《春秋》文字内容的有效工具。
郑樵指出：
“古之学者，为学有要，置图于左，置
书于右，索象于图，索理于书。
”这种把形象感知和抽象思维结合的治学要道，是符合认识
论的。
东汉末年，刘向、刘歆父子整理图书。
“刘氏之学，意在章句，故知有书而不知有图”。
他们废弃图画，破坏了古代图书的完整性。
郑樵叹惋：
“图至约也，书至博也。
即图而求易，
即书而求难”，“图既无传，书复日多兹学者之难成也”。
为了弥补无图的缺憾，尽管我们的
前人努力给一些古籍补图配画，但是图画已经沦落为文字的附庸，被称为“插图”了。
郑樵认为“世无图谱”是“歆向之罪”。
表面上看是这样，而其内里隐藏着深刻的社会历
史原因。
刘氏父子整理图书所犯错误的思想根源在于迷信理智，轻视知觉，使思维与知觉脱
离。
而产生这种错误思维的客观原因又在于，随着人类社会的进步，人们使用的文字也在发
展，文字发展的方向是跟图画的关系日益疏远，跟语言的关系日益亲近；语言是思维的直接
现实；这样，人们就极容易跌进迷信理智，轻视知觉的泥坑。
当代美国著名的心理学家鲁道
夫·阿恩海姆抱怨：
“时至今日，人们仍然还在把知觉和思维区分成两大互不联系的领域”。
“正是这种分裂，才引起了现代人的各种‘营养缺乏症’”，因为“我们的整个教育系统仍然
建立在对词语和数字的研究上。
只有在幼儿园中，儿童们的学习才是通过观看和制造某些美
的形状进行的，这无疑是通过感知进行思维。
然而一当孩子们踏进小学一年级，这种对感知
的训练便失去了在教育中应有的位置”。
“由于教育的主要精力放到学习语言和数学，它同艺
术的血缘关系就渐渐冷却和消失了”。
上面，我们粗略地回顾了包括历史教科书在内的图书发展史，从中不难看出，图文并茂
的人教版新一代历史教科书走出了“意在章句，故知有书而不知有图”的历史误区，重新架
设了感知与思维之间的桥梁。
这就为改变片面的注重理性、轻视感性的历史教育系统，初步
奠定了教材的基础。
感知是认识真理的源泉和起点。
视觉是人类认识活动中最有效的途径。
心灵离开意象就
永远不能进行创造性思维。
从人类思维发展的历史看，原始人思维的本质特征是一种非概念
推理性的直观象征思维；文明人思维不但保存着原始人思维的各种形式，如动作思维、直觉
思维、形象思维等，而且发展到概念推理的高度；人的文明程度越高，运用概念进行抽象思
维的水平越高。
心理学研究表明，人类个体思维发展过程是人类整体思维发展过程的缩影。
人在婴儿、幼儿、少年，甚至青少年时期，直观象征思维占主导地位，所以图画在中小学教科
书中很重要。
这一点对中小学历史教科书尤为重要。
因为历史都是往昔的陈迹，在现实世界
中不能重演。
历史知识这种过去性的特点，给教学双方都带来很大困难。
如果老师能够运用
图画诱发学生的观察力和想象力，去再造历史形象，引导学生神游历史的殿堂，感受往昔的
情境，那就为学生获取历史知识，发展思维能力，开辟了一条便捷之路。
图画是直观的形象
的视觉教材，在历史教科书中，图画与文字相得益彰，同等重要，图画绝不是文字的附庸。
这也是人教版新一代历史教科书不再称它们为“插图”的原因。
需要计算更需要想象——一道习题的处理与反思
在四年级“三角形”这一单元里，学生作业中有这么一个习题：
在等腰三角形中，它的一个角是50°，求另外两个角的度数。
下面是一位老师的处理过程。
在学生自主探索的基础上，师生共同归纳：
（1）如果顶角是50°，（180－50）÷2=65（°）。
答：
另外两个角的度数都是65°。
（2）如果底角是50°，180－50×2=80（°）。
答：
另外两个角分别是50°、80°。
然后变式：
如果它的一个角是150°，另外两个角分别是多少度?
部分聪明的学生很快探索得出只有一种情况，150°只能是等腰三角形的顶角，另外两个角的度数都是15°，因为一个三角形中最多只有一个钝角。
按照传统的理解，这位老师的处理已经基本到位：
在学生自主探索的基础上，帮助学生及时进行整理归纳，归纳过程中非常注重解题思路的理清，把为什么这么解答的算理讲得非常清楚，特别是为了防止学生简单模仿，还加入了变式练习。
但实际的练习效果并不理想，部分后进生课后遇到同样的问题，又出现了差错。
什么原因呢?
课后我们进行了深入细致的反思，觉得问题还是缺在对空间与图形这部分内容中计算要求的理解与把握上。
我们认为空间与图形内容中的计算及其算理是在空间观念关照下的一种数学实践活动，缺少了空间观念的关照这一前提，这样的算理理解就缺少了支撑。
在上述处理过程中，该教师已经意识到这个问题的解决不能一步到位，所以非常注重让学生理清其中的思路，还安排了变式。
但把眼光局限于抽象算理的语言演绎，缺少抽象算理背后的形象支撑，即缺少这么一个后继环节，即在归纳得出两种情况后，让学生想象一下刚才求得的度数对应的是怎样的两个三角形，这样便于学生把抽象的算理与具体的图形建立实质性的联系。
再进行变式，但先不计算，而是让学生根据刚才的想象，判断当顶角是150°时，又是怎样的一个图形，然后再计算，来验证想象。
如果想象与计算吻合，那么不但是对想象的一种肯定，同时也是对前面计算过程算理的一种确认，实现了抽象算理理解及数字计算与形象图形感知与想象的有机融合；如果想象与计算有出入，那么因为有图形的支撑，就非常容易找到错误之处，并有针对性地加以纠偏。
整个处理过程紧紧绕学生的空间观念的发展而展开，这样，学生对为什么这样算就有了形象的支撑，有了形象的支撑，学生对问题的理解就有了着力点，相应的迁移能力也就得到了保证。
反之，缺少形象的支撑，这样的问题单凭计算，学生很难具体化，学生针对自己的错误，很难寻找错误的原因，对于以形象思维占主导的中年级学生来说，理解夹生也就不足为怪。
华罗庚教授曾说：
数缺形时少直觉，形缺数时难入微。
《九章算术》里有这样一句话：
析理以词，解体用图。
数与形的有机结合本身就是数学学习的有效方法，我们习惯上把上述问题看成单纯的计算问题，就计算解决计算，对该习题价值的把握与挖掘难免有失偏颇，不能给学生找到解决问题的钥匙也就在情理之中了
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