机械振动学总结全.docx
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机械振动学总结全
机械振动学总结
机械振动学基础
第二节机械振动的运动学概念
第三节
机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复
运动。
从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t
变化的规律。
用函数关系式
来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数T的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数
来表示，则这一个运动时周期运动。
其中T的最小值叫做振动的周期，f=丄定义为振动
T
的频率。
简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
简谐振动物体作简谐振动时，位移x和时间t的关系可用三角函数的表示为式中：
A为振幅，T为周期，「和*称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度■称为简谐振动的角频率
简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
图P6
旋转矢量的模为振幅A，角速度为角频率■
若用复数来表示，则有
z二Aej（宀
z二Acos（A'■）jAsin（'■）
ej七对时间求导一次相当
用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。
因为复指数于在其前乘以r-，而每乘一次j,相当于有初相角。
2
二•周期振动满足以下条件：
1）函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在;
2）在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier级数的形式，若周期为T的周期振动函数，则有式中
Ana2bntann二％
bn
三、简谐振动的合成
一、同方向振动的合成
1.俩个同频率的简谐振动
x2=A2Sin（-t'■2）,x2=A2sin（・2t2）
它们的合成运动也是该频率的简谐振动
2.俩个不同频率振动的合成
若•‘1_2，则合成运动为
沿y方向的运动为
2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线第三节构成机械运动的基本元素构成机械振动的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。
惯性就是能使物体当前运动继续下去的性质。
阻尼就是阻碍物体运动的性质。
恢复性就是能使物体位置恢复到平衡位置的性质。
第四节自由度与广义坐标
系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时的自由度数与约束条件数之差。
对于n个质
点组成的质点系，个质点的位移可用3n个直角坐标来描述。
当有r个约束条件时，约束方程为
为了确定各质点的位置，可选取N=3n-r个独立的坐标来代替3n个直角坐标，这种坐标叫做广义坐标。
第二章单自由度系统
第二节无阻尼自由振动
单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程
令w：
二k/m，系统的运动方程可表示为
函数x（t）必须具有这样的性质：
在微分过程中不改变其形式。
因而假定方程的解为的形式是合理的。
式中B和，是待定常数，代入方程中
方程决定于
方程叫做系统的特征方程或频率方程，它有一对共轭虚根：
二-j'n，叫做系
统的特征值或固有值，方程的俩个独立的特接分别为
式中Bl和B2是任意常数。
方程的通解为
x（t）二BiejntB2e」nt
x（t）=（BiB2）cosptj（Bi-B2）sin：
t方程的通解从物理意义上说，表达了系统
x（t）二DjCOSntD2sinnt
对于确定的初始条件，系统发生某种确定的运动为
它是由俩个相同频率的简谐运动所组成。
再将这俩个相同频率的简谐运动合成为式中
A为振幅，J为初相角。
线性系统自由振动振幅的大小只决定于施加给系统的初始条件和
系统本身的固有频率，而与其他因素无关。
线性系统自由振动的频率^^?
k/m只决定于
系统本身参数，与初始条件无关，因而叫做系统的固有频率或无阻尼固有频率。
第三节能量法
一个无阻尼的弹簧系统做自由振动时，由于不存在阻尼，没有能量从系统中散逸，没有能
量输入，系统机械能守恒。
T+U=E=常数
最大动能和最大势能为Tma^1mwn2A2,Uma^1kA2由于-mwn^A2-kA2，并定义
2222
=—kA，故可得Wn=Jfax=Jm。
第四节有阻尼自由振动
第五节
在实际系统中总存在着阻尼，总是有能量的散逸，系统不可能持续作等幅的自由振动，而是随着时间的推移振幅将不断减小，这种自由振动叫做有阻尼自由振动。
最常见的阻尼有粘性阻尼、库伦阻尼或干摩擦阻尼和结构阻尼。
、粘性阻尼
的一个粘性阻尼器，直径为d,长为L的活塞，带有俩个直径为D的小孔，油的粘度为J，密度为：
?
0
作用于活塞上阻力的大小近似地表示为
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与速度成正比，方向和速度相反。
这是，阻尼系数为
二、粘性阻尼自由振动
具有粘性阻尼的单自由度系统的理论模型，粘性阻尼力与相对速度成正比，应用牛顿定律，可列出系统的运动方程
动力学方程：
x•——nx」*=0
系统的特征方程或频率方程
方程的特征值的表达式可写成
当’<1这时方程的通解可表示为
实际阻尼小于临界阻尼的系统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
当=1时，系统的阻尼系数等于系统的临界阻尼系数，这种系统叫做临界阻尼系统，系统的运动可表示为
当>1,这时，系统叫做过阻尼系统或强阻尼系统，其特征值为俩个实数，即
三、结构阻尼
内摩擦所消耗的能量等于滞回环所围面积
其中k是等效弹簧常数，A是振幅，
等效粘性阻尼系数是其中：
是无量纲的结构阻尼常数
第五节简谐激励作用下的强迫振动第六一、简谐激励力作用下的强迫振动
单自由度系统在简谐激励力作用下的强迫振动的理论模型系统的运动方程为
式中F为激励力振幅，w为激励频率。
方程是一个非齐次方程，在一般情况下，还受到初始
条x（0）=x0，x（0）=x0的作用，实部和虚部分别与F0coswt和F0sinwt相对应
受力分析
振动微分方程为
X为复数变量，分别与Focoswt和F°sinwt相对应，对于此方程的通解等于齐次微分方程的通解与非齐次微分方程特解之和，即暂态响应和稳态响应假定方程的特解为
式中X为复振幅，代入方程中，有式中X为振幅，是复振幅X的模，继而得到方程的相角：
，是复振幅X的幅角，有因此，方程的特解为
对于欠阻尼系统，齐次方程的通解为
因此，对于弱阻尼系统，方程的通解为
定义强迫振动的振幅X与Xo的比为放大因子，用M表示，则有式中Xo=F/k,r=w/Wn,Xo叫做等效静位移，r叫做频率比。
（类似）
当r-0是，M-1,而与阻尼无关，这意味着，当激励频率接近于零时，振幅与静位移相近。
当r—：
：
时，M—0，也与阻尼大小无关，在激励频率很咼时，振幅趋于零，质量不能跟上力的快速变化，将停留在平衡位置不动。
当r=1时，'=0，在理论上M—：
：
，将产生共振现象强迫振动和激励力之间有相位差，方程可改写成下图便是以•为参数，相角'随r，即w变化的曲线
、旋转不平衡质量引起的强迫振动在许多旋转机械中，转动部分总存在着质量不平衡，所以构建了如下图的系统列出系统的运动方程为
系统的放大因子可表示为
其关系曲线表示在图上
第六节简谐激励强迫振动理论的应用
第七节
一、隔振
用来消除对机器、仪器和设备的工作性能产生有害影响振动的措施叫做隔振，隔振分为俩种，积极隔振和消极隔振。
积极隔振：
把震源与地基隔离开来以减少它对周围的影响而采取的措施叫做积极隔振。
消极隔振：
为了减少外界震动对设备的影响而采取的隔振措施叫做消极隔振。
二、振动测试仪器
1、位移传感器
2、加速度传感器
3、速度传感器
第七节非简谐激励作用下的系统响应
第八节
一、奏起激励作用下的强迫振动
对于线性系统在受到周期激励作用时，系统稳态响应的计算为：
系统的稳态响应为
二、非周期激励作用下的系统响应
当系统受到单位脉冲的激励作用下的系统响应为
第三章两自由度系统
第一节无阻尼自由振动
第二节
一、固有模态振动
凡需要用俩个独立坐标来描述其运动的系统都是两自由度系统
由图建立坐标，坐标X1和X2是俩个独立的坐标，它们完全描述了系统在任何时刻的运动根据牛顿定律得
常数矩阵MI和K分别叫做质量矩阵和刚度矩阵。
第二节无阻尼强迫振动
第三节
对于两自由度系统，无阻尼强迫振动运动方程的一般形式可表示为把强迫振动方程写成简明的形式
用「fejwt代替'F?
sinwt方程的解为
由于现在讨论的事物阻尼系统，Xi和X2表达中各元素都是实数，因此，与单自由度系统
无阻尼强迫振动相同，对于不同的激励频率，相角i和2值分别为0或二，这些曲线分别
叫做幅频特性曲线和相频特性曲线。
第四节无阻尼吸振器
第五节
设计安装一个由质量和弹簧都不同的辅助系统~吸振器。
形成的两自由度系统，运动方程为
解方程，得
式中，wi=ki/mi为主系统的固有频率，W2「k2/m2为吸振器的固有频率，X。
二F/ki为主系统的等效静位移。
u=m|/m2吸振器质量与主系统质量的比第六节有阻尼振动
第七节一、自由振动
第八节一个具有粘性阻尼的两自由度系统如下图所示
第十节m/i（GC2）Xi（&+k2）xi-5X2-k2x2=0
第十一节
m2X2C2X2k2x2-c2xi-k2xi=0
第十二节
把方程写成矩阵形式
第十三节
mi0xig•C2—Q丨凶kik2-kJ1xi!
|0
IL0m2x>_-C2C2］以2_-k2k2x21J0
第十四节对于阻尼系统，自由振动运动方程一般形式表示为
第十五节I.M忱〔C1讣？
•[KIfx—「Fg（t）?
第十六节假定方程的解为（X（tp={B}e"=!
1le"_2
第十七节
有阻尼振动分别有自由振动、强迫振动组成。
与有阻尼单自由度系统相同，由初始条件引起的自由自由振动系统的运动，将随时间不短减小。
这表明系统的运动将是振幅按指数函数衰减的简谐运动。
两自由度有阻尼系统强迫振动运动对于线性系统，叠加原理在这里也成立，对于系统的稳态响应，用复指数法求解。
第十八节位移方程
第十九节
一、柔度影响系数定义弹簧常数为k的弹簧的柔度系数为
d=1/k
则对于前面讨论的系统的运动方程表示为
或
其中D叫做柔度矩阵，其元djj,i,j=1,2，叫做柔度影响系统，定义为
即，值在j点作用已单位力时，在i点引起的位移的大小。
禾U用柔度影响系数的定义，就可以确定系统的柔度矩阵。
对于系统的刚度矩阵，其元素kij，也叫做刚度影响系数，定义为
它表明只在j点产生一单位位移时，在i点需要施加的力的大小。
利用这一定义可以确定系统的刚度矩阵。
对于有阻尼系统，阻尼矩阵的元素~~阻尼影响系数也可按其定义以类似的方法确定。
改写
因而有2-IkI4T（tp-M1：
X/与位移方程相比较，得Di；=KF
系统的柔度矩阵是系统刚度矩阵的逆矩阵，但系统的刚度必须是非奇异的
第四章多自由度系统
第一节Lagrange方程
第二节
对于许多复杂的机械系统，利用Lagrange方程去建立系统的运动方程常常是非常有效的
Lagrange方程的一般形式可表示为
d■（黑）-—+1D+—=Fii=1,2,…,ndtq:
q；:
q；:
q
式中q是广义坐标，对于n自由度系统有n个广义坐标。
R沿广义坐标q：
方向作用的广义
D是系统的散逸函数。
力。
T是系统的动能函数，U是系统的势能函数,
1nn
qiqj=—送送kjqqj
丿2w
d二丄诃丁〔cl®
2
列出系统的势能、动能和散逸函数后，由Lagrange方程可得到n自由度系统的运动方程第三节无阻尼自由振动和特征值问题
第四节
n个自由度无阻尼系统自由振动的运动方程为
方程表明，时间函数和空间函数是可以分离的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间无
关，因此，其比值一定是一个常数。
f（t）是时间的实函数，比值一定是一个实数，假定为
，，有
把它写成矩阵的形式，为
式中U;=UiU2…un【也可表示为解上面两个方程的问题叫做矩阵M1和K的特征值问题。
方程的通解为
第五节特征向量的正交性和主坐标
第六节
对于一个n自由度系统，其第r阶特征值’r二W；r对应的特征向量为心r，其第S阶特征值
'r对应的特征向量为，它们都满足前面的方程，因而有由于Wns=Wrs，只有
同理可以得到
上两个方程表示了系统特征向量的正交关系，是对质量矩阵MI刚度矩阵'K1加权正
交。
必须强调，正交性关系仅当刚度和质量矩阵为对称矩阵时才成立。
由于特征向量缶；（r=1,2,...,n）的绝对值不是唯一的，振型矩阵也不是唯一的，所以描述系统
运动的主坐标也不是唯一的，实际上，可能有无限多组主坐标。
第七节对初始条件的响应和初值问题
N自由度无阻尼系统的自由振动表达式为
待定常数Ar和匚，由施加于系统的初始条件决定。
若施加于系统的初始条件$（0），^（0^'q0［则有
即
第八节半确定系统
第九节
如果有一个系统，它的运动方程为
变换，用主坐标描述系统的运动，运动的方程成为
且有w；r=kr/mr，可得
因而有
Di和巳为任意常数。
方程表示，整个系统沿主坐标的运动是一个刚体运动，没有发生弹性变形，它也是系统的一个固有模态运动。
当有一个或几个固有频率等于零的系统叫做半确定系统。
并且具有半正定刚度矩阵的系统是一个半确定系统。
第十节具有等固有频率的系统
第十一节
机械系统由于结构的对称性或其他原因，系统可能具有重特征值，也就是有相等的固有频率
运动限于xy平面内，两个弹簧直交并相等。
在微幅振动时，系统的运动方程为它们有两个相等的固有频率，是一个退化的系统。
线性代数表明，无论系统是否具有重特征值，系统的所有特征向量有正交关系。
对于重特征值’S，有下列关系
式中F（7（l）为矩阵f（s）伴随矩阵的（1-1）阶导数。
因而，对于重特征值的I列特征向量与尸7
（1）的|列非零列成正比。
可以利用^J）（s）来确定重特征值s的特征向量。
对于其
2）/\"
余非重特征值，仍保持方程中的关系，利用F（s）」来确定其对应的特征向量。
第十二节无阻尼强迫振动和模态分析
第十三节
一个n自由度无阻尼系统自由振动的运动方程为
式中尸⑴，是外激励力向量。
如果外激励力时简谐激励力、周期激励力或不同频率的简谐激励力的某种组合时，利用振型矩阵，把描述系统运动的坐标，从一般的广义坐标变成主坐标，把运动方程变成一组n个独立的方程，叫做模态分析法。
使用它使得强迫振动运动方程的求解和分析大为简化。
要解矩阵K和MI的特征值问题
对质量矩阵归一的正则坐标有
由此，得到广义坐标H'的一般运动为
方程描述了系统过度过程的运动，对于外激励力为简谐函数时，系统的稳态响应是指与外激励力相同频率的响应，对于周期激励力，还包括与其高次谐波有关的响应。
第十四节对基础运动的响应
实际问题中还会碰到由基础运动而引起的振动问题
如图P190
系统的运动的矩阵方程为
方程可改写为
有时，基础运动以加速度qg（t）表示，现在用相对于基础的坐标qi和业，系统的运动方程为则有
方程在形式完全相同，求解方法也相同，当上面方程的解为相对坐标幻'的响应，而绝对坐
标幻心©miq。
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