导数题型总结及解法大全Word文件下载.doc
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则在区间[0,3]上恒成立
解法一：
从二次函数的区间最值入手：
等价于
解法二：
分离变量法：
∵当时,恒成立,
当时,恒成立
-2
2
等价于的最大值（）恒成立，
而（）是增函数，则
（2）∵当时在区间上都为“凸函数”
则等价于当时恒成立
变更主元法
再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）
例2：
设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
解：
（Ⅰ）
3a
a
令得的单调递增区间为（a,3a）
令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）
∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.
（Ⅱ）由||≤a，得：
对任意的恒成立①
则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：
单调增函数的最值问题。
上是增函数.（9分）
∴
于是，对任意，不等式①恒成立，等价于
又∴
点评：
重视二次函数区间最值求法：
对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种：
构造函数求最值
题型特征：
恒成立恒成立；
从而转化为第一、二种题型
例3；
已知函数图象上一点处的切线斜率为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。
（Ⅰ）∴，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减
又
∴的值域是
（Ⅲ）令
思路1：
要使恒成立，只需，即分离变量
思路2：
二次函数区间最值
二、题型一：
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：
转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型
解法2：
利用子区间（即子集思想）；
首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：
前者是后者的子集
例4：
已知，函数．
（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．
.
（Ⅰ）∵是偶函数，∴.此时，，
令，解得：
.
列表如下：
（－∞,－2）
－2
（－2,2）
（2,+∞）
+
－
递增
极大值
递减
极小值
可知：
的极大值为，的极小值为.
（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，
∴，在给定区间R上恒成立判别式法
则解得：
.
综上，的取值范围是.
例5、已知函数
（I）求的单调区间；
（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。
子集思想
（I）
1、
a-1
-1
当且仅当时取“=”号，单调递增。
2、
单调增区间：
单调增区间：
（II）当则是上述增区间的子集：
1、时，单调递增符合题意
2、，
综上，a的取值范围是[0，1]。
三、题型二：
根的个数问题
题1函数f（x）与g（x）（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；
主要看极大值和极小值与0的关系；
解不等式（组）即可；
例6、已知函数，，且在区间上为增函数．
（1）求实数的取值范围；
（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．
（1）由题意∵在区间上为增函数，
∴在区间上恒成立（分离变量法）
即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为
（2）设，
令得或由
（1）知，
①当时，，在R上递增，显然不合题意…
②当时，，随的变化情况如下表：
—
↗
↘
由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得
综上，所求的取值范围为
根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数
（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；
（2）若，在
（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？
若存在，求出实数的取值范围；
否则说明理由。
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（1）∵的图像过原点，则，
又∵是的极值点，则
（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，等价于有含的三个根，即：
整理得：
即：
恒有含的三个不等实根
（计算难点来了：
）有含的根，
则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，
十字相乘法分解：
等价于有两个不等于-1的不等实根。
题2：
切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：
（1）的解析式；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
（1）由题意得：
∴在上；
在上；
在上
因此在处取得极小值
∴①，②，③
由①②③联立得：
，∴
（2）设切点Q，
过
令，
求得：
，方程有三个根。
需：
故：
；
因此所求实数的范围为：
题3：
已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数
解法：
根分布或判别式法
例8、
1
函数的定义域为（Ⅰ）当m＝4时，f（x）＝x3－x2＋10x，
＝x2－7x＋10，令，解得或.
令，解得
可知函数f（x）的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为．
（Ⅱ）＝x2－（m＋3）x＋m＋6,
要使函数y＝f（x）在（1，＋∞）有两个极值点,＝x2－（m＋3）x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）
根分布问题：
则，解得m＞3
例9、已知函数，
（1）求的单调区间；
（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．
（1）
当时，令解得，令解得，
所以的递增区间为，递减区间为.
当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.
（2）有且仅有3个极值点
=0有3个根，则或，
方程有两个非零实根，所以
或
而当或时可证函数有且仅有3个极值点
其它例题：
1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.
令=0,得
因为，所以可得下表：
-
极大
因此必为最大值,∴因此，，
即，∴，∴
（Ⅱ）∵，∴等价于，
令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，
为此只需，即，
解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].
2、（根分布与线性规划例子）
（1）已知函数
（Ⅰ）若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式；
（Ⅱ）当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:
3的两部分,求直线L的方程.
（Ⅰ）.由,函数在时有极值,
∴
∵∴
又∵在处的切线与直线平行,
∴故
∴…………………….7分
（Ⅱ）解法一:
由及在取得极大值且在取得极小值,
∴即令,则
∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得,,,,,
同时DE为△ABC的中位线,
∴所求一条直线L的方程为:
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:
3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,
由得点F的横坐标为:
由得点G的横坐标为:
∴即
解得:
或（舍去）故这时直线方程为:
综上,所求直线方程为:
或.…………….………….12分
（Ⅱ）解法二:
由及在取得极大值且在取得极小值,
∴即令,则
∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,
同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:
另一种情况由于直线BO方程为:
设直线BO与AC交于H,
由得直线L与AC交点为:
∵,,
∴所求直线方程为:
或
3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。
由题知：
（Ⅰ）由图可知 函数f（x）的图像过点（0,3），且=0
得
（Ⅱ）依题意 =–3且f
（2）=5
解得a=1,b=–6
所以f（x）=x3–6x2+9x+3
（Ⅲ）依题意 f（x）=ax3+bx2–（3a+2b）x+3（a＞0）
=3ax2+2bx–3a–2b 由=0b=–9a ①
若方程f（x）=8a有三个不同的根，当且仅当 满足f（5）＜8a＜f
（1）②
由①②得–25a+3＜8a＜7a+3＜a＜3
所以当＜a＜3时，方程f（x）=8a有三个不同的根。
…………12分
4、（根的个数问题）已知函数
（1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间；
（2）若，讨论曲线与的交点个数．
解：
（1）
………………………………………………………………………2分
令得
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分
（2）由题得
即
令……………………6分
令得或……………………………………………7分
当即时
此时，，，有一个交点；
…………………………9分
当即时，
＋
∴当即时,有一个交点；
当即时，有两个交点；
当时，，有一个交点．………………………13分
综上可知，当或时，有一个交点；
当时，有两个交点．…………………………………14分
5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．
（Ⅰ）若函数在处有极值，求的解析式；
（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．
函数中任意性和存在性问题探究
高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究
一、相关结论：
结论1：
【如图一】
结论2：
【如图二】
结论3：
【如图三】
结论4：
【如图四】
结论5：
的值域和的值域交集不为空；
【如图五】
【例题1】：
已知两个函数;
（1）若对,都有成立，求实数的取值范围；
（2）若,使得成立，求实数的取值范围；
（3）若对,都有成立，求实数的取值范围；
（1）设,
（1）中的问题可转化为：
时，恒成立，即。
当变化时，的变化情况列表如下：
-3
（-3,-1）
（-1,2）
（2,3）
3
（x）
h（x）
k-45
增函数
减函数
k-9
因为,所以，由上表可知，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞）.
小结：
①对于闭区间I，不等式f（x）<
k对x∈I时恒成立[f（x）]max<
k,x∈I;
不等式f（x）>
k对x∈I时恒成立[f（x）]min>
k,x∈I.
②此题常见的错误解法：
由[f（x）]max≤[g（x）]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f（x）]max≤[g（x）]min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.
（2）根据题意可知，
（2）中的问题等价于h（x）=g（x）－f（x）≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h（x）]max≥0.
由
（1）可知[h（x）]max=k+7，因此k+7≥0，即k∈[7,+∞）.
（3）根据题意可知，（3）中的问题等价于[f（x）]max≤[g（x）]min，x∈[-3,3].
由二次函数的图像和性质可得,x∈[-3,3]时,[f（x）]max=120－k.
仿照
（1），利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时,[g（x）]min=－21.
由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞）.
说明：
这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.
从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..
二、相关类型题：
〈一〉、型；
形如型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则在x∈D上恒成立，则”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.
例1：
已知二次函数，若时，恒有，求实数a的取值范围.
解：
，∴；
即；
当时，不等式显然成立， ∴a∈R.
当时，由得：
，而
. ∴. 又∵，∴，综上得a的范围是。
〈二〉、型
例2已知函数，若对，都有成立，则的最小值为____.
解∵对任意x∈R，不等式恒成立，
∴分别是的最小值和最大值.
对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.
又函数的周期为4，∴的最小值为2.
〈三〉、.型
例3：
（2005湖北）在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知符合题意；
〈四〉、.型
例4已知函数定义域为，，若，时，都有，若对所有，恒成立，求实数取值范围.
任取，则，由已知，又，∴f，即在上为增函数.
∵，∴，恒有；
∴要使对所有，恒成立，即要恒成立，
故恒成立，令，只须且，
解得或或。
评注：
形如不等式或恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.
〈五〉、.型：
例5：
已知，，若当时，）恒成立，求实数t的取值范围.
在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零.
令，，∵
∴，即在[0,1]上单调递减，F（0）是最大值.
∴，即。
〈六〉、型
例6：
已知函数，若对任意，都有，求的范围.
因为对任意的，都有成立，
∴，∵，令得x＞3或x＜-1；
得；
∴在为增函数，在为减函数.
∵，∴.∴，∴。
〈七〉、（为常数）型；
例7：
已知函数，则对任意（）都有
恒成立，当且仅当=____，=____时取等号.
因为恒成立，
由，易求得，，∴。
例8：
已知函数满足：
（1）定义域为；
（2）方程至少有两个实根和；
（3）过图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.
（1）证明|；
（2）证明：
对任意，都有.
证明
（1）略；
（2）由条件
（2）知，
不妨设，由（3）知，
又∵
〈八〉、型
例9：
已知函数，对于时总有成立，求实数的范围.
解由，得，
当时，，∵，
∴， ∴
评注由导数的几何意义知道，函数图像上任意两点连线的斜率的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围，利用这个结论，可以解决形如|或（m＞0）型的不等式恒成立问题.
考前寄语：
①易后难,先熟后生；
②一慢一快：
审题要慢,做题要快；
③不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做；
④我易人易我不大意,我难人难我不畏难；
⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对；
⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；
⑦对数学解题有困难的考生的建议：
立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.
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