全国卷Ⅰ理科数学含答案数学理科.docx

全国卷Ⅰ理科数学含答案数学理科.docx

《全国卷Ⅰ理科数学含答案数学理科.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国卷Ⅰ理科数学含答案数学理科.docx（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

全国卷Ⅰ理科数学含答案数学理科

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

1.若z=l+i,则lr-2zl=

A.0B.1C.72D.2

2.设集^A={xLr^<0},B=（.d2x+

A.-4B.-2C.2D.4

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的髙为边长的正

方形面积等于该四棱锥一个侧而三角形的面积，则其侧而三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值

为

A.虽1B.逅C.逅11D.逅±1

4242

4.已知A为抛物线C：

y2=2p.Y（p>0）上一点，点A到C•的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则尸

A.2B.3C・6D・9

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位:

°C）的关系，在20个不同的温度

条件下进行种子发芽实验，由实验数据（心X）（i=l,2,….20）得到下而的散点图:

由此散点图，在i（rc至40。

（：

之间，下而四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程

类型的是

6.函数/（x）=x4-2x3的图像在点（h/⑴）处的切线方程为

A.y=-2x_lB.y=-2x+lC.y=2x-3D.y=2x+l

7•设函数/（x）=cos（fyx+—）在［-兀,兀］的图像大致如下图，则•心）的最小正周期为

8.（x+^-）（x+y）5的展开式中Qv3的系数为

x

9.已知ae（O,7r）,且3cos2a-8cosa=5,贝ijsina=

752175

A.B.—C.—D・

3339

10.已知A,B,C为球0的球而上的三个点，为AABC的外接圆，若00］的而积为4兀，

AB=BC=AC=OC\,则球O的表而积为

A.64兀B.487TC.36兀D.32兀

11.已知OM：

x2+y2-2x-2y-2=0,直线/：

2x+y+2=0,P为/上的动点，过点P作OM的切

线PA,PB,切点为A.B,当IPM\\AB\最小时，直线力3的方程为

A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+l=0D.2x+y+l=O

12.若2°+log"=4°+2log』，则

A.a>2bB・ab2D・a

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

2x+y-2<0.

13.若X,y满足约束条件*x--1>0,则z=x+ly的最大值为.

丿+lna

14.设a上为单位向量，且la+〃l=l,贝ijla1=.

22

15.已知F为双曲线C:

二-二=1（“>0上>0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点,且BF垂直于x

轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.

16.如图，在三棱锥P-ABC的平而展开图中，AC=hAB=AD=*,AB丄AC,AB丄AD,ZCAE=30°,

则cosZFCB=

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（-）必考题：

共60分。

17.（12分）设｛叩是公比不为1的等比数列，吗为也,①的等差中项・

（1）求｛①｝的公比;

（2）若q=l,求数列｛nan｝的前几项和.

18.（12分）

（1）证明：

Q4丄平而PBC：

（2）求二而角B—PC—E的余弦值.

19.（12分）

甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约泄赛制如下：

累计负两场者被淘汰：

比赛前抽签决泄首先比赛的两人，另一人轮空：

每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结朿.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为丄，

2

（1）求甲连胜四场的概率：

（2）求需要进行第五场比赛的槪率；

（3）求丙最终获胜的概率.

20.（12分）已知A.B分别为椭圆E：

4+/=1（Q1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG=

cC

P为直线x=6上的动点，胡与E■的另一交点为GPB与E的另一交点为D.

（1）求E的方程：

（2）证明：

直线CD过左点.

21.（12分）已知函数f（x）=cx+ax2-x.

（1）当时，讨论/（x）的单调性：

（2）当总0时，/（x）N丄斤+1,求"的取值范围.

2

（-）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

22.［选修4—4：

坐标系与参数方程］（10分）

X=cos'f,

在直角坐标系中，曲线C］的参数方程为・（•（，为参数）.以坐标原点为极点，X轴正半轴为

y=sint

极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为4QCOs8-16Qsin&+3=0・

（1）当时，G是什么曲线？

（2）当《=4时，求G与G的公共点的直角坐标.

23.［选修4一5：

不等式选讲］（10分）

已知函数/（a）=13x+1I-2Ix-1I.

（1）画出y=.fM的图像;

（2）求不等式+的解集.

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案（A卷）

选择题答案

一、选择题

1.D2・B

3.C4.C5・D6.B7.C8.C9・A10.A11.D12.B

非选择题答案

二、填空题

13.1

3.解答题

17.解：

（1）设｛%｝的公比为°,由题设得2竹=勺+。

3，即20=叩+曲

所以—2=0,解得q=\（舍去），g=_2.

故｛陽｝的公比为一2.

（2）设S“为｛,“｝的前"项和•由

（1）及题设可得，山=（-2严.所以

S”=1+2x（―2）+…+“x（—2）"-',

-2S„=-2+2x（-2尸+…+（“-1）x（-2）"“+nx（_2）".

可得35,,=1+（-2）+（-2）2+…+（一2严一nx（一2）”

=hx（-2）・

3

所丄3空.

99

18.解：

（1）设DO=a,由题设可得PO=§~a、AO=^~gAB=u,

63

PA=PB=PC=—a-

2

因此PA24-PB1=AB2»从而Q4丄PB.

又PA2+PC2=AC2,从而PA丄PC.

所以P4丄平面PBC.

（2）以O为坐标原点，呢的方向为y轴正方向，丨呢I为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

O-xyz.

由题设可得E（O,1,O）,A（O,-1,0）,C（—£,£,0）,P（0,0,f.

所以瓦=（

m・EP=0设m=（兀”z）是平而PCE的法向量，贝%一

m・EC=0

可取心（-牛皿）.

由⑴知於（。

呼是平面心的-个法向量,记5,

tint

l/illml

所以二而角B-PC-E的余弦值为弋一・

19.解：

（1）甲连胜四场的概率为丄・

1O

（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.

比赛四场结朿，共有三种情况:

甲连胜四场的概率为丄：

16

乙连胜四场的概率为丄：

16

丙上场后连胜三场的概率为，O

1113

所以需要进行第五场比赛的概率为+・

161684

<3）丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结朿且丙最终获胜的概率为!

.

O

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：

胜

胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为丄，I・

1688

因此丙最终获胜的概率为・

816X816

20•解：

（1）由题设得A（p,0）,B（“，0）,G（0,1）・

则AG=（at\）>GB=（"，T）•由走•而=8得o2-",即“=3.

所以E的方程为y+r=i.

（2）设C（.¥1，yi）,D（X2,J2）fP（6,/）・

若*0,设直线CD的方程为g”y+”，由题意可知-3

由于直线用的方程为尸彳（x+3）,所以V]=^3+3）.

直线的方程为尸;（心3）,所以）5-3）・

'33

可得3yi（.¥2-3）=yi（xi+3）・

由于守+），；=1,故衣=—if，_—,可得27y2y2=-（x,+3）（x,+3）,

即（27+m2）yxy2+m（n+3）（y〕+y2）+（n+3）2=0•①

代入①式得（27+〃/）（/—9）-2m（n+3）mn+（n+3）2（m2+9）=0.

3

解得〃—3（含去），%

33

故直线CD的方程为x=/;/y+-,即直线CD过尬点（-,0）・

3

若=0,贝IJ直线CD的方程为〉=0,过点（70〉・

3

综上，直线CD过定点（丁，0）・

2

21•解:

（1）当“=1时，/（X）=€”+疋一上则/V）=ev+2v-l.

故当xW（p,0）时，•厂（力<0；当xW（0,+oo）时，/V）>0.所以/（x）在（Y,0）单调递减，在（0,+00）单调递增.

（2）f（x）>|x3+l等价于（討-ax2+X+l）e-1<1.

设函数g（A-）=（|x3-^2+x+1）/（x>0）,贝I]

13

g"（x）=-（—x3—ax1+x+l-―X，+2or-l）c7

22

=--4x2-（2a+3）x+4

2

=_*x（x—2a—1）（.¥—2）e-t.

（i）若加+1W0,即则当xw（0,2）时，g'（x）>0.所以g（a）在（0,2）单调递增，而g（0）

=1,故当xW（0,2）时，g（x）>1,不合题意.

（ii）若0<2“+1<2,即—*<"<[，则当xG（0,2“+l）U（2,+00）时，gOXO：

当xW（2“+l,2）时，g'（x）>0.

所以g（x）在（0,加+1）,（2,+oo）单涮递减，在（加+1,2）单调递增•由于g（0）=l,所以g（x）勺当且仅当

7-e2

g

（2）=（7一4"）「匕1,即心・

4

7-e21

所以当—时，g（烧L

（iii）若2«+1>2,即心*,则g（x）<（^x3+A-+l）e-\

7-e21|

由于0e[—j-,-）,故由（h）可得（于'+x+l）「yL

故当a>^时，^（x）

7-e2

综上，“的取值范围是[J-、+oo）・

4

兀=cost

22.解：

当时，G：

".'消去参数/得x2+r=it故曲线g是圆心为坐标原点，半径为1的圆.

y=sinr,

{

x=cos't

一・丄•消去参数f得c：

的直角坐标方程为石+J7=1・

y=sinf,

C的直角坐标方程为4x-16y+3=0.

解得

1

>，=4

4x+y[y=h

4x-16y+3=0

故G*的公共点的直角坐标为虽）.

23.解：

（1）由题设知/（x）=

x+3,x>1.

y=/u）的图像如图所示.

（2）函数y=/（x）的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=/（x+l）的图像.

7I]

y=/（a）的图像与y=/（x+D的图像的交点坐标为・

66

7由图像可知当且仅当x<~时，y=f（x）的图像在y=/（x+l）的图像上方,

□

7

故不等式/（x）>/（x+l）的解集为（-00、-£）・

O