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傅里叶级数及其应用

题

目:

作

者:

指导教师:

职

称:

院

系:

专

业:

班

级:

日

期:

阿wX方淨曉

毕业论文

傅里叶级数及其应用姜广辉

李博

讲师

理学院数学系

数学与应用数学

10级1班

2014年5月

傅里叶级数及其应用

摘要：

傅里叶级数是数学分析中的一个重要概念，具有较好的几何和代数性质，伴随着科技的进步与发展，涉及了许多数学命题的讨论和应用，傅里叶级数的相关知识已经成为从事科学研究和工程设计等科技人员必备的数学基础.通过对傅里

叶、拉格朗日、狄利克雷、黎曼等人在傅里叶级数方面的贡献，介绍了傅里叶级数起源和发展历程.同时文章以在图案设计和铁路客运量预测上的应用说明了傅里叶级数的价值•在图案设计设计方面，运用MATLAB^件，编写傅里叶级数的程序语言，通过自定义函数、编写画图函数程序、对图形多余部分处理、图形线条加粗等步骤，进而得到傅里叶级数的图形.通过对最基本的傅里叶级数的图形的组合、排列可以构成丰富的图案.在铁路客运量预测方面，基于傅里叶级数预测模型，以我国2004—2009

年铁路客运量为数据基础，通过将时间序列划分为趋势性和季节性部分，分别采用最小二乘法和傅里叶级数预测法对两者进行拟合，应用MATLAB^件，求出预测模型，

并进行预测.通过对预测结果的误差分析，表明：

采用傅里叶级数预测法预测我国铁路客运量的效果较好.因此傅里叶级数在一定程度上受到了很多数学家的欢迎.

关键词：

傅里叶级数；收敛性；MATLAB^件；图案设计；预测模型

Fourierseriesanditsapplications

Abstract：

Fourierseriesisamathematicalanalysisofanimportantconcep，tandhasgoodgeometryandalgebraicpropertie，salongwiththeprogressanddevelopmentoftechnology，involvingalotofdiscussionandapplicationofmathematicalpropositions，Fourierseriesofrelevantknowledgehasbecomeamathematicalfoundationforscientificresearchandengineeringdesignandothertechnicalpersonnelnecessary.ThroughFou，rierLagrange，Dirichlet,Riemann，whocontributeintermsofFourierseries，Fourierseriesintroducestheoriginanddevelopmentproces，swhilethearticleinthegraphicdesignandrailapplicationpassengertrafficforecastillustratesthevalueoftheFourierseries.Inthedesignofgraphicdesign，theuseofMATLABsoftwareprogramwritteninthelanguageofFourierseries，viaacustomfunction，thepreparationprocessofdrawingfunctions，theexcesspartofthegraphicsprocessin，ggraphics，boldlinesandothersteps，thengettheFourierseriespatternbythecombinationofthebasicpatternoftheFourierseries，thearrangementmayconstitutearichpatterns.Railwaypassengertrafficforecas，tpredictionmodelbasedonFourierseriestotherailwaypassengertrafficvolumeof2004-2009database，bythetimeseriesintotrendandseasonalpa，rtrespectively，usingtheleastsquaresmethodandfourierFourierseriespredictionmethodforbothfittingusingMATLABsoftware，findthepredictionmodelandpredicttheoutcomeofthepredictionerrorbyanalysisshowedthat：

FourierseriespredictionmethodtopredicttheeffectofChina'srailwaypassengervolumebetter.Sotosomeexte，nttheFourierserieshasbeenwelcomedbymanymathematicians.

Keywords：

Fourierseries；convergence；MATLABsoftware；graphicdesign；predictionmodel

引言1

1傅里叶级数的起源2

2傅里叶级数的严密化5

2.1狄利克雷条件5

2.2黎曼引理5

2.3吉布斯现象与一致收敛6

2.4连续傅里叶级数的收敛性6

3傅里叶级数的应用8

3.1傅里叶级数在图案设计上的应用8

3.2傅立叶级数在铁路客运量预测上的应用14

3.2.1傅里叶级数预测模型14

3.2.2实证分析16

小结19

致谢20

参考文献21

引言

在五千年的数学历史长河中，傅里叶级数的诞生和发展，构成了数学史上非常重要的部分.在无法进行理论证明时，采用直观推断的研究方法在早期的科学研究中已被广泛应用.由此带来了许多重要发现，傅里叶级数就是其中之一.

傅里叶在研究热传导方程时继承了前人研究天文理论和弦震动方程的方法，直观地断定每一个周期函数都可以表示为三角级数，但他并没有给出一个函数可以展开为三角级数的条件，也没有给出严格的证明.尽管如此，傅里叶将、欧拉、黎曼等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展为内容丰富的一般理论，从而开创了数学物理学的一个时代.

在当代，傅里叶级数在物理学、计算机、移动通信等学科具有非常广泛的应用，同时也是处理工程学中诸多问题不可或缺的理论工具.在图案设计中，通过傅里叶级数的变换，可以设计出许多精美的图案.在铁路客运量预测中，通过傅里叶级数预测法，可以为铁路部门安排车次提供可靠的理论依据.所以，探究傅里叶级数的起源发展及其应用，对于培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用.

1傅里叶级数的起源

1753年，伯努利，提出了采用三角级数解弦振动方程的方法.1759年，拉格朗日，

3

在给达朗贝尔的信中称x2可以表示为三角级数.1777年，欧拉在研究天文问题时得到

—\a。

£FkS

f（x）=—+Zakcos.」

（1）

2k^VlJ

"0,m式n

丿mxnnxl小

coscosdx,m=n=0

0ll2

I,m=n=0

因此推出了ak=2fxcosib^dx，

kI」0、〜（I.丿

观察此式的结果可知：

（1）除了因缺少正弦项而只能表示周期为I的偶函数，欧拉得到的三角级数与今天我们使用的傅里叶级数已经没有区别.

（2）欧拉推出级数系数的方法运用三角函数的正交性，这正是现在“信号与系统”课程在推导傅里叶系数公式时所采取的方法.

尽管欧拉已经得到了类似傅里叶级数的表达式，他所采取的推导级数系数的方法我们今天仍在使用.然而，他与拉格朗日及达朗贝尔却始终坚持这样的观点：

并非是任意的周期函数都可以表示为三角函数.

十九世纪，傅里叶迈出了重要的一步.傅里叶像他同时代的科学家一样，也从事热传导的研究.他在解如下偏微分方程：

222

:

TTT2.T

++a—

-2-2-2

x:

y:

z:

t

时得到，初始条件Tx,0二fx必须有

□0

x二"bksin

kj

于是，傅里叶面临这样的问题：

fx能表示成三角级数吗？

特别是0能确定吗？

不

妨取I-…，上式简化为

Q0

fx-7bksinkx

7

傅里叶把等式左边fx和右边的sinkx展开为幕级数，经过并不严格的推导得到

2兀

dfxsinkxdx

2仃2

傅里叶敏锐的观察到，bk二一fxsinkxdx就是函数一fxsinkx在区间0,二兀0JT

上的面积，而计算面积对相当广泛的函数都有意义.因此他得出结论：

每一个周期函

数都可表示为

O0

fx-'bksinkx，0：

：

x:

:

:

二

k=

然而，这个结论却不为当时大多数科学家接受，傅里叶仍坚信自己的结论.随后

他得到了更精确的结论，即对于任意周期函数，在周期区间-二，二上都可以表示为

qQ

fx=直-「二（akcoskxbksinkx）,-二：

：

x：

：

二

（2）

2k=1

傅里叶从没有给出“任意”函数可以这样表示的一个完全的证明，也没有说出一

个函数可以展开为三角级数所必须满足的条件，但他对此是坚信的.1807年，傅里叶

提交的论文被巴黎科学院拒绝了，论文评委之一的Lagrange坚决否认周期函数可以

展开为三角级数，并批评了该论文缺乏严密性.事实上，傅里叶始终没有能在他的论文中对傅里叶级数理论做出严格的证明.经过15年的抗争，直到拉格朗日离世9年后的1822年，他终于出版了专著《热的解析理论》，直到此时人们才勉强地承认他的思想.

我们可以列出傅里叶在方法上存在的缺陷.比如傅里叶在求级数系数时采用的方

法不够严密，并且比欧拉所采用的运用三角函数的正交性质的方法要复杂得多.尽管

存在一些缺陷，傅里叶得到了正确的结论.傅里叶的结论展示了强大的生命力，对数学的发展也产生了深远的影响，这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的，而且

这种影响至今还在发展之中.

（1）傅里叶级数促进了偏微分方程理论的发展，成功的解决了关于弦振动问题

的解的争论；

（2）傅里叶级数促进了函数概念的发展，傅里叶级数理论的先驱者们认为函数必须由一个解析表达式表示；

（3）傅里叶级数标志人们从解析函数或可发展成泰勒级数的函数中解放出来泰勒级数仅在函数的解析点附近表示该函数，而傅里叶级数在一整段上表示一个函数.

2傅里叶级数的严密化

随着数学思想的进步，傅里叶的成就在后来赢得了广泛的赞许•但严格地讲并不

是任意周期函数的傅里叶级数都收敛.关于收敛条件和收敛证明问题的研究，后继者柯西和泊松的努力没有结果，代表性的成果是狄利克雷和黎曼做出的.

2.1狄利克雷条件

狄利克雷在1822年至1825年间在巴黎几次会见傅里叶之后，对傅里叶级数产生了兴趣.1829年他在论文《关于三角级数的收敛性》中给定并证明了：

当fx满足下列条件时其傅里叶级数是收敛的，这就是狄利克雷条件：

（1）fx是单值有界的；

（2）fx是分段连续的，即在一个周期内只有有限多个间断点；

（3）fx是分段单调的，即在一个周期内只有有限多个极值点.

今天的教科书中，条件

（1）已放宽为绝对可积，使得工程上所遇到的绝大多数

函数都满足狄利克雷条件.条件

（2）和（3）排除了无穷间断点和无穷振荡的情形.

狄利克雷迈开了傅里叶级数严密化的坚实的第一步，以致黎曼尊称他为傅里叶级数理论的真正奠基者.关于傅里叶级数收敛性的研究持续到今天有很多结果，但狄利克雷条件在今天“信号与系统”教科书中使用最为广泛.

2.2黎曼引理

黎曼曾在狄利克雷指导下研究傅里叶级数.1854年他在论文《用三角级数表示函数》中证明了：

如果fx在周期〔-二，二1上有界可积，则有

1飓比=叫旦0=0，

1■:

fxcoskxdx,

jrt

1兀

bkfxsinkxdx

JI5”

这就是黎曼引理.进一步将定理有界可积条件放宽为勒贝格绝对可积，该定理称

为黎曼一勒贝格引理.黎曼同时还证明了fx在一点的收敛特性只依赖于fx在该

点邻域中的特性.

黎曼一勒贝格引理是证明傅里叶级数收敛性的重要工具.1880年迪尼，给出了另

一个傅里叶级数收敛的充分条件：

满足科普希茨条件的函数fx其傅里叶级数收敛.

对该定理的证明就采取了黎曼一勒贝格引理.

2.3吉布斯现象与一致收敛

1881年约当条件给出了另一个傅里叶级数收敛的充分条件：

有界变差函数fx

的傅里叶级数收敛于丄山.

2

1898年，吉布斯发表文章证明了有界变差函数的傅里叶级数在间断点的振荡规律，因此这一现象称为吉布斯现象.这一现象展示了傅里叶级数在间断点收敛的不一致性.

记fx的傅里叶级数的部分和为SNx，级数在x0收敛的定义为：

NimSnX=fX；

级数在周期T上的一致收敛的定义为：

lim

fx在一个周期上满足一致科普希茨条件.

2.4连续傅里叶级数的收敛性

在狄利克雷的研究工作之后的约50年间，人们相信任何连续周期函数的傅里叶级数都收敛到该函数.然而在1873年雷蒙德给出了一个连续函数，其傅里叶级数在一点发散.

1904年费耶证明了可采用算术平方方法由任何连续周期函数的傅里叶级数（即

使该级数发散）重构该函数，即任何连续周期函数fx的傅里叶级数在算术平方和的意义下总是收敛于该函数•记fx得傅里叶级数的部分和为Snx，上述结论用公

x=fx总是成立.

其中,

」1“

-Nx[SoxS1X!

亠亠Sn_iX].

N

雷蒙德指出连续函数的傅里叶级数在某些点发散，而费耶则证明了级数在算术平方和意义下总是收敛于该函数.关于连续函数的傅里叶级数的收敛问题似乎解决了然而1926年柯尔莫果洛夫证明存在勒贝格可积的周期函数，它的傅里叶级数处处发散.1966年，卡亨和卡茨纳尔松指出在任意给定的零侧集上，存在连续周期函数的傅里叶级数在该集合上所有点都发散.关于连续周期函数的傅里叶级数的收敛性似乎又不乐观了.

然而在同一年卡尔松发表文章指出：

对于平方可积的周期函数，其傅里叶级数几乎处处收敛.这是一个人们预料之外的好结果，因为连续周期函数在一个周期内是平方可积的.综合卡尔松和卡茨纳尔的结果，即连续周期函数的傅里叶级数只在零侧集上发散，亦即几乎处处收敛.至此关于连续函数傅里叶级数的收敛性问题就完全清楚了.

3傅里叶级数的应用

傅里叶级数从产生到现在虽然只有短短的一百多年的时间，但是它的应用却是非常的广泛.他被广泛地应用在物理学、计算机、图案设计和预测模型等很多方面.下面就在图案设计和事件预测方面的应用做简单介绍.

3.1傅里叶级数在图案设计上的应用

艺术与数学有着极其丰富的普遍意义和极其深刻的美妙联系.多少世纪以来，艺

术家在进行艺术的创作中，利用数学原理和数学方法而使画面充满了和谐与美感.古

希腊雕塑家们黄金分割用在他们的许多作品的比例中•伟大的达芬奇在其绘画研究中运用黄金矩形、比例和射影几何，取得了非凡的成就.今天，数学在为艺术家提供创造和传达他们思想的灵感和工具方面仍然起着积极的作用.艺术家利用数学思想创造更深邃的艺术.事实上，有许多艺术家正在进行与数学思想一一多维空间和计算机在现技术的数学思想有关的艺术探索.

数学（特别是现代数学）的研究对象在很大程度上可以被看成是“思维的自由想

象和创造”.因此，美学的因素在数学的研究中占有特别重要的地位，以致在一定程度上数学就可被看成一种艺术.数学理论以逻辑的严密性和规律性，在艺术的领域里借助于直觉、想象等非逻辑思维.提出新的概念和理论.所以，数学不仅有利于发展人们的逻辑思维，而且有利于人们的创造活动中对审美、直觉的发展.

近代计算机技术更是将数学与美术这两者紧密地结合起来，形成了一门崭新的边缘学科一一数学美术学.1980年当计算机的图形功能日趋完善的时候，数学公式所具有的美术价值被曼德布鲁尔斯所发现，这就打开了数学美术宝库的大门，使常人也有幸目睹了数学公式所蕴藏的美学内涵.由一些简单的数学公式经过上亿次迭代计算所产生的数学美术作品，可以用电脑根据实物自行改变大小进行组合形成局部图案，在

自动拓展设计出复杂的图案，广泛用于印染、针织、装潢.许多复杂设计的绘制过程

和难以得到的视觉效果，在电脑中变得轻而易举.

现在绘制傅里叶级数的图形，以fx[=x为例，具体步骤如下：

（1）运用MATLA软件，编写一个自定义的傅里叶级数的程序如下:

functiony=fly（f，k，l）

symsxn；

a0=int（f，x，-l，l）/l；

an=int（f*cos（n*pi*x/l），x，

-l，l）/l；

bn=int（f*sin（n*pi*x/l），x，

-l，l）/l；

forn=1:

k

a（n）=int（f*cos（n*pi*x/l）

，x，-l，l）/l；

b（n）=int（f*sin（n*pi*x/l）

，x，-l，l）/l；

end

g=0；

forn=1:

k

s=a（n）*cos（n*pi*x/l）+b（n）*sin（n*pi*x/l）；g=g+s；

end

y=a0/2+g；

（2）编写画图函数程序:

symsxn

f=x；

fly（f，1，pi）%调用傅里叶函数

x=-pi:

0.1:

pi；

x=-pi:

0.1:

pi；

f1=2*sin（x）；

f2=-2*sin（x）；

f3=2*sin（x）-sin（2*x）+2/3*sin（3*x）；

f4=-2*sin（x）+sin（2*x）-2/3*sin（3*x）；

f5=2*sin（x）-sin（2*x）+2/3*sin（3*x）-1/2*sin（4*x）+2/5*sin（5*x）plot（x，x，x，f1，x，f2，x，f3，x，f4，x，f5）；得到的到傅里叶级数的图形，如图1:

图1傅里叶级数图形

在图1中将另一部分进行对称叠加达到对称的效果，如图2:

图2傅里叶级数叠加效果图

（3）对多余部分进行处理

findobj（allchild（gca），'Type'，'line'）

ans=

180.0021

179.0021

178.0021

177.0021

176.0021

175.0026

Interruptible:

'on'

Selected:

'off

SelectionHighlight:

'on'

Tag:

''

Type:

'line'

UIContextMenu:

[]

UserData:

[]

Visible:

'on'

Parent:

174.0024

XDataMode:

'manual'

XDataSource:

''

YDataSource:

''

ZDataSource:

''

对其中的对象进行设置

set（ans（6）,'LineWidth',7）

将对象加粗，找到需要删除的线

set（ans（6）,'Color',[111]）将y=x这条直线的颜色设置为白色，达到这条线消

失的结果（这些点对于后期处理没有影响，不影响这题效果）

4

图4淡化效果图

（4）

将其他的线条加粗

图5傅里叶级数加粗效果图

得到最后的效果图

图6傅里叶级数最终的效果图

通过以上一个简单的例子，我们可以看出：

傅里叶级数图形非常具有节奏韵律感，并且，当改变变量的取值范围，就可以生成重复的、变化的图案，由此得到的单元及重复的有节奏的构图•

对以上图形进行组合、排列或者发展、衍生，可构成丰富的图案变化•他被广泛应用于：

室内的装饰浮雕、壁饰、椅子背、服装的前身、领角、领带及皮包、发卡等;纺织品的床单、毛巾、手绢等以及地砖、墙线装饰铁艺栅栏等许多方面•

3.2傅立叶级数在铁路客运量预测上的应用

铁路客运量预测是铁路部门进行决策的重要依据.铁路客运量波动具有较强的季节性特征，对于季节性预测常用的方法由：

霍尔特-温特预测、ARIMA预测、傅里叶

级数预测等.选择傅里叶级数预测法对我国2010年的铁路客运量月度数据进行预测，并且对预测结果进行误差分析•

3.2.1傅里叶级数预测模型

在解决同时伴有趋势性变化的时间序列预测问题时，可将时间序列分为趋势性部

分和季节性部分进行预测.其中，趋势性部分可以通过最小二乘法得到，对季节性部分用傅里叶级数预测法进行预测•

将时间序列分解为：

Wx二ftytt=1,2,,n（3）

式中：

ft为趋势性部分；yt为季节性部分.

用最小二乘法对ft进行拟合，用傅里叶级数预测法对yt进行预测，预测过程分为以下4个步骤.

（1）季节性部分预测.离散函数yt满足一定的光滑性条件时，可以在区间

1-1,11上展开为傅里叶级数：

（2）采用最小二乘法求解系数

ao

2'2kt兀

akytcos—

ntmn

2J.2kt二

%sin

ntmn

k=1,2,,m

其中，m为不超过-的最大整数.

2

（3）选出影响较大的季节性部分.由公式（4）转化得到:

yt]=号7.a：

bk"sin鲍一:

2k#In*

式中：

tan「二电，当存在k，使akbk取得很大值时，说明yt具有季节性bk

成分，即原时间序列具有季节性；反之，若对所有的k，.a"b2的取值都很小，则说明yt是不具有季节性成分，即原时间序列不存在季节性

傅里叶级数预测法的思路是选取ar^k2取值较大的点，将此时的ak、bk带入公式（4），预测时间序列的季节性部分，得到y（t）.

（4）总体预测.将计算得到的f（t卜y（t）带入公式（3），得到该时间序列的预测方程•

3.2.2实证分析

3.2.2.1客运量预测

将我国2004—2009年铁路客运量作为初始数据，利用傅里叶级数展开式预测2010年铁路客运量.

（1）利用最小