三年级数学思维训练奥数题总集附答案.docx
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三年级数学思维训练奥数题总集附答案
倒过来算
9.1
知识导航：
倒过来算，也就是我们常说的还原问题。
此类问题常常给出的是一个数经过某些变化后的结果，由此请你求原来的数
例1：
听说大作家曹文轩要到我们学校来。
同学们可高兴了，纷纷去买她的作品《草房子》。
星期日，小明带了自己的零花钱去买《草房子》，路上碰到了妈妈。
妈妈给了他5元。
小明买《草房子》用去了12元。
最后，小明数了数，还剩下10元。
你知道小明原来带了多少零花钱吗？
常规分析：
很多同学都会这样想：
小明带着零花钱上街，从妈妈那儿拿了5元，买书用去12元。
实际上用去了（12-5）=7元，即从零花钱中扣除7元后，还剩10元。
由此可知原有零花钱17元。
这是一种很好的整体分析的思路。
但是，碰到比较复杂的题，这样的分析就麻烦了。
创新点拨：
这道题，我们不妨从后往前推。
当买了一本12元的书后，最后剩下10元。
如果没有买书小明身边有多少元呢？
10+12=22（元）。
买书前小明共有22元。
也就是说，小明的零花钱，加上从妈妈那儿拿来的5元，此时一共有22元。
从22元中去掉得来的5元。
就是小明原有的零花钱了。
即22-5=17（元）。
列成综合算式：
10+12-5=17（元）
例2：
小刚带了一些钱也去买书，他用所带钱的一半买了一本《小百科全书》，又花了5元买了一本《童话大王》。
这时小刚身上还剩下6元，那么小刚带了多少钱呢？
常规分析：
此时，不能像例1那样通过整体分析，知道两本书一共用了多少元，因为不知道“一半”到底是多少。
怎么办呢？
画画线段图吧。
由线段图很快可以发现（5元+6元）11元，正好是小刚所带的钱的一半。
所以小刚原来带有钱11×2=22元。
列综合算式（5+6）×11=22（元）。
由此可见，画线段图的确是一个好方法。
有没有其它思路呢？
创新点拨：
我们还是从 结论往前推。
因为当小刚又买了5元的童话大王后，还剩下6元。
那么在买《童话大王》前，小刚有钱5+6=11（元）。
这11元是他用所带钱的一半买了一本《小百科全书》剩下的，也就是说这11元是他所带钱的一半。
所以小明共带钱11×2=22（元）。
列成综合算式（5+6）×2=22（元）
思路回眸：
由这两道例题，大家可以发现，还原问题的解题思路，都可由题目叙述的顺序，倒过来思考。
从最后一个条件出发，逆推而上，求得结果。
自主检测：
1、一根绳子，第一次剪去一半，第二次剪去4米，最后剩下3米。
这根绳子原来长多少米？
2、小猴聪聪摘了一筐桃子。
第一天吃了10个，第二天，小猴又摘了5个放进去。
这时筐里还有15个。
你知道这筐桃子原来有多少个吗？
9.2
知识导航：
还原问题会涉及到加、减、乘、除各部分的关系，并要深刻理解，灵活运用。
如：
加、减法互为逆运算，乘、除法互为逆运算。
例1：
某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果还是等于5。
求这个数。
常规分析：
这个数不会是等于5吧。
也许有些同学看了此题后直觉会告诉你这样说。
验证一下吧，结果是9，而不是5。
怎么办呢？
先把它简单地写成下面的形式。
［（某数+5）×5-5］÷5=5
接下来，该如何算呢？
也许又是丈二和尚摸不着头脑了。
看样子，得换个角度想想。
创新点拨：
还是观察上述的算式吧。
［（某数+5）×5-5］÷5=5最后一步除以5后得5。
那在除以5以前呢？
对，是5×5=25；再往前推，原式中是减5的，还原的话肯定是加上5了。
25+5=30；依次类推，乘以5，那我们就用30÷5=6；第一步是加上5，那就用6-5=1。
所以原数是1。
检查一下，对不对呢？
1+5=6,6r5=30,30-5=25,
25÷5=5。
完全正确。
例2：
一个数减16加上24，再除以7得36。
求这个数。
常规分析：
先把它写成简单的算式吧。
（一个数-16+24）÷7=36。
很显然括号里实际上是（一个数+8），可以看作一个整体，即作为被除数，根据被除数=除数×商，所以，
一个数+8=36×7=252。
由此，很快知道：
一个数=252-8=244。
创新点拨：
根据还原思路，36是除以7以后得到的，用36×7还原得252；再往前逆推252-24=228；最后，根据“一个数减16”，用228+16可还原得原数为244。
列成综合算式：
36×7-24+16=244。
思路回眸：
还原问题，顾明思义是回到原来。
它属于逆解应用题，一般根据加、减法或乘、除法的互为逆运算的关系，由题目所叙述的顺序，倒过来思考，从最后一个已知条件出发，逆推到而上。
求得结果。
自主检测：
1、某数加上6，乘以6，减去6，再除以6。
结果仍是6。
求原数。
2、如果把上述中的6，改成7、8、9，结果又是多少呢？
你发现了什么规律吗？
9.3
知识导航：
我们已学习了比较容易的还原问题。
知道解此类问题应从结果往前逆推如果碰到较复杂的还原问题还得借助于线段图。
例 1：
学校仓库里有一些大米，第1天用去的量比总数的一半少2吨，第2天用了3吨。
此时还剩下19吨。
请问仓库里还有多少吨？
常规分析：
因为第一天用去的比总数的一半少2吨，那也就是说明第一天用去后剩下的比总数的一半多2吨。
再根据第2天用去3吨后剩下19吨，可知第一天用去后剩下19＋3＝22吨。
而这22吨比总数的一半多2吨，从22吨中减去2吨都能得到总数的一半，22－2＝20吨，即而求出一共有20×2＝40吨。
创新点拨：
因为条件比较复杂，不妨先画一张线段图。
借助图，我们从后往前逆推。
先用剩下的19吨加上第二天用去的3吨，得22吨。
这22吨，就是图中的线段DE，显然比一半多2吨。
既然多了，就把减去：
22－2＝20。
此时的20正好是全部的一半，即图中的CE，再乘以2，即可求出结果。
综合算式：
（29＋3－2）×2＝40（吨）
例 2：
有一根电线，第一天上午用去2米，下午又用去余下的一半，第二天上午也用去2米，下午又用去余下的一半，还剩下12米。
这根电线原有多少米？
常规分析：
很显然，还剩的12米是第二天上午用去后剩下的一半，那么用之前是12×2＝24米；这24米又是因为第二天上午用去2米后剩下的，显然用之前是24＋2＝26米；用同样的方法推出第一天下午用之前是26×2＝52米，再推出原长是52＋2＝54米。
这种思路是常规的逆推法思路，但由于此题比较复杂，推理起来就比较麻烦而且很容易出错。
创新点拨：
还是先根据题意画一张线段
根据题意，再观察线段图可知：
EF是DF的一半，
先用12×2＝24米，求到DF的长；24＋2＝26米，求到CF的长；
CF又是BF的一半，
26×2＝52米，求到BF的长，用52＋2＝54米，就可求出AF的长了。
综合算式：
（12×2＋2）×＋2＝54（米）
思路回眸：
对于比较复杂的还原问题，借用于线段可以把题意直观地在图上表示出来，以便于更好地审题，降低难度，更好地逆推出结果。
自主检测：
1、王叔叔带了一笔钱去商店买服装，先用钱的一半多4元卖了一件衣服，又用剩下钱的一半买了一条裤子。
这时还剩下80元。
你知道王叔叔一共带了多少钱去买服装吗？
2、是一道有趣的智力题，当然也是还原问题。
一个老奶奶家里有一些鸡蛋。
他每天吃掉当天所有鸡蛋的一半少一个。
就这样，这位老奶奶吃了一个星期，她家里的鸡蛋只剩下两个。
你知道，老奶奶家一开始有几个鸡蛋吗？
9.4
知识导航：
今天学的还原问题有一定难度，涉及到两个数在变化，除了从整体上考虑从后往前逆推外，我们还得借助于表格，以使思维更清晰。
例 1：
甲、乙两篮苹果，只数不等，从甲篮里拿出一些苹果放到乙篮里，使乙篮里的苹果数增加了一倍，再从乙篮里一些苹果放回到甲篮里，使甲篮里的苹果数也增加一倍，这时两只篮子里的苹果数都是48只。
问原来甲、乙两篮里各有多少只？
常规分析：
一般，同学们都会这样想：
“甲篮拿出一些苹果放到乙篮里”，后“从乙篮里一些苹果放回”，最后有48只。
可甲篮到底拿多少放入乙篮呢？
思维到这儿卡壳了。
同样，因为不知道从乙篮里拿出多少到甲篮。
所以，也无法逆推出乙篮里原有多少只苹果。
创新点拨：
把甲、乙两篮分开考虑显然不行，应该放在一起分析。
由题意可知，进行了两次操作。
第一次“从甲篮里拿出一些苹果放到乙篮里，使乙篮里的苹果数增加了一倍”；第二次“再从乙篮里一些苹果放回到甲篮里，使甲篮里的苹果数也增加一倍”；最后“两只篮子里的苹果数都是48只”。
我们可以画一张表格，从后往前逆推。
甲 篮
乙 篮
原有只数
第一次操作后有的只数
第二次操作后有的只数
48
48
因为第二次是“再从乙篮里一些苹果放回到甲篮里，使甲篮里的苹果数也增加一倍”，经过这样的操作使得甲、乙两篮中各有48只苹果。
所以在第二次操作前，即第一次操作后甲篮中应该有24只苹果（48的一半），这说明从乙篮中拿出了24只苹果给了甲篮才使甲篮中苹果数为48的，所以乙篮中应该有72只苹果（48+24），见下表：
甲 篮
乙 篮
原有只数
第一次操作后有的只数
24
72
第二次操作后有的只数
48
48
为什么乙篮会有72只苹果呢？
因为它也是增加了苹果数的一倍，所以乙篮里原有苹果72÷2＝36（只），而甲篮里的苹果原来有24+36＝60（只），如下表：
甲 篮
乙 篮
原有只数
60
36
第一次操作后有的只数
24
72
第二次操作后有的只数
48
48
例 2：
16只麻雀停在两棵树上，不久有2只麻雀从第二棵树上飞走了。
5只麻雀又从第一棵树上飞到第二棵树上，这时两棵树上的麻雀数相等。
每棵树上最初各有几只麻雀？
常规分析：
因为“有2只麻雀从第二棵树上飞走了”所以这时只有16－2＝14（只）麻雀。
最后两棵树上的麻雀数相等，所以每棵树上有14÷2＝7（只）。
为什么第一棵上这时有7只呢？
是因为“5只麻雀又从第一棵树上飞到第二棵树上”，还原得原来有7＋5＝12只；所以第二棵上原来有麻雀16－12＝4（只）。
创新点拨：
像例1那样画一张表格逆推。
根据条件，最后每棵对上有7只麻雀。
第一棵树
第二棵树
原有麻雀只数
第一次操作后有麻雀只数
第二次操作后有麻雀只数
7
7
而每棵树上有7只麻雀是因为“5只麻雀又从第一棵树上飞到第二棵树上”的结果，所以还原得下表：
第一棵树
第二棵树
原有麻雀只数
第一次操作后有麻雀只数
12
2
第二次操作后有麻雀只数
7
7
又因为“有2只麻雀从第二棵树上飞走了”可以还原得原来每树上的情况，如下表：
第一棵树
第二棵树
原有麻雀只数
12
4
第一次操作后有麻雀只数
12
2
第二次操作后有麻雀只数
7
7
思路回眸：
用表格法，是在有联系的两个数在变化的情况下使用的。
每一次变化可以称之为一次操作，有几次操作。
有了表格，再逆推还原就显得容易多了。
自主检测：
1、兄弟两人身边共有18元。
哥哥给弟弟一些钱，使弟弟的钱变成原来的3倍；弟弟看见哥哥的钱少了，也给哥哥一些钱，使哥哥的钱也增加到3倍。
这时，两人的钱一样多。
你知道兄弟两人原来各有多少钱吗？
2、图书管理员在整理图书时，从第一书架上拿12本放入第二书架；又从第二书架中抽出18本书放入第三书架；最后从第三书架上抽出27本放回第一书架。
这时三个书架的图书都是45本。
三个书架原来各有图书多少本？
9.5
知识导航：
我们在做计算时，会因为种种原因而发生错误。
有时候我们还可以用还原法，逆推出正确的结果呢。
例 1：
小马虎在做一道加法算式时，由于粗心将个位上的0看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是125。
正确的答案应该是多少呢？
常规分析：
把个位上的0看作了9，多看了9，和就会比原来大9；又把十位上的8看作了3，少看了5，即少了50。
这时得到的和125实际上比正确的结果少了41，还原得正确的答案为：
125＋41＝166。
创新点拨：
要求正确的和，就要知道两个正确的加数。
因为“由于粗心将个位上的0看作9，把十位上的8看作3”，所以正确的一个加数是80，错误的加数是39。
不妨将错就错，用错误的和125减去错误的加数39，得另一个正确的加数是125－39＝86。
再用86＋80＝166。
例 2：
小马虎在做一道乘法算式时，由于粗心将十位上的2写成了4，个位上的3写成了6。
结果做到92。
求正确的结果。
常规分析：
有了例1做为基础，此题简单多了。
因为“由于粗心将十位上的2写成了4，个位上的3写成了6”，即把原来一个因数（乘数）23写成了46。
用错误的积92先除以错误的因数46，得出另一个正确的因数，再乘以23就可求出正确的积了。
列成综合算式：
92÷46×23＝46
创新点拨：
因为“由于粗心将十位上的2写成了4，个位上的3写成了6”，即把原来一个因数（乘数）23写成了46。
即把这个因数扩大了2倍，而另一个因数不变。
由此可知错误的积是92，也比正确的积扩大了2倍。
现在只要用92÷2就可以直接还原到正确的积了。
列式为：
92÷2＝46
看，同样是还原逆推，这种就简单多了。
思路回眸：
在做还原问题时，“从后想起逆推”只是一种思路，要根据具体题目灵活运用。
自主检测：
1、小马虎在做一道乘法算式时，由于粗心将十位上的6写成了3，个位上的3写成了1。
结果做到20。
求正确的结果。
2、在做一道加法计算题时，把个位上的4看作7，十位上的8看作2，结果和是336。
正确的答案应该是多少？
单元测试
1、某数加上3，乘以5，再减去8，等于12。
求某数。
2、一根电线，第一次截去2米，第二次截去剩下的一半，还剩下5米。
这根电线原来有多长？
3、学校仓库里有一些面粉，第1天用去的量比总数的一半少3吨，第2天用了5吨此时还剩下20吨。
请问仓库里还有多少吨？
4、两只笼子共有24只兔子。
如果先从第一只笼子里拿出4只放进第二只笼子里；再从第二只笼子里拿出一些放入第一个笼子里，使第一只笼子里的兔子数增加到2倍。
这时两只笼子里的兔子数一样多。
你知道原来两只笼子里各有几只兔子？
5、小明在做一道三位数加法时，把一个加数个位上的4看成了1，十位上的0看成了6，百位上的1看成了7，结果得757。
正确的和应该是多少？
简单周期
10.1
知识导航：
在日常生活中，有一些事物总是按照一定规律不断重复出现。
如：
一年四季，春、夏、秋、冬周而复始；再如：
白天、黑夜不断轮回……正是有了这些现象，就有了周期问题。
解周期问题最主要的是找出多少为一个周期（也叫一个循环）。
例1：
小华把梨子和苹果按照一定的规律排成一排，请你算一算，第15个水果是什么？
第19个水果是什么？
（图）梨 苹果 苹果 梨 苹果 苹果 梨 苹果 苹果 ……
常规分析：
先找出这些水果的排列规律，是：
梨 苹果 苹果 每三个一组，依次不断地重复出现。
根据这个规律，我们可以继续往下写。
梨 苹果 苹果 梨 苹果 苹果 梨 苹果 苹果 梨 苹果 苹果 梨 苹果 苹果 梨 苹果 苹果梨 苹果 苹果 梨 苹果 苹果 梨 苹果 苹果……
从上可以看出，第15个是苹果，第19个是梨。
创新点拨：
同样，首选也要找出水果的排列规律。
从图中可以看出，水果按“一只梨两只苹果”的规律重复排列。
因为15×3＝5，所以第15个水果就是第5个周期中的最后一个，是苹果。
同样的方法，因为19÷3＝6（个周期）……1（个），即第19个水果，是第六个周期后接下去一个，是梨。
例2：
把35面小三角旗按下图排列出来，最后一面是什么颜色的？
其中有几面小黑旗呢？
常规分析：
从图中可以看出，小旗按“三面黑旗两面白旗”的规律重复排列，按此规律可以把35面小旗都排出来。
从上图可以看出，最后一面是白色的小旗，一共有21面黑色小旗。
创新点拨：
从图中可以看出，小旗按“三面黑旗两面白旗”的规律重复排列，即5面旗为一个周期，每一周期里有3面小黑旗。
35面小旗中含有7个周期，35÷5＝7（个），第35面小旗正好是第七个周期中的最后一个，即为白色。
7个周期中共有3×7＝21（面）小黑旗
思路回眸：
解周期性问题的关键是抓住每几个图形一循环，即每几个图形一组，看看一共有几组，特别是要注意最后多到几个到底是怎样的图形。
自主检测：
1、小明给一些纸苹果涂颜色。
你知道下一个应该涂什么颜色吗？
第16个呢？
2、根据图形的排列规律，算出第30个图形应是什么？
10.2
知识导航：
把一组数有规律地排列，出现循环。
方法其实和上一讲一样，找出哪几个数为一周期，并用除法扯出一共有几个这样的周期。
例1：
数学兴趣课上，黄老师写了一组有规律的数。
2、0、0、4、2、0、0、4、2、0、0、4……
黄老师笑咪咪地问：
你们能找到它排列的规律吗？
能不能算出第21个数是几？
这21个数的和又是多少呢？
常规分析：
数字排列的规律很好寻。
2、0、0、4四个数为一周期，依次不断重复出现。
按此规律把21个数都写出来。
2、0、0、4、2、0、0、4、2、0、0、4、2、0、0、4、2、0、0、4、2
发现第21个数字是2。
再把这些数字加起来求得和：
2＋0＋0＋4＋2＋0＋0＋4＋……+0+0+4=32
创新点拨：
因为2、0、0、4四个数为一组，21÷4＝5……1，21个数中共有5组多1个数。
按照这样的排列顺序，余到的一个数是2，所以第21个数是2。
又因为每一组四个数的和是2＋0＋0＋4＝6,5组的和是6×5＝30，再加上第21个数2，和为
30＋2＝32。
例2：
电脑迷艾乐给自己的电脑设计了一个特殊的屏幕保护。
屏幕上从左中依次不断出现：
27－2,45＋5，27－2,45＋5，……的算式。
照此规律，第17个算式是什么？
这17个算式的和是多少？
常规分析：
这里循环出现算式的规律很简单。
即“27－2,45＋5”两条算式循环出现。
按此规律往下写 27－2,45＋5，27－2,45＋5，27－2,45＋5，27－2,45＋5，27－2,
45＋5，27－2,45＋5，27－2,45＋5，27－2,45＋5，27－2
第17个算式是27－2。
这17个算式的和是：
（27－2）＋（45＋5）＋（27－2）＋（45＋5）＋……＋（27－2）＋（45＋5）＝625
创新点拨：
观察可得，27－2,45＋5两条算式为一个循环小组。
因为27－2＝25,45＋5＝50,25＋50＝75。
每组结果为75。
一共有17个算式，17÷2＝8……1，这17个算式中有8组，余1条算式。
按排列规律，这余到的算式（即第17个算式）是27－2。
这17个算式的和是
75×8＋25＝625。
思路回眸：
不管是图形的排列，还是数字、算式的排列，都要看看每几个数（或算式，或图形）循环一次，周期长度是多少，每个循环节是按什么次序排列的。
自主检测：
1、1＋2＋7＋1＋2＋7＋……＋1＋2＋7＝ （共200个数相加）
2、47－7,56＋4,47－7,56＋4，……第2004个算式是什么？
10.3
知识导航：
上一讲算式排列规律很容易找。
这一讲的周期必须先通过一些计算后才能发现。
例1：
13个2相乘，所得的积的末尾数字是多少？
常规分析：
13个2相乘的积应该是一个很大的数，但想要计算到结果也不是太难的事。
2×2×2×……×2×2＝8192
所以13个2相乘的积的末尾数字是2。
创新点拨：
用硬算的办法当然可以求出上题。
如果2的个数变多了呢？
1000个？
2000个？
或者更多，该怎么办呢？
从简单想起找一下规律将是一个很不错的办法。
看下表：
算 式
乘 积
积的末尾数字
2
2
2
2×2
4
4
2×2×2
8
8
2×2×2×2
16
6
2×2×2×2×2
32
2
2×2×2×2×2×2
64
4
2×2×2×2×2×2×2
128
8
2×2×2×2×2×2×2×2
256
6
由上表可以发现，每四个2一个循环组。
积的末尾出现的规律是：
2、4、6、8，四个数为一组。
13÷4＝3……1，所以积的末尾数字是循环中的第一个，也就是2。
有了这种办法，算任何几个2相乘的积的末尾数字是几，都不在话下了。
例2：
8个9相乘，所得的积的末尾数字是多少？
常规分析：
才8个9相乘，我们完全可以把积算出来。
9×9×9×9×9×9×9×9＝43346721
由此可知，积的末尾数字是1。
创新点拨：
按照例1的方法，不妨也列一张表，从简单想起找一下规律。
算式
乘积
积的末尾数字
9
9
9
9×9
81
1
9×9×9
729
9
9×9×9×9
6561
1
9×9×9×9×9
59049
9
由上表可以发现，每两个9相乘一个循环。
积的末尾出现的规律是9、1两个数为一组。
8÷2＝4，所以积的末尾数字是循环中的最后一个，也就是1。
思路回眸：
此类找周期问题，要用“从简单想起”的策略，先计算一些，找出规律，找出周期后，再进行计算。
自主检测：
1、
求上式积的末尾数字是几？
2、
求上式积的末尾数字是几？
10.4
知识导航：
这一讲要学习的是组合性周期问题。
所谓组合性周期问题，就是由简单的周期复合而成的，其方法和原来一样。
只是把每题中复合周期拆成单一周期就可以了。
例1：
小明制了一张特殊的表格：
我
爱
数
学
我
爱
数
学
……
A
B
C
A
B
C
A
B
……
上表中，我们可以把第一组的组合看成是：
（我、A），第二组是：
（爱、B），你能推算出第13组的组合是多少吗？
常规分析：
上表的规律很明显，上一行是“我、爱、数、学”每四个字一循环，下行是“A、B、C”每三个字一循环。
按此规律，可以写出这13个组合。
我
爱
数
学
我
爱
数
学
我
爱
数
学
我
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
由上表可知，第13组是（我、A）。
创新点拨：
用上述方法是比较烦的，也无法解决数据大的情况。
这时，我们可以分组考虑。
因为“上一行是“我、爱、数、学”每四个字一循环”，13÷4＝3……1，所以第13组中上行的文字是“我”；同样道理，因为“下行是“A、B、C”每三个字一循环”，13÷4＝3……1，所以第13组中下行的字母是“A”，所以第13组的组合是（我、A）。
例2：
下面一组数字和字母是按一定规律排列的：
（1、A）（2、B）（3、A）（1、B）（2、A）（3、B）（1、A）……请写出第20组是怎样的？
常规分析：
每个括号中都由数字和字母组成，数字的规律是1、2、3，字母的规律是A、B。
按此规律我们可把20组都写出来。
（1、A）（2、B）（3、A）（1、B）（2、A）（3、B）（1、A）（2、B）（3、A）
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