最新高三数学理二轮专题复习文档专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程.docx

最新高三数学理二轮专题复习文档专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程.docx

《最新高三数学理二轮专题复习文档专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高三数学理二轮专题复习文档专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程.docx（14页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

最新高三数学理二轮专题复习文档专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程

教学资料范本

2020最新高三数学（理）二轮专题复习文档：

专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程

编辑：

__________________

时间：

__________________

【20xx最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：

专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程

高考定位　高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.

真题感悟

1.（20xx·全国Ⅱ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率.

解　

（1）曲线C的直角坐标方程为＋＝1.

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，

当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，

整理得关于t的方程

（1＋3cos2α）t2＋4（2cosα＋sinα）t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点（1，2）在C内，

所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－，

故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.

2.（20xx·全国Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.

解　

（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，

即（x＋1）2＋y2＝4.

（2）由

（1）知C2是圆心为A（－1，0），半径为2的圆.

由题设知，C1是过点B（0，2）且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.

由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，

所以＝2，故k＝－或k＝0.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.

当l2与C2只有一个公共点时，

A到l2所在直线的距离为2，

所以＝2，故k＝0或k＝.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝时，l2与C2没有公共点.

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

考点整合

1.直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则

2.直线的极坐标方程

若直线过点M（ρ0，θ0），且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin（θ－α）＝ρ0sin（θ0－α）.

几个特殊位置的直线的极坐标方程：

（1）直线过极点：

θ＝α；

（2）直线过点M（a，0）（a>0）且垂直于极轴：

ρcosθ＝a；

（3）直线过M且平行于极轴：

ρsinθ＝b.

3.圆的极坐标方程

几个特殊位置的圆的极坐标方程：

（1）当圆心位于极点，半径为r：

ρ＝r；

（2）当圆心位于M（r，0），半径为r：

ρ＝2rcosθ；

（3）当圆心位于M，半径为r：

ρ＝2rsinθ.

4.直线的参数方程

经过点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）.

设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.

5.圆、椭圆的参数方程

（1）圆心在点M（x0，y0），半径为r的圆的参数方程为（θ为参数，0≤θ≤2π）.

（2）椭圆＋＝1的参数方程为（θ为参数）.

热点一　曲线的极坐标方程

【例1】（20xx·全国Ⅱ卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.

（1）设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.

解　

（1）设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ>0），M的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1>0）.

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ（ρ>0）.

因此C2的直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4（x≠0）.

（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB>0）.

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·

＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

探究提高　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：

x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝（x≠0），要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.

2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.

【训练1】（20xx·江苏卷）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长.

解　因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，

所以曲线C是圆心为（2，0），直径为4的圆.

因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，

则直线l过A（4，0），倾斜角为，

所以A为直线l与圆C的一个交点.

设另一个交点为B，则∠OAB＝.

连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，

所以AB＝OA·cos∠OAB＝4cos＝2.

因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.

热点二　参数方程及其应用

【例2】（20xx·全国Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.

（1）若a＝－1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.

解　

（1）a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.

曲线C的标准方程是＋y2＝1，

联立方程解得或

则C与l交点坐标是（3，0）和.

（2）直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.

设曲线C上点P（3cosθ，sinθ）.

则P到l距离d＝＝，

其中tanφ＝.

又点C到直线l距离的最大值为.

∴|5sin（θ＋φ）－4－a|的最大值为17.

若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.

若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.

综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.

探究提高　1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.

2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.

【训练2】（20xx·石家庄调研）已知在极坐标系中，点A，B，C是线段AB的中点.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是（θ为参数）.

（1）求点C的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；

（2）设直线l过点C交曲线Ω于P，Q两点，求·的值.

解　

（1）将点A，B的极坐标化为直角坐标，得A（，1）和B（－，3）.

所以点C的直角坐标为（0，2）.

将消去参数θ，得x2＋（y＋2）2＝4，

∴曲线Ω的普通方程为x2＋（y＋2）2＝4.

（2）直线l的参数方程为（t为参数，α为直线l的倾斜角），

代入x2＋（y＋2）2＝4，整理得：

t2＋8tsinα＋12＝0.

设点P，Q对应的参数值分别为t1，t2，则t1t2＝12，

·＝||||＝|t1t2|＝12.

热点三　极坐标与参数方程的综合应用

【例3】（20xx·菏泽模拟）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ<π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值.

解　

（1）由消去t得

xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0，

所以直线l的普通方程为xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0.

由ρcos2θ＝8sinθ，得（ρcosθ）2＝8ρsinθ，

把x＝ρcosφ，y＝ρsinφ代入上式，得x2＝8y，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＝8y.

（2）将直线l的参数方程代入x2＝8y，

得t2cos2φ－8tsinφ－16＝0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝，t1t2＝－，

所以|AB|＝|t1－t2|＝

＝＝.

当φ＝0时，|AB|的最小值为8.

探究提高　1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.

【训练3】已知曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝4.

（1）写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；

（2）若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积.

解　

（1）由（θ为参数），消去θ.

得普通方程为（x－2）2＋y2＝4.

从而曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ，

因为直线l的极坐标方程为ρsin＝4，

即ρsinθ＋ρcosθ＝4，

∴直线l的直角坐标方程为x＋y－8＝0.

（2）依题意，联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，

得A，B两点的极坐标分别为，，

联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，

得P点极坐标为，∴|AB|＝2，

∴S△PAB＝×2×2sin＝2.

1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.

2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：

圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.

3.过定点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为（t为参数），t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为（t1＋t2）.

1.（20xx·江苏卷）在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）.设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.

解　由消去t.

得l的普通方程为x－2y＋8＝0，

因为点P在曲线C上，设点P（2s2，2s）.

则点P到直线l的距离d＝＝，

所以当s＝时，d有最小值＝.

因此当P的坐标为（4，4）时，曲线C上的点P到直线l的距离取最小值.

2.（20xx·全国Ⅲ卷）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：

ρ（cosθ＋sinθ）－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径.

解　

（1）由l1：

（t为参数）消去t，

得l1的普通方程y＝k（x－2），①

同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，②

联立①，②消去k，得x2－y2＝4（y≠0）.

所以C的普通方程为x2－y2＝4（y≠0）.

（2）将直线l3化为普通方程为x＋y＝，

联立得

∴ρ2＝x2＋y2＝＋＝5，

∴l3与C的交点M的极径为.

3.（20xx·安徽联合质检）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin－2＝0，曲线C2的极坐标方程为θ＝，C1与C2相交于A，B两点.

（1）把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；

（2）若P为C1上的动点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围.

解　

（1）由题意知，曲线C1与曲线C2的直角坐标方程分别为C1：

（x＋1）2＋（y－1）2＝4，C2：

x－y＝0.

联立得或

即A（－1，－1），B（1，1）或A（1，1），B（－1，－1）.

（2）设P（－1＋2cosα，1＋2sinα），不妨设A（－1，－1），B（1，1），则|PA|2＋|PB|2

＝（2cosα）2＋（2sinα＋2）2＋（2cosα－2）2＋（2sinα）2

＝16＋8sinα－8cosα＝16＋8sin，

所以|PA|2＋|PB|2的取值范围为[16－8，16＋8].

4.（20xx·湖南六校联考）已知直线l的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ＋2ρsinθ－4.

（1）求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA|·|OB|.

解　

（1）由消去t，

得y－＝（x－1），即y＝x.

∴直线l的普通方程为y＝x.

曲线C：

ρ2＝4ρcosθ＋2ρsinθ－4.

∴其直角坐标方程x2＋y2＝4x＋2y－4，

即（x－2）2＋（y－）2＝3.

（2）易由y＝x，得直线l的极坐标方程为θ＝.

代入曲线C的极坐标方程为ρ2－5ρ＋4＝0，

所以|OA|·|OB|＝|ρA·ρB|＝4.

5.（20xx·全国Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝4cosθ.

（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（2）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解　

（1）消去参数t得到C1的普通方程x2＋（y－1）2＝a2，C1是以（0，1）为圆心，a为半径的圆.

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，

得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.

（2）曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，

从而1－a2＝0，解得a＝－1（舍去），a＝1.

a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.

所以a＝1.

6.（20xx·全国Ⅲ卷）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点（0，－）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.

解　

（1）⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点.

当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.

l与⊙O交于两点当且仅当<1，

解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

（2）l的参数方程为（t为参数，<α<）.

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，

则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.

又点P的坐标（x，y）满足

所以点P的轨迹的参数方程是（α为参数，<α<）.

7.（20xx·武汉调研）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，直线l与曲线C交于A，B两点.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点P的极坐标为，求|PA|·|PB|的值.

解　

（1）l的普通方程为x＋y－1＝0；

又∵ρ2＋ρ2sin2θ＝2，∴x2＋y2＋y2＝2，

即曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.

（2）点P的直角坐标为.

法一　P在直线l上，直线l的参数方程为

（t′为参数），

代入曲线C的直角坐标方程得

＋2－2＝0，

即t′2＋t′－＝0，

|PA|·|PB|＝|t1′|·|t2′|＝|t1′t2′|＝.

法二　3x2－4x＝0x1＝0，x2＝，

∴A（0，1），B，

∴|PA|＝＝，

|PB|＝＝，

|PA|·|PB|＝·＝.

8.（20xx·郑州质检）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

（1）求直线l和圆C的普通方程；

（2）已知直线l上一点M（3，2），若直线l与圆C交于不同两点A，B，求＋的取值范围.

解　

（1）直线l的参数方程为

得普通方程为xsinα－ycosα＋2cosα－3sinα＝0，

将ρ＝，cosθ＝代入圆C的极坐标方程ρ＝2cosθ中，

得圆的普通方程为x2＋y2－2x＝0.

（2）直线l的参数方程为代入圆的方程为x2＋y2－2x＝0，得t2＋（4cosα＋4sinα）t＋7＝0（*），

设点A，B对应的参数值分别为t1，t2，

由题意t1＋t2＝－4（cosα＋sinα），t1·t2＝7.

＋＝＝

＝|sinα＋cosα|.

因为方程（*）有两个不同的实根，

所以Δ＝16（cosα＋sinα）2－28>0，

则|sinα＋cosα|>.

又sinα＋cosα＝sin∈[－，]，

所以|sinα＋cosα|∈.

所以|sinα＋cosα|∈.

所以<＋≤.