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宣武区数学中考试题及答案
北京市宣武区2002年初中升学统一考试
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 44分）
一、选择题：
下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的（本题共44分，1—4小题每小题3分，5—12小题每小题4分）
1．在5，2.1，
，π四个实数中，无理数的个数是（ ）
（A）1（B）2（C）3（D）4
2．计算
的结果为（ ）
（A）1（B）－1（C）2x＋y（D）x＋y
3．下列计算正确的是（ ）
（A）10－4·104＝1（B）（104）2＝1016
（C）（3×10）3＝9×103（D）103·102＝106
4．计算
的结果是（ ）
（A）
（B）
＋1（C）3
－1（D）3
＋1
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列等式成立的是（ ）
（A）b＝c·cosA（B）b＝a·sinb
（C）a＝b·tanB（D）b＝c·cotA
6．计算2sin30° －2cos60°＋tan45°的结果是（ ）
（A）2（B）
（C）
（D）1
7．在圆中，一条弧的长为l，半径为R，那么这条弧所对的圆心角为（ ）
（A）
度（B）
度（C）
度（D）
度
8．已知a的平方根是±8，则a的立方根是（ ）
（A）±2（B）±4（C）2（D）4
9．两条对角线互相垂直平分的四边形是（ ）
（A）梯形（B）矩形（C）菱形（D）正方形
10．若函数y＝k1x（k1≠0）和函数y＝
（k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（ ）
（A）互为倒数（B）符号相同（C）绝对值相等（D）符号相反
11．如图1，从下列四个条件：
①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CB＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的命题的个数是（ ）
图1
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
12．若x＝1时，代数式ax3＋bx＋1的值为5，则x＝－1时，代数式ax3＋bx＋1的值等于（ ）
（A）0（B）－3（C）－4（D）－5
第Ⅱ卷（填空题、解答题共76分）
二、填空题：
将答案写在横线上（本题共32分，每小题4分）
13．分解因式x5－x3＝__________．
14．方程
的根为__________．
15．已知等腰梯形的周长为80cm，中位线长与腰长相等，则它的中位线长等于_____cm．
16．函数y＝
的自变量x的取值范围是__________．
17．等腰直线三角形斜边长为
，则它的面积为__________．
18．如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是__________．
图2
19．如图3，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是__________．
图3
20．“在一次考试中，考生有2万多名，如果为了得到这些考生的数学平均成绩，而将他们的成绩全部相加再除以考生总数，那将是十分麻烦的，那么怎样才能了解这些考生的数学平均成绩呢”？
通常，在考生很多的情况下，我们是从中抽取部分考生（比如说500名）的成绩，用他们的平均成绩去估计所有考生的平均成绩．
上述文字表述了统计中用样本平均数估计总体平均数的统计思想，其中，总体指的是____________________，个体指的是____________________．
请你用简洁的语言，举一个在实际生活中，运用同样思想解决问题的例子，写在下面：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本题共44分）
21．（本题4分）
解不等式：
1＋
x＞
，并把它的解集在数轴上表示出来．
22．（本题4分）
已知：
如图4，AD·AB＝AE·AC．
图4
求证：
△FDB∽△FEC．
23．（本题6分）
已知：
如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？
写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点．
图5
24．（本题6分）
列方程解应用题：
某市为了鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：
每月每户用水不超过10吨部分，按0.45∕元吨收费；超过10吨而不超过20吨部分，按0.80元∕吨收费；超市20吨部分，按1.5元∕吨收费，现已知李老师家六月份缴水费14元，问老师家六月份用水多少吨？
25．（本题7分）
已知：
CF是⊙O直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P．
（1）如图6，若∠P＝45°，PF＝10，求⊙O的半径长；
图6
（2）如图7，若E为BC上一点，且满足PE2＝PB·PC，连结FE并延长交⊙O于点A，求证点A为BC的中点．
图7
26．（本题7分）
若关于x的一元二次方程3x2＋3（a＋b）x＋4ab＝0的两个实数根x1、x2满足关系式：
x1（x1＋1）＋x2（x2＋1）＝（x1＋1）（x2＋1）．
判断（a＋b）2≤4是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例．
27．（本题10分）
已知：
抛物线y＝x2－（a＋2）x＋9的顶点在坐标轴上．
（1）求a的值；
（2）求a＞0时，该抛物线与直线y＝x＋9交于A、B两点，且A点在B点左侧，求点A和点B的坐标；
（3）P为
（2）中线段AB上的点（A、B两端点除外），过点P作x轴的垂线与抛物线交于Q．线段AB上是否存在点P，使PQ的长等于6，若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由．
北京市宣武区2002年初中升学统一考试
数学试卷答案及评分标准
第Ⅰ卷 （选择题 44分）
一、选择题（1－4小题每小题3分，5－12小题每小题4分）
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
B
A
A
C
A
D
题 号
7
8
9
10
11
12
答 案
B
D
C
D
B
B
二、填空题（本题共32分，每小题4分）
13．x3（x＋1）（x－1）14．x＝－415．2016．x≠1且x≠2
17．
18．R＝2.4或3＜R≤419．y＝
20．所有考生的数学成绩的全体；每一名考生的数学成绩；第三空考生答案能体现出用样本平均数估计总体平均数的思想即给2分．
三、解答题（21、22题每题4分，23、24题每题6分，27题10分，共44分）
21．解不等式：
1＋
x＞
，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：
去分母，得6＋3x＞2x－2，
解得 x＞－8．……………………………………………………………………………3分
……………………4分
22．已知：
如图2，AD·AB＝AE·AC．
求证：
△FDB∽△FEC．
图2
证明：
∵ AD·AB＝AE·AC
∴
．
又∵ ∠A＝∠A，
∴ △ABE∽△ACD． ………………………………………………………………2分
∴ ∠B＝∠C，
又∵ ∠1＝∠2，
∴ △FDB～△FEC． ………………………………………………………………4分
23．已知：
如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．
图3
当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？
写出一个认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB．
条件：
∠A＝30°． ………………………………………………………………1分
证明：
∵ 沿直线BE折叠后△BCE与△BDE重合，
∴ △BCE≌△BDE， ………………………………………………………………2分
∴ ∠1＝∠2，∠BDE＝∠C＝30°．
在△ABC中，
∵ ∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ ∠ABC＝60°
又∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠2＝30°，
∴ ∠2＝∠A，
∴ ∠BE＝∠AE． ……………………………………………………………………4分
又∵ ED⊥AB，
∴ BD＝AD，
即点D为AB中点． …………………………………………………………………6分
24．列方程解应用题：
某市为了鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：
每月每户用水不超过10吨部分，按0.45元/吨；超过10吨而不超过20吨部分，按0.80元/吨收费；超过20吨部分，按1.5元/吨收费，现已知李老师家六月缴水费14元，问李老师家六月份用水多少吨？
解：
∵ 0.45×10＋0.80×（20－10）＝12.5，
12.5＜14，
∴ 李老师家六月分用水超过20吨．
设李老师家六月份用水x吨，则
0.45×10÷0.80×（20－10）＋1.5（x－20）＝14， ………………………………3分
解得x＝21． ……………………………………………………………………………5分
答：
李老师家六月份用水21吨． ……………………………………………………6分
25．已知：
CF是⊙O直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P．
（1）如图4，若∠P＝45°，PF＝10，求⊙O的半径长；
图4
解：
∵ CF为⊙O直径，PF切⊙O于点F，
∴ CF⊥PF．
又∵ ∠P＝45°，
∴ ∠C＝45°，
∴ CF＝PF＝10，
∴ ⊙O的半径的长为5． ……………………………………………………………2分
（2）如图5，若E为BC上一点，且满足PE2＝PB·PC，连结FE并延长交⊙O于点A，求证点A为BC的中点．
图5
证法一：
连结OA．
∵ PF为⊙O切线，PBC为⊙O割线，
∴ PF2＝PB•PC，
又∵ PE2＝PB•PC，
∴ PF＝PE． …………………………………………………………………………4分
∴ ∠PFE＝∠PEF．
又∵ ∠PFE＝∠PEF，
∴ ∠PFE＝∠PEF．
∵ OF＝OA，
∴ ∠OFA＝∠A．
∴ ∠A＋∠CEA＝∠OFA＋∠PFE＝90°．
∴ 点A为BC中点． ………………………………………………………………7分
证法二：
连结FB．
同证法一可得，PF＝PE， ……………………………………………………………4分
∴ ∠PFE＝∠PEF
∵ PF切⊙O于点F，
∴ ∠PFE＝∠C，
又∵ ∠PFE＝∠PFB＋∠2，∠PEF＝∠C＋∠1，
∴ ∠1＝∠2，
∴ AC＝AB，
即点A为BC中点． …………………………………………………………………7分
26．若关于x的一元二次方程3x2＋3（a＋b）x＋4ab＝0的两个实数根x1、x2满足关系式：
x1（x1＋1）＋x2（x2＋1）＝（x1＋1）（x2＋1）．
判断（a＋b）2≤4是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例．
判断：
正确．
证明：
∵ 关于x的一元二次方程3x2＋3（a＋b）x＋4ab＝0有两个实数根，
∴ Δ≥0
即［3（a＋b）］2－4×3×4ab≥0，
3（a＋b）2－16ab≥0． ① ………………………………………………2分
∵ x1、x2为方程的两个实数根．
∴ x1＋x2＝－（a＋b），x1·x2＝
．
∵ x1（x1＋1）＋x2（x2＋1）＝（x1＋1）（x2＋1），
∴ x12＋x1＋x22＋x2＝x1x2＋x1＋x2＋1，
x12＋x22－＝1，
（x1＋x2）2－3x1x2＝1．
∴ ［－（a＋b）］2－3×
＝1
（a＋b）2－4ab＝1， ……………………………………………………………4分
∴ 4ab＝（a＋b）2－1． ②
把②代入①，得
3（a＋b）2＋4［（a＋b）2－1］≥0，
∴ （a＋b）2≤4． ……………………………………………………………………7分
27．已知：
抛物线y＝x2－（a＋2）x＋9的顶点在坐标轴上．
（1）求a的值；
（2）求a＞0时，该抛物线与直线y＝x＋9交于A、B两点，且A点在B点左侧，求点A和点B的坐标；
（3）P为
（2）中线段AB上的点（A、B两端点除外），过点P作x轴的垂线与抛物线交于Q．线段AB上是否存在点P，使PQ的长等于6，若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由．
解：
（1）y＝x2－（a＋2）x＋9＝（x－
）2＋9－
，
∴ 此抛物线的顶点坐标为（
，9－
）．
∵ 抛物线的顶点在坐标轴上，
∴ 当顶点在x轴上时，9－
＝0，
解得a1＝4，a2＝－8；
当顶点在y的轴上时，
＝0，
解得a＝－2． …………………………………………………………………………2分
∴ a的值为4，－8，－2．
（2）当a＞0时，a＝4，
抛物线解析式为y＝x2－6x＋9，
由
消去y，得
x2－6x＋9＝x＋9，
解得x1＝0，x2＝7，
∴
∵ A点在B点左侧，
∴ A点坐标为（0，9），B点坐标为（7，16）． ………………………………6分
（3）如图所示．
图6
∵ 点P在线段AB上，PQ垂直于x轴，
∴ xp＝xQ，yp＞yQ，
由题意，得yp－yQ＝6，
（x＋9）－（x2－6x＋9）＝6，
x2－7x＋6＝0，
解得x1＝1，x2＝6．
∴ P1（1，10），P2（6，15），
∴ 点P1、P2均在线段AB上，且不与A、B两点重合，
∴ 线段AB上存在点P，使PQ的长等于6． …………………………………10分
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