41多边形教学设计.docx

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41多边形教学设计

4.1多边形教学设计

教材分析

本节课是浙教版八年级下册第四章第1节的内容，主要学习多边形的概念及探索多边形内角和以及外角和定理，并会用定理解决简单的图形问题.它是继《三角形》基础上的学习内容，多边形的学习不仅可以使学生对多边形有初步的认识，还可以为后续《平行四边形》等其他几何内容的学习作好必要的知识和方法准备.因此，本节课在《平行四边形》这章中具有承上启下的地位.

学情分析

学生已经在八年级上册学过三角形，具备三角形有关的概念以及内角和180°，外角和360°，外角和内角的关系以及边之间的关系等知识储备。

通过平行线、三角形等几何图形的学习有一定的几何直观、几何图形研究的能力，八年级上册第一章开始，几何学习已经进入了论证几何阶段，逻辑推理和概括能力日趋成熟，参与探索能力也已具备。

设计理念

美国教育家杜威提出了“在做中学”的理论，希望通过活动使学生主动探索，让学生经历数学探究发现的过程，积累数学活动的经验，这真正体现了为发展数学核心素养而教的育人理念。

《课标（2011年版）》把数学的“基本活动经验”与“基础知识”“基本技能”“基本思想”一起作为显性目标提出是数学教育研究上一个重要进展。

基于这种理念下，对教材4.1多边形两个课时进行重组，第一个课时设计为探究四边形——多边形的内角和的数学活动课，第二课时重点外角和定理，和应用内角和外角和定理解决简单的图形问题。

本节课为第一课时，设计了基于“四基”和“四能”的数学探究活动，以问题驱动学生思考、感悟，经历“猜想——验证”“发现——论证”的过程，然后上升为理性认识，让学生亲身体验“如何思考”，“如何做数学”。

让学生体会数学的研究方法，领悟数学研究的基本思路，促进学生的核心素养的发展。

教学目标

1.理解多边形的定义以及相关的概念，在学生定义以及概念形成过程中，有意识渗透类比的数学思想方法。

；

2.经历四边形内角和以及多边形内角和定理的探索发现过程，通过动手操作、猜想、验证、推理、归纳，从不同角度、用不同方法证明四边形内角和定理，从中找出规律推理多边形的一般方法，体会数学转化、分类、类比、数形结合等解决问题的思想方法；

3.经历用三角形、四边形、五边形拼镶嵌图等实践操作，用得出的多边形内角和解释原理，学会学以致用，获取解决几何问题的方法和经验.

4.在类比、归纳、推理等数学活动中积累一定的数学活动经验，体会从特殊到一般的研究问题的方法，发展推理能力，提升学生核心素养.

教学重难点

教学重点：

本节教学的重点是四边形内角和以及多边形内角和计算公式.

教学难点：

四边形内角和定理的证明思路多样，不易形成，是本节教学的难点.

教学方法

教法：

设计基于“四基”和“四能”的数学探究活动，以问题驱动学生主动探索思考，让学生经历数学探究的过程，积累数学活动的经验，感悟数学思想方法，促进学生数学核心素养的发展。

学法：

学生在活动中进行观察、分析，归纳，并对问题展开思考、讨论，小组合作，真正动口、动手、动脑，并积极参与到数学课堂活动中.

教学过程

一、温故知新，类比归纳，概念形成

教师出示一个任意三角形的纸片，问学生是什么几何图形，学生回答三角形，教师追问什么叫三角形？

有哪些相关的概念？

引导学生回顾三角形的定义：

不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形。

以及相关的概念：

顶点、边、内角、外角，教师在黑板上板书，定义恰当留白，为多边形的定义板书做准备。

将手中的三角形纸片沿着不经过顶点的一条直线剪下一个角，问学生是什么几何图形？

继续上述的操作，依次剪去一个角，追问学生是什么图形？

经过n次操作呢？

并在投影上展示图形如图1，把这些图形都叫做多边形，提出课题并板书4.1多边形。

图1

设问：

类比三角形的定义，多边形的定义要怎样修改调整？

学生通过思考得出多边形的定义，教师紧接着追问：

多边形的定义中为什么要添加“在同一平面内”这个前提条件？

如果不加，会是怎样？

并出示一个用铁丝围成的四边形，让学生来动手得到如图2的空间图形展示。

图2

通过类比三角形定义形成多边形定义之后，再通过类比三角形相关的概念得出多边形（以四边形为例）相关的概念。

教师设问：

关于四边形的有关概念与三角形有关的概念进行类比，哪些不变？

哪些要调整？

并请你向其他同学介绍。

同桌的学生相互交流讨论之后，通过类比三角形不难归纳得出四边形的顶点、边、内角、外角等相关概念，并让学生上来结合黑板上四边形图形进行介绍相关的概念。

但对角线在三角形中是没有的，学生会较难发现得出，教师以问题：

四边形中有哪条线段是三角形没有的？

引导学生观察发现四边形中连接不相邻的两个顶点的线段，即对角线，并引导学生发现对角线将四边形转化成三角形，接着追问四边形中对角线共有几条？

还有哪条？

请画出来。

进一步巩固对角线的概念。

图3

【设计意图】通过将三角形纸片沿着不经过顶点的一条直线剪下一个角，并重复操作，用动态变化得到的一系列图形，即多边形，使学生直观感受图形之间的变化和联系，并引导学生从图形变化关系中获得直观认识，为找规律推理多边形内角和计算的一般方法做了铺垫。

通过与三角形类比得出多边形的定义及顶点、边、内角、外角、对角线等相关的概念，符合学生的认知规律，同时培养学生学会用类比的思想学习新知的学习方法，解决问题的能力.

二、问题驱动合作交流定理探究

问题1：

关于三角形，除了研究定义、有关的概念等，还研究了它的性质，三角形的内角、外角、边有哪些性质？

【设计意图】回顾三角形研究的内容，为学生探究多边形确定探究方向内容作了铺垫。

问题2：

类比三角形，你想研究多边形什么性质？

从哪种多边形入手？

【设计意图】引导学生类比三角形的研究内容，确定探究的方向、内容为与三角形联系最密切的四边形的内角和，避免学生盲目无方向地探究。

问题3：

研究四边形的内角和，你得出什么结论？

并说明你研究的过程。

学生独立思考探索之后，让学生讲自己的探究的过程方法：

画一个四边形，通过借助量角器测量角度并计算出内角和为360°，从而得出结论为四边形内角和360°。

教师追问：

你只画了一个四边形得出结果，改变四边形的形状，内角和不会改变吗？

测量本身存在误差，你确定内角和不会是359°或361°吗？

学生陷入思考，此时教师用几何画板（如图4）向学生演示验证四边形内角和360°，引导学生观察拖动多边形的顶点，四边形的角度变化，但内角和不变，始终是360°。

图4

有学生提出质疑，认为几何画板也不能验证所有不同形状的四边形的内角和是360°。

并表示要连接四边形的一条对角线（如图5）

把四边形转化成两个三角形，四边形的内角和=两个三角形的内角和2×180°=360°教师表扬了该学生的质疑精神，大大肯定了他的想法。

指明通过测量实践操作画一个四边形进行测量得出的结论还只是我们一个猜想，用几何画板测量不同形状的四边形的内角并计算和，只是在验证我们的猜想，一个命题要确定为真命题必须如这位同学将四边形转化成我们学过的三角形，利用三角形的内角和定理推理证明得到。

【设计意图】学生对问题的研究还是趋向直观感性的方式，因此会采用画图、观察、测量动手操作方式进行研究，这也符合学生思维特点，但这一过程很重要，只有具备了足够的感性认识，才能向理性的抽象飞跃，因此通过开放的问题让学生充分操作感受，再通过追问将学生引向理性思考。

已有同学通过连接四边形的对角线，将四边形转化为两个三角形研究，解决了四边形内角和是360°的证明，其中体现了数学的化归思想。

现在请同学深入地思考，通过构造三角形证明还有其他方法吗？

问题4：

请用多种方法证明四边形的内角和是360°。

学生活动：

经过独立思考后，在小组内相互交流，有一名学生负责记录方法，有一名学生负责在班级分享组内的证明方法。

学生展示的方法：

方法一：

（图6）,4×180°-360°=360°

方法二：

（图7），3×180°-180°=360°

方法三：

（图8），4×180°-360°=360°

方法四：

（图9），3×180°-180°=360°

教师引导学生观察归纳这几种方法采用分割的方式构造三角形，割线交点的位置不同，体现了数学的分类思想。

再请同学想想，将三角形沿着不经过顶点的直线截去一个角就可以得到四边形，我们还可以通过什么途径构造三角形？

方法五：

（图10）延长BA、CD，交于点E

∵∠B+∠C=180°-∠E=∠3+∠4

∵∠3+∠4+∠1+∠2=2×180°=360°

∴∠B+∠C+∠1+∠2=360°

教师归纳提炼，通过补的方式将四边形转化成三角形，并通过角之间的代换得到结果，体现了数形结合思想。

再追问：

证三角形的内角和180°我们添平行线使角转移，请说说证明思路，并类比说明四边形的内角和360°的证明思路。

方法六：

（图11）作AE∥BC，交CD于点E

∴∠B+∠1=180°，∠2+∠C=180°

∵∠2=∠3+∠D

∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠3+∠B+∠D+∠C

=∠B+∠1+∠2+∠C=2×180°=360°

教师归纳，这种证明方法是从三角形内角和等于180°的证明中联想得到，体现了数学的类比思想。

【设计意图】在定理的推导过程中蕴含着丰富的数学思想方法，四边形内角和360°这个定理的推导过程方法多样，而且蕴含着分类思想、数形结合思想、类比思想，教学中深度挖掘提炼，达到润物细无声的境界。

同时推理证明也是锻炼、培养学生逻辑推理能力的一条重要途径。

这样引导学生多联系、多联想已有的知识方法，从多角度、多方位探究定理证明的途径与方法，不但能开阔学生的眼界，丰富学生的视野，而且能训练学生数学思维的广阔性和敏捷性，培养学生的创新思维，提升数学素养，从中领悟数学思想的无穷魅力。

二、类比方法推广应用思维提升

将三角形沿着不经过顶点的直线截去一个角就可以得到四边形，引导学生回顾这一过程中，如图15，多了∠1与∠2，少了∠3,根据三角形一个外角等于两个不相邻的内角，得到∠1+∠2=180°+∠3，因此四边形比三角形内角和增加了180°。

四边形进行同样的操作可得五边形，再继续操作可得六边形，多了哪几个角？

少了哪个角？

内角和是怎样变化的？

思路一：

如图15，对于四边形，也沿着不过顶点的一条直线剪下一个角，如图15，得到五边形，学生观察思考后发现，同样多了∠1与∠2，少了∠3,同理∠1+∠2=180°+∠3，因此五边形比四边形又多了180°，继续操作，同理六边形比五边形又多了180°，得到规律，n边形内角和是（n-2）×180°（n≥3）。

【设计意图】引导学生从图形变化关系中获得直观认识，培养几何直观能力，对数学本质规律有一定的思考，为下面再探究再推理做了铺垫。

问题5：

类比推导四边形内角和360°的证明方法，探究五边形、六边形…n边形的内角和？

教师引导学生反思四边形内角和360°的证明方法一、二、三、四，哪几种方法可以推广，请选择你所喜欢的方法进行探索。

学生活动：

学生探索得到五边形、六边形…n边形的内角和公式，个别学生上讲台用实物投影展示，并讲述探究的思路方法。

思路二：

类比四边形连接对角线（图5）转化成三角形的方法，连接五边形、六边形…n边形的一个顶点与它不相邻的顶点，（图12），转化成三角形，得到五边形内角和3×180°、六边形的内角和4×180°，而n边形分割成（n-2）个三角形，因此推导得到n边形内角和为（n-2）×180°（n≥3）

思路三：

类比四边形内取一点与各顶点连接转化成三角形（图8）的方法，在五边形、六边形…n边形的内部任意取一个点与各顶点相接，如图13，从而将图形分别转化为5个、6个…n个三角形，因此推导得到n边形内角和为n×180°-360°（n≥3）

思路四：

类比四边形一边上取一点与各顶点连接转化成三角形（图7）的方法，在五边形、六边形…n边形的一边任意取一个点与各顶点相接，如图14，从而将图形分别转化为4个、5个…（n-1）个三角形，因此推导得到n边形内角和为（n-1）×180°-180°（n≥3）

【设计意图】类比四边形内角和定理的推导方法，将其应用到五边形、六边形…n边形内角和公式的推导，发挥其应用功能，层层拓展、不断深入的探索过程中，让学生经历数学的研究过程，培养学生的数学抽象能力；在类比、归纳等数学活动中积累一定的数学活动经验，体会从特殊到一般的研究问题的方法，发展推理能力；利用图形的形态变化与数理关系，引导学生分析数学问题，建立形与数的联系，探索解决问题的思路，提升学生的直观想象能力。

同时将问题始终化归到最原始的对三角形的研究中，使学生对转化思想的灵魂又有了更深刻的认识。

四、动手实践应用定理发现本质

同学们，为了美观，我们看到在地面上由各种不同形状的几何图形的地砖拼接镶嵌而成，镶嵌时，既不能留缝隙，又不能重叠，你们见过哪些几何图形的地砖？

可以是三角形、任意四边形、五边形、六边形吗？

动手操作：

动手拼一拼，下列哪些几何图形可以即不重叠、又不留空隙地组成一幅镶嵌图

（1）全等的任意三角形

（2）全等的任意四边形（3）全等的任意五边形（4）全等的正六边形。

每一小组都有四个信封，里面分别装着全等的任意三角形、全等的任意四边形、全等的任意五边形、全等的正六边形的卡纸片。

小组的学生经过分工合作，动手拼一拼，并展示拼接的结果，得出全等的任意三角形、全等的任意四边形、全等的正六边形可以拼成镶嵌图，而全等的任意五边形不能拼成镶嵌图。

思考：

为什么全等的任意三角形、全等的任意四边形、全等的正六边形可以拼成镶嵌图？

而全等的任意五边形不能拼成镶嵌图。

引导学生观察拼图，思考原因，能形成镶嵌图的，以一点为中心，各个角的和必须是360°，才能做到既不重叠又不留缝隙，三角形内角和180°，四边形内角和360°所以都能形成镶嵌图，而五边形内角和540，则不可以，任意六边形720°也不可以，但正六边形每个角120°，120°×3=360°，所以也能形成镶嵌图。

【设计意图】通过动手、实践、操作，让学生在“做”中感受、思考、探索结论，积累活动经验，培养学生几何直观和空间观念；应用所学的知识解决问题，学以致用，体验到探索的成就与乐趣，为后续的学习探索提供了动力。

五、归纳小结分享收获着眼长远

1、这节课你掌握了哪些新知？

2、你感悟了哪些重要思想方法？

有什么启示？

【设计意图】引导学生回顾本节课的知识多边形的内角和定理，建立起知识间的联系.同时体会本节课重点和难点，感悟提炼几种重要的数学思想方法：

类比、数形结合、分类讨论、转化思想，以及探究问题的方式方法，积累活动经验。

小结语：

比知识更重要的是方法，比方法更可贵的是探索精神

附板书设计如下:

六、分层作业难点突破素养提升

必做题

1.配套作业本；

2.书本作业题A组、B组.

3、推导四边形、五边形、六边形、n边形的外角和

选做题

1、如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD=BD,求∠BCD的度数。

2、

如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠ADC.

（1）求证：

AB‖CD

（2）过点D作DE‖BC交AB于点E。

若∠ADC-∠A=60°，请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由。

3、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。

【设计意图】分层作业，使“不同的学生在数学上得到不同的发展”.必做题是帮助学生巩固基础知识和基本技能；选做题是为学有余力的学生设置的，题目的设计从易到难，层层递进，初步让学生感受动点问题在几何中应用，学会用分类讨论的数学思想方法去求解实际应用题，这样部分学有余力的学生能够“吃饱”初步学会用动态的眼光看待数学问题，提升学生的核心素养．