数控技术(插补).ppt

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第三章轮廓加工的数学基础,在CNC数控机床上，各种轮廓加工都是通过插补计算实现的，插补的任务就是计算出刀具的一系列加工点、用基本线型拟合，完成所谓的数据“密化”工作,使刀具沿着这些坐标点移动，来逼近理论轮廓。

插补有二层意思：

一是用小线段逼近产生基本线型（如直线、圆弧等）；二是用基本线型拟合其它轮廓曲线。

插补：

数控系统按一定方法确定刀具运动轨迹的过程。

脉冲当量：

每输出一个脉冲，移动部件移动的距离。

插补运算具有实时性，直接影响刀具的运动。

插补运算的速度和精度是数控装置的重要指标。

插补原理也叫轮廓控制原理。

插补方法的分类硬件插补器完成插补运算的装置或程序称为插补器软件插补器软硬件结合插补器1.基准脉冲插补每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，各坐标仅产生一个脉冲当量或行程的增量。

脉冲序列的频率代表坐标运动的速度，而脉冲的数量代表运动位移的大小。

基准脉冲插补的方法很多，如逐点比较法、数字积分法、脉冲乘法器等。

特点：

插补方法简单可用硬件或软件实现脉冲当量在0.010.001mm移动速度13m/min有逐点比较法和数字积分法,2.数据采样插补法采用时间分割思想，根据编程的进给速度将轮廓曲线分割为每个插补周期的进给直线段L=V.T（V为进给速度，T为插补周期）；（又称轮廓步长）进行数据密化，以此来逼近轮廓曲线。

然后再将轮廓步长分解为各个坐标轴的进给量（一个插补周期的进给量），作为指令发给伺服驱动装置。

该装置按伺服检测采样周期采集实际位移，并反馈给插补器与指令比较，有误差运动，误差为零停止，从而完成闭环控制。

数据采样插补方法有：

直线函数法、扩展DDA、二阶递归算法等。

特点：

用数值量控制数控机床运动时间与插补时间有关进给速度1560m/min适用于直流及交流伺服电机驱动的半闭式或闭环系统,3.1逐点比较法直线和圆弧插补原理早期数控机床广泛采用的方法，又称代数法、醉步法、富士通法，适用于开环系统。

原理：

每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要通过偏差函数计算，判断偏差点的瞬时坐标同规定加工轨迹之间的偏差，然后决定下一步的进给方向。

每个插补循环由偏差判别、进给、偏差函数计算和终点判别四个步骤组成。

逐点比较法可实现直线、圆弧插补及其它曲线插补。

特点：

运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。

定义：

逐点比较刀具与所加工曲线的相对位置，以确定刀具的运动方向。

用逐点比较法插补曲线AB时，先要构造一函数F=F（x，y）式中的（x，y）是刀具的坐标函数F=F（x，y）的正负，必须反映出刀具与曲线的相对位置。

即F（x，y）0刀具在曲线的上方；F（x，y）0刀具在曲线的上；F（x，y）0刀具在曲线的下方。

由于F（x，y）正确地反映了刀具偏离曲线的情况，称为偏差函数。

1.偏差函数,第三章轮廓加工的数学基础,如图所示，设规定轨迹为直线段OE，起点在原点，终点E的坐标A（XeYe）,Pi（xi,yi）为加工点。

（1）.若P正好处在OE上,则下式成立。

即xeyixiye=0,3.1.1直线插补原理,

（2）.当P在OE上方时，,第三章轮廓加工的数学基础,即xeyixiye0,（3）.当P在OE下方时，,即xeyixiye0,偏差函数F为：

FXeYi-XiYe；它反映了刀具与曲线的相对位置。

由F可判别动点Pi与理想轨迹的相对位置，从而决定下一步移动方向。

第三章轮廓加工的数学基础,F0，点Pi在直线上方，应向+X移动。

F0。

为便于计算机编程计算,将F的计算予以简化。

1）.若Fi0为了逼近曲线的相对位置沿+x向走一步，即,于是有Fi+1=FiYe,2）.若Fi0为了逼近曲线的相对位置沿+y向走一步即,第三章轮廓加工的数学基础,于是有,新加工点的偏差完全可以用前一加工点的偏差递推。

2.终点判别的方法有两种：

（1）.每走一步都要计算Xi-Xo和Yi-Yo的数值，并判断Xi-XoXe-Xo且Yi-YoYe-Yo是否成立，若成立则插补结束，否则继续。

第三章轮廓加工的数学基础,

（2）.求程序段总步数n=Xe-XoYe-Yo每走一步，n1n，直到n=0，插补结束。

3.插补计算过程：

（用流程图表示）,终点判别？

初始化,偏差判别,坐标进给,偏差计算,End,Y,N,第I象限直线插补软件流程图,4.不同象限的直线插补计算,第三章轮廓加工的数学基础,用同样方法分析第II，III，象限插补情况，,第三章轮廓加工的数学基础,第三章轮廓加工的数学基础,如图所示,可以得出：

都是沿x方向进给一步，无论+x，-x，|x|总是增大。

F0,均沿y方向步进，无论+y，-y，|y|增大，I，II走+y，III，IV走y（随ye的，）。

第三章轮廓加工的数学基础,F0,下图所示，轮廓形状,第三章轮廓加工的数学基础,第三章轮廓加工的数学基础,a.看成是第I象限，起点O1，终点O2，输出为x,y,b.看成是第象限，起点O2，终点O3，输出为x,y,c.看成是第象限,起点O3,终点O4,输出为x,y,d.看成是第IV象限,起点O4,终点O1,输出为x,y,第三章轮廓加工的数学基础,四个象限直线插补流程图可归纳为下图所示，则n=|xex0|yey0|,第三章轮廓加工的数学基础,例1对直线段OE进行插补运算，E点坐标为（5,3），试写出控制装置内插补运算步骤。

解：

初始化：

xe=5，ye=3F0XF=F-3F0YF=F+5,第三章轮廓加工的数学基础,F0XF=F-3F0YF=F+5,y,x,0,3.1.2圆弧插补原理,1.偏差计算公式,第三章轮廓加工的数学基础,若Pi在圆弧上，则（xi+yi）-（x0+y0）=0,取判别函数F为F=（xi+yi）-（x0+y0）,圆心为原点，圆弧起点坐标（x0、y0），终点坐标（xe、ye），设动点Pi（xi、yi）。

1）.动点在圆弧外,F0,向-x走一步；2）.动点在圆弧内,F0,向+y走一步；3）.动点在圆弧上,F=0,向-x走一步。

第三章轮廓加工的数学基础,Pi,x,0,2.终点判别的方法有两种：

（1）、动点与终点坐标值比较若xi=xe，x向已到终点若yi=ye，y向已到终点只有当x、y都到达终点，插补才算完成。

第三章轮廓加工的数学基础,

（2）、计算总步数n=|Xe-X0|+|Ye-Y0|每走一步，n-1n，直到n=0，插补结束,3.插补计算过程：

（用流程图表示）,x,o,4.不同象限的圆弧插补计算,

（1）、第一象限逆圆插补动点在X方向走一步后,第三章轮廓加工的数学基础,动点在+Y方向走一步后,第一象限逆圆插补的流程图如图所示,第一象限逆圆插补流程图,第三章轮廓加工的数学基础,初始化起点（x0,y0）终点（xe,ye）F=0,F0？

+Y方向走一步,-X方向走一步,F=F+2Y+1Y=Y+1,F=F-2X+1X=X-1,插补完?

End,N,Y,N,Y,

（2）、第一象限顺圆插补,F0动点在-Y方向走一步后Fi+1=Fi-2Yi+1,第三章轮廓加工的数学基础,第一象限顺圆插补的流程图如图所示,F0动点在+X方向走一步后Fi+1=Fi2Xi+1,第一象限顺圆插补流程图,第三章轮廓加工的数学基础,初始化起点（x0,y0）终点（xe,ye）F=0,F0？

+X方向走一步,-Y方向走一步,F=F+2X+1,X=X+1,F=F-2Y+1,Y=Y-1,插补完?

End,N,Y,N,Y,圆弧插补有八种情况，可分为两类，如图所示。

类,类,（3）.逐点比较法的速度分析式中：

L直线长度；V刀具进给速度；N插补循环数；f插补脉冲的频率。

所以：

刀具进给速度与插补时钟频率f和与X轴夹角有关,例2.欲加工第I象限逆圆弧,起点A，x0=4,y0=3;终点E:

xe=0，ye=5，试写出插补计算步骤.,解：

初始化x=x0=4y=y0=3F=0n=|Xe-Xi|+|Ye-Yi|=6,第三章轮廓加工的数学基础,F表达式：

F0,-X,F-2X+1F，X-1XF0,+Y,F+2y+1F，y+1y,3.2数字积分插补法,基本概念,第三章轮廓加工的数学基础,采用积分运算实现插补，又称DDA法。

DDA（DigitalDifferentialAnalyzer）,优点,易于实现多维插补和原有系统多个坐标轴联动的扩充,尤其多坐标联动的数控系统,3.2.1DDA直线插补,设对直线OE进行脉冲分配起点O（0,0），终点E（xe,ye）直线方程y/x=ye/xe,第三章轮廓加工的数学基础,对t求导,即Vy/Vx=Ye/Xe,令动点P，在x、y轴方向的速度分别是Vx、Vy,在x、y方向的微小位移增量为X、Y则：

X=VxtY=Vyt,第三章轮廓加工的数学基础,

（1）,假定进给速度V是均匀的，即V为常数，对于直线来说,其分速度Vx、Vy必为常数,且有下式,引入比例系数K，有,Vx=KXeVy=KYe,

（2）,将

（2）式代入

（1）式，即为坐标轴位移增量,x=KXety=KYet,第三章轮廓加工的数学基础,（3）,位移量为,取单位时间t=1，则公式化为,t,第三章轮廓加工的数学基础,（4）,1走一步,-1,余值作为下次累加的余值,+KXe+KYe,不断累加不断溢出溢出脉冲数符合（4）式,得出接近理想的直线轨迹,累加多少次，才能达到加工终点呢？

K=？

第三章轮廓加工的数学基础,设经过m次累加后，达到终点，由（4）式知，m次累加后X=mKXe=XeY=mKYe=Ye,于是，必须使mk=1，或m=1/k,i.累加1/k次后，x、y方向同时到终点，溢出的脉冲总数X=Xe；Y=Yeii.K与m互为倒数关系，m必须是整数,故K必是小数。

确定m（K）：

方法1：

每次累加，在每个轴上最多只能产生一个进给脉冲。

式

（2）中的x,y相同地要小于等于一个脉冲当量，即要求KXe1KYe1（）,第三章轮廓加工的数学基础,则必然满足（I）式的条件。

Xe,Ye的最大允许值受系统字长的限制,假设系统字长为m，则Xe、Ye的最大允许值为2-1，若取,方法2：

假设XeYe,即X轴累加溢出脉冲总数多于Y轴,累加最有效的情况是,每次累加,X轴都有脉冲溢出,Y轴则不一定,于是选累加次数m=Xe，则K=1/Xe.将（4）式改写成：

第三章轮廓加工的数学基础,第三章轮廓加工的数学基础,每次累加1.X轴必有脉冲溢出,（不必要进行累加计算）,2.Y轴的累加结果大于或等于m（Xe）时才产生溢出,发出一个脉冲,故m又称为溢出基值.,作为是否有脉冲溢出的判别条件,作为终点判别条件,溢出余值m,设有x1、x2xp个坐标轴同时插补，则令m=maxx1,x2,xp，m对应的轴xm称为主导轴每次累加，主导轴必有脉冲溢出，而其余轴,第三章轮廓加工的数学基础,推广到P个坐标轴同时插补的情况。

即以终点坐标作为被积函数（增量）进行累加，累加结果大于或等于m时,产生溢出,发出一个脉冲,当经m次累加计算后,主导轴xm达到终点。

此时，,第三章轮廓加工的数学基础,即其余各轴也同时到达了终点。

优点,1.减少了一个坐标轴（主导轴）的累加运算,2.保证了每次累加必有脉冲输出,4.减少了插补程序的长度和插补运算时间,3.提高了脉冲发生率,解:

初始化m=xe=5y=0累加增量为3,第三章轮廓加工的数学基础,例3设有直线OE，起点在原点，终点E（xe=5,ye=3）用DDA法实现插补。

第三章轮廓加工的数学基础,第三章轮廓加工的数学基础,以第I象限顺圆为例圆方程为：

x+y=r对时间t求导,由此设出第I象限顺圆坐标轴方向的速度分量为Vx=KyVy=Kx,此式说明，速度分量是随动点变化的。

3.2.2DDA圆弧插补,第三章轮廓加工的数学基础,位移量,取单位时间t=1则：

（4）,坐标轴位移增量,由此构成如图所示的插补原理框图,第三章轮廓加工的数学基础,第三章轮廓加工的数学基础,考虑用半径r的数字量作为溢出余值k=1/r.于是（4）式变为：

x,y的增量值分别为y,x轴的动点坐标值（yi,xi）,累加多少次才能达到终点？

K=？

第三章轮廓加工的数学基础,预置累加增量值x、y轴累加增量初值分别为y0、x0（x,y）,x轴累加求和，x+x-yx得出的溢出脉冲发到+x向y轴累加求和,y+y-xy得出的溢出脉冲发到-y向,坐标值更新，当x向发出脉冲后，x+1x=y更新y轴累加增量值y,插补过程如下：

第三章轮廓加工的数学基础,判终将中计算出的坐标瞬时值与圆弧终点坐标进行比较，当有一个轴达终，该轴就停止计算，不再有脉冲溢出，只有当两轴都达到终点时，插补运算结束。

即当y向发出脉后,y-1y=x，更新x轴累加增量值x,不同象限，顺逆不同，插补公式也不一样。

第三章轮廓加工的数学基础,3.3时间分割法插补原理（数据采样插补）,在闭环控制的数控机床中，两坐标两联动直线和圆弧插补运算，三坐标三联动的空间直线插补运算都是采用时间分割法。

每隔tms（一个插补周期）进行一次插补运算，为各坐标提供一组数据，机床在各坐标方向上同时完成一次微小的运动。

即先通过速度计算，按进给速度F（mm/min）计算tms内合成进给量f，然后进行插补运算，并送出tms内各轴的进给量。

合成进给量为：

f=F1000t/（601000）=Ft/60（m/ms）,era,采用弦线（l）逼近时，见左图。

半径为r的被逼近圆弧最大半径误差er，其对应的圆心角为，由图可推导出：

当采用内外均差（era=eri）的割线时，半径误差更小，是内接弦的一半；若令二种逼近的半径误差相等，则内外均差弦的轮廓步长或步距角是内接弦时的倍。

但由于内外均差割线逼近时，插补计算复杂，很少应用。

由上面分析可知：

圆弧插补时的半径误差er与圆弧半径r成反比，与插补周期t和进给速度F的平方成正比。

3.3.1两坐标联动直线插补原理,设要求刀具在XOY平面作直线运动，由O点运动到P点，则X轴和Y轴的移动增量为Xe和Ye。

插补时，取增量大的为长轴，增量小的为短轴。

要求X、Y轴的速度保持一定的比例，同时开始运动，同时到达终点。

第三章轮廓加工的数学基础,f,A,设刀具的方向与长轴夹角为，OA为一次插补周期的进给步长f。

由程序提供的Xe和Ye可以确定,tg=,第三章轮廓加工的数学基础,Ye,Xe,X、Y两个坐标方向的速度比为：

在同一插补周期t内，刀具在X、Y方向同时按照上述计算的位移、速度运动，刀具的运动轨迹与理想的曲线吻合。

3.3.2圆弧插补原理,第三章轮廓加工的数学基础,时间分割插补原理是用一段等长度的弦去逼近实际圆弧，每一插补周期tms内插补一段弦，通过插补计算，算出每一个tms内X、Y的进给量X、Y，控制X、Y轴的电机同时进给，合成运动即插补一段弦，然后顺序计算一段，进给一段，从而达到插补圆弧的目的。

以顺圆插补为例，顺圆上B点是继A点之后的插补瞬时点，其坐标分别为A（Xi,Yi）,B（Xi+1,Yi+1）X,Y轴的进给量分别为Xi，Yi，AB等于合成进给量fAOYi=,AOB=AOM=BOM=0.5,=+0.5,第三章轮廓加工的数学基础,第三章轮廓加工的数学基础,cos=cos（i+0.5）=（Yi-0.5Yi）/（R-）当f相对于R足够小时，一个脉冲，故可省去，式中Yi是未知数，求cos十分困难，采用一种近似算法，用Yi-1代替Yi，得：

cos=（Yi-0.5Yi-1）/RXi=fcos=f（Yi-0.5Yi-1）/RYi+12=R2-（Xi+Xi）2Yi+1=R2-（Xi+Xi）21/2；Yi=Yi-Yi-1Yi=Yi-R2-（Xi+Xi）21/2（）,第三章轮廓加工的数学基础,采用近似计算，cos的值必然产生偏差，XiYi也会偏离理论值；但方程（）圆方程的一种表示形式，用它来求Yi可保证实际插补点和理论插补点必然在半径为R的同一圆弧上，Xiii实际值与理论值有偏差，但不影响圆弧的精度，只影响合成速度的均匀性，但影响很小。

3.4扩展DDA插补原理,扩展DDA是在DDA积分法的基础上发展起来的，但它的精度较高，运行速度快，可用于多坐标的控制中。

3.4.1直线插补原理下图中的PoPe是被加工的直线，设刀具在起点Po处，加工程序中给出的已知值是终点Pe的坐标值（Xe,Ze）和进给速度F（mm/min）则刀具的坐标位置为：

式中FxFz分别是F在XZ坐标方向的分量。

第三章轮廓加工的数学基础,在插补过程中，计算机应在规定的插补时间t内给出各坐标方向的增XiZi，因此实际的刀具位置为：

第三章轮廓加工的数学基础,由于给定的进给速度F大小不同及直线的斜率不同，因此XiZi值随之变化。

由图可知：

fi=Ft。

由于进给速度F的单位为mm/min，为使fi单位为mm/ms，则：

又：

因此：

3.4.2扩展DDA法圆弧插补将DDA的切向逼近改变为割线逼近。

具体还是计算一个插补周期t内，轮廓步长L的坐标分量Xi和Yi由右图经过推导可得：

其中:

新加工点Ai的坐标位置特点：

计算简单，速度快，精度高。

3.5刀具半径补偿原理,第三章轮廓加工的数学基础,在轮廓加工过程中由于刀具的磨损或因换刀引起的刀具半径变化，或在粗加工和半精加工时，还要预留加工量，故刀具中心的轨迹并不是零件的实际轮廓。

第二章介绍了刀具半径补偿功能，如图所示，根据ISO标准，当刀具中心轨迹在编程轨迹前进方向的右边是，称为右刀补，用G42表示，反之为左刀补，用G41表示。

第三章轮廓加工的数学基础,刀具半径补偿功能的作用要求数控系统根据工件轮廓程序和刀具中心偏移量，自动计算出刀具中心轨迹。

所以刀具半径不是在CNC系统内部由计算机自动完成的，编程人员只按零件图纸的轮廓编制加工程序。

在实际轮廓加工过程中，刀具半径补偿的执行过程分为：

刀补的建立刀补的进行和刀补撤销三个步骤。

第三章轮廓加工的数学基础,本节介绍的主要内容：

刀具半径补偿建立取消刀具中心点与刀具轮廓起点和终点的位置关系；工件轮廓拐角时，刀具中心拐点与工件轮廓拐点的位置关系。

3.5.1直线两端点处刀具中心的位置,如图所示，刀具半径为r，左刀补G41刀具中心轨迹ab直线；右刀补G42刀具中心轨迹cd直线。

由图中的几何关系可知：

a点:

Xa=XA-AgYa=YA+ga,b点:

Xb=XB-BeYb=YB+eb,c点:

Xc=XA+AhYc=YA-hc,d点:

Xd=XB+BfYd=YB-fd,由图可知：

agA,beB,dfB都与AMB相似；AM=XB-XA,MB=YB-YA,第三章轮廓加工的数学基础,a点:

Xa=XA-rsinYa=YA+rcos,b点:

Xb=XB-rsinYb=YB+rcos,c点:

Xc=XA+rsinYc=YA-rcos,d点:

Xd=XB+rsinYd=YB-rcos,因此:

G41,G42,若把c点中的r值的符号改为负号，则和式a点中完全一样，因此再实际应用中，只用式前两式计算直线端点处的刀具中心位置，在G41方式下r取正值，在G42方式下r取负值。

3.5.2圆弧两端点处刀具中心的位置,如图所示圆弧AB是加工轮廓线，半径为R，加工方向是从A到B,刀具半径为r，G41方式时，刀具中心轨迹是ab,G42方式时，刀具中心轨迹是cd.由图可知：

第三章轮廓加工的数学基础,顺圆,G41,G42,r值在顺圆弧G41方式和逆圆弧G42方式下r取正值，在顺圆弧G42方式和逆圆弧G41方式下r取负值。

第三章轮廓加工的数学基础,工件轮廓有拐点时，拐点可是直线与直线、直线与圆弧、圆弧与圆弧的交点。

图中AB,AD为刀具半径矢量。

对应于编程轨迹OA,AF，刀具中心轨迹JB与DK交点为C.直线拐角时拐角的大小等于两直线矢量的夹角；直线与圆弧连接时拐角的大小是直线矢量与拐点处圆弧切线矢量的夹角；圆弧与圆弧连接时是两圆弧在交点处切线矢量的夹角。

由于两矢量夹角不同以及G41,G42偏置方向不同，使刀具中心轨迹的转接方式有所不同，共有三种转接方式：

缩短型，伸长型和插入型。

3.5.3转接矢量计算,第三章轮廓加工的数学基础,伸长型（如图所示）,在G42方式下，两矢量夹角:

090,刀具中心越过B点，在C点转折，比OA多走了BC的距离，比AF多走了CD的距离亦称伸长型。

在G41方式下，两矢量夹角:

270360,G41,G42,缩短型（如图所示）,第三章轮廓加工的数学基础,编程轨迹OA、AF，刀具中心轨迹JB与DK将在C点相交。

这样，相对于OA和AF而言，缩短一个CB与CD的长度。

在G41方式下，两矢量夹角:

0180,在G42方式下，两矢量夹角:

180360,G41,G42,插入型（如图所示）,第三章轮廓加工的数学基础,在G41方式下，两矢量夹角:

180270,在G42方式下，两矢量夹角:

90180,刀具中心在C点和C点两次转折，CC是插入直线必须保证BC=DCr,G41,G42,3.5.4轮廓拐角处刀具中心的圆弧连接,上述刀具中心转接方式都是折线另一种转接方式是圆弧，如图所示。

利用（3-17）和（3-19）式计算出刀具中心在直线或圆弧端点的位置，在两矢量的起点和终点连接处，以轮廓拐点为中心，以刀具半径为半径，插入圆弧。

作为刀具中心在拐角处的运动轨迹，由于圆弧连接不需要作转接交点的复杂计算，因而简单方便，但因刀具圆周在作圆弧拐角时与轮廓拐角相接触，因而不能得到完好的尖角。

第三章轮廓加工的数学基础,对于缩短型，插入的圆弧将使刀具产生过切现象，这是圆弧过度的弊端。

如图3-28所示。

两矢量连接时，刀具中心相对前一矢量的终点和后以矢量起点位置都是由式3-17或式3-19计算得出，插入的圆弧又是刀具中心移动轨迹，因而对于缩短型必然产生过切现象。

利用圆弧连接件编程时，应把编程轨迹改成有过渡圆弧的形式，如图3-29所示，过渡圆弧要大于或等于刀具半径，并且与原来的工件轮廓线相切。