浙江专用版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件.docx

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浙江专用版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语12命题及其关系充分条件与必要条件

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书

1．四种命题及相互关系

2．四种命题的真假关系

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

（2）如果p⇒q，但q

p，则p是q的充分不必要条件；

（3）如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；

（4）如果q⇒p，且p

q，则p是q的必要不充分条件；

（5）如果p

q，且q

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

【知识拓展】

1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．

2．若A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；

（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；

（3）若A＝B，则p是q的充要条件；

（4）若AB，则p是q的充分不必要条件；

（5）若AB，则p是q的必要不充分条件；

（6）若A

B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）“x2＋2x－3<0”是命题．（　×　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（　×　）

（3）若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．（　√　）

（4）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　√　）

（5）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．（　√　）

（6）若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．（　√　）

1．下列命题为真命题的是（　　）

A．若

＝

，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则

＝

D．若x

答案　A

2．下列命题中为真命题的是（　　）

A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

答案　A

解析　对于A，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.

3．（2016·慈溪中学高三适应性考试）设a，b为实数，则“log2a>log2b”是“

>

”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由log2a>log2b，得a>b>0，

而

>

⇔a>b≥0，

故log2a>log2b是

>

的充分不必要条件．

4．在下列三个结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号）

①若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；

②“

”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；

③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．

答案　①②

解析　易知①②正确．对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误.

题型一　命题及其关系

例1　（2016·湖州一模）有下列四个命题：

①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题为（　　）

A．①②B．②③

C．①④D．①②③

答案　D

解析　①的逆命题：

“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：

“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：

“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．故选D.

思维升华　

（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．

（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

（1）命题“若x>0，则x2>0”的否命题是（　　）

A．若x>0，则x2≤0

B．若x2>0，则x>0

C．若x≤0，则x2≤0

D．若x2≤0，则x≤0

（2）某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是（　　）

A．不拥有的人们会幸福

B．幸福的人们不都拥有

C．拥有的人们不幸福

D．不拥有的人们不幸福

答案　

（1）C　

（2）D

题型二　充分必要条件的判定

例2　

（1）（2016·北京）设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

（2）已知条件p：

x>1或x<－3，条件q：

5x－6>x2，则綈p是綈q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　

（1）D　

（2）A

解析　

（1）若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．

（2）由5x－6>x2，得2

即q：

2

所以q⇒p，p

q，所以綈p⇒綈q，綈q

綈p，

所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.

思维升华　充分条件、必要条件的三种判定方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

（1）（2016·四川）设p：

实数x，y满足x>1且y>1，q：

实数x，y满足x＋y>2，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（2）已知p：

x＋y≠－2，q：

x，y不都是－1，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　

（1）A　

（2）A

解析　

（1）当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，

当x＋y>2时，可以x＝－1，y＝4，即q

p，

故p是q的充分不必要条件．

（2）（等价法）因为p：

x＋y≠－2，q：

x≠－1或y≠－1，

所以綈p：

x＋y＝－2，綈q：

x＝－1且y＝－1，

因为綈q⇒綈p但綈p

綈q，

所以綈q是綈p的充分不必要条件，

即p是q的充分不必要条件，故选A.

题型三　充分必要条件的应用

例3　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

引申探究

1．若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴

方程组无解，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

2．本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P⇒S且S

P.

∴[－2,10][1－m,1＋m]．

∴

或

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．

思维升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

（1）已知命题p：

a≤x≤a＋1，命题q：

x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________________．

（2）已知条件p：

2x2－3x＋1≤0，条件q：

x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案　

（1）（0,3）　

（2）[0，

]

解析　

（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

∴

解得0

（2）命题p为{x|

≤x≤1}，

命题q为{x|a≤x≤a＋1}．

綈p对应的集合A＝{x|x>1或x<

}，

綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴

或

∴0≤a≤

.

1．等价转化思想在充要条件中的应用

典例　

（1）（2016·绍兴柯桥区二模）已知x，y∈R，则“（x－1）2＋（y－2）2＝0”是“（x－1）（y－2）＝0”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

（2）已知条件p：

x2＋2x－3>0；条件q：

x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（－∞，1]

C．[－1，＋∞）D．（－∞，－3]

思想方法指导　等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到．本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化．

解析　

（1）∵{（x，y）|（x－1）2＋（y－2）2＝0}

＝{（x，y）|x＝1且y＝2}，

{（x，y）|（x－1）（y－2）＝0}＝{（x，y）|x＝1或y＝2}．

∴{（x，y）|（x－1）2＋（y－2）2＝0}{（x，y）|（x－1）（y－2）＝0}，

故“（x－1）2＋（y－2）2＝0”是“（x－1）（y－2）＝0”的充分不必要条件．

（2）由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．

∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.

答案　

（1）A

（2）A

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

答案　B

解析　依题意，得原命题的逆命题：

若一个数的平方是正数，则它是负数．

2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（　　）

A．如果x

B．如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2

C．如果x<2ab，那么x

D．如果x≥a2＋b2，那么x＜2ab

答案　C

解析　命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“≥”的否定是“<”．故答案C正确．

3．（2016·浙江重点中学模拟）已知命题p：

“正数a的平方不等于0”，命题q：

“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的（　　）

A．逆命题B．否命题

C．逆否命题D．否定

答案　B

解析　命题p：

“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．

4．（2017·宁波十校联考）设a∈R，则“a<1”是“

>1”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由1－

＝

<0，得0

所以“a<1”是“0

5．（2016·山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；

若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.

6．已知集合A＝{x∈R|

<2x<8}，B＝{x∈R|－1

A．{m|m≥2}B．{m|m≤2}

C．{m|m>2}D．{m|－2

答案　C

解析　A＝{x∈R|

<2x<8}＝{x|－1

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，∴m＋1>3，

即m>2，故选C.

7．设x>0，则“a＝1”是“x＋

≥2恒成立”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为x＋

≥2，x>0恒成立⇔a≥（2x－x2）max＝1，x>0，

所以“a＝1”是“x＋

≥2恒成立”的充分不必要条件，故选A.

8．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，由Venn图（如图）可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.

故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．

9．函数f（x）＝

有且只有一个零点的充分不必要条件是（　　）

A．a<0B．0

C.

1

答案　A

解析　因为函数f（x）过点（1,0），所以函数f（x）有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a（x≤0）没有零点⇔函数y＝2x（x≤0）与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.

观察选项，根据集合间关系得{a|a<0}{a|a≤0或a>1}，故选A.

*10.（2016·杭州二模）设函数f（x）＝asin（x＋α）＋bsin（x＋β）＋csin（x＋γ），则“p：

f（

）＝0”是“q：

f（x）为偶函数”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　f（x）可化为f（x）＝Asin（x＋φ）的形式，

由f（

）＝0可得sin（

＋φ）＝0，即cosφ＝0.

易知cosφ＝0⇔f（x）为偶函数，

所以p是q成立的充要条件．

11．有三个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；

③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．

其中真命题的序号为____________．

答案　①

解析　命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．

12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充要

解析　若当x∈[0,1]时，f（x）是增函数，

又∵y＝f（x）是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，f（x）是减函数．

当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，

∵T＝2，∴f（x）＝f（x－4）．

故x∈[3,4]时，f（x）是减函数，充分性成立．

反之，若x∈[3,4]时，f（x）是减函数，

此时x－4∈[－1,0]，

∵T＝2，∴f（x）＝f（x－4），

则当x∈[－1,0]时，f（x）是减函数．

∵y＝f（x）是偶函数，

∴当x∈[0,1]时，f（x）是增函数，必要性也成立．

故“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的充要条件．

13．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．

答案　[0,2]

解析　由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，

∴

或

∴0≤m≤2.

14．若“数列an＝n2－2λn（n∈N*）是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________．

答案　[

，＋∞）

解析　若数列an＝n2－2λn（n∈N*）为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<

.

故所求λ的取值范围是[

，＋∞）．

*15.下列四个结论中：

①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；

②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；

③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；

④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．

正确的是________．（填序号）

答案　①④

解析　由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；

由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；

由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，

反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，

所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．

*16.已知集合A＝{y|y＝x2－

x＋1，x∈[

，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

解　y＝x2－

x＋1

＝（x－

）2＋

，

∵x∈[

，2]，∴

≤y≤2.

∴A＝{y|

≤y≤2}．

由x＋m2≥1，得x≥1－m2，

∴B＝{x|x≥1－m2}．

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

∴A⊆B，∴1－m2≤

，

解得m≥

或m≤－

，

故实数m的取值范围是（－∞，－

]∪[

，＋∞）．