在原地顺时针旋转A后，再向正前方沿直线行走α个单位长度．若机器人的位置在原点，正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后位置的坐标为（C）
A.（－1，） B.（－1，－）
C.（－，－1） D.（－，1）
（第10题图解）
解：
根据题意画出图形如解图所示，机器人由原点位置按指令到达点M的位置，作MN⊥y轴于点N，由题意可知∠MON＝60°，OM＝2，所以ON＝OM·cos60°＝1，MN＝OM·sin60°＝，由于点M在第三象限，所以该点的坐标为（－，－1）．
故选C.
11．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（－y＋1，x＋1）叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An.若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为（－3，1），点A2019的坐标为__（0，4）__；若点A1的坐标为（a，b），对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为－1＜a＜1且0＜b＜2_．
解：
∵点A1的坐标为（3，1），
∴点A2（0，4），A3（－3，1），A4（0，－2），A5（3，1），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环．
∵2019÷4＝503……2，
∴点A2019的坐标与点A2的坐标相同，为（0，4）．
∵点A1的坐标为（a，b），
∴点A2（－b＋1，a＋1），A3（－a，－b＋2），A4（b－1，－a＋1），A5（a，b），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环．
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
∴
解得－1＜a＜1，0＜b＜2.
故答案依次填：
（－3，1）；（0，4）；－1＜a＜1且0＜b＜2.
12．提出问题：
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：
AE＝DH.
类比探究：
（2）如图②，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．
综合运用：
（3）在
（2）问条件下，HF∥GE，如图③所示，已知BE＝EC＝2，EO＝2FO，求图中阴影部分的面积．
（第12题图）
解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH，
∴∠HAO＋∠OAD＝90°.
∵AE⊥DH，
∴∠ADO＋∠OAD＝90°，
∴∠HAO＝∠ADO.
∴△ABE≌△DAH（ASA）．
∴AE＝DH.
（第12题图解①）
（2）EF＝HG.
证法一：
过点F作FM⊥BC于点M，过点G作GN⊥AB于点N，如解图①，
则四边形ABMF，ANGD都是矩形，
∴FM＝GN，∠EMF＝∠HNG.
∵EF⊥GH，∠B＝90°，
∴∠OEM＋∠OHB＝180°.
又∵∠NHG＋∠OHB＝180°，
∴∠OEM＝∠NHG，
∴△EMF≌△HNG（AAS）．
∴EF＝GH.
（第12题图解②）
证法二：
如解图②，将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM＝EF.
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN＝GH
∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，
根据
（1）的结论得AM＝DN，
∴EF＝GH.
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∴∠AHO＝∠CGO.
∵FH∥EG，
∴∠FHO＝∠EGO，∴∠AHF＝∠CGE，
（第12题图解③）
∴△AHF∽△CGE，
∴＝＝＝.
∵EC＝BC＝2，∴AF＝1.
过点F作FP⊥BC于点P，如解图③，根据勾股定理，得EF＝.
∵FH∥EG，∴＝.
根据
（2）①知：
EF＝GH，∴FO＝HO
∴S△FOH＝FO2＝×＝，
S△EOG＝EO2＝×＝.
∴阴影部分面积为＋＝.
13．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数．
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
解：
（1）设顶点为（h，k）的二次函数的表达式为y＝a（x－h）2＋k.
当a＝2，h＝3，k＝4时，二次函数的表达式为y＝2（x－3）2＋4.∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．
当a＝3，h＝3，k＝4时，二次函数的表达式为y＝3（x－3）2＋4.∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．
∵函数y＝2（x－3）2＋4与y＝3（x－3）2＋4的图象的顶点相同，开口都向上，
∴函数y＝2（x－3）2＋4与y＝3（x－3）2＋4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为y＝2（x－3）2＋4与y＝3（x－3）2＋4（不唯一）．
（2）∵y1的图象经过点A（1，1），
∴2×12－4×m×1＋2m2＋1＝1.
整理，得m2－2m＋1＝0.解得m1＝m2＝1.
∴y1＝2x2－4x＋3＝2（x－1）2＋1.∴y1＋y2＝2x2－4x＋3＋ax2＋bx＋5＝（a＋2）x2＋（b－4）x＋8.
∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1＋y2＝（a＋2）（x－1）2＋1＝（a＋2）x2－2（a＋2）x＋（a＋2）＋1，其中a＋2＞0，即a＞－2.
∴解得
∴函数y2的表达式为y2＝5x2－10x＋5.
∴y2＝5x2－10x＋5＝5（x－1）2.
∴函数y2的图象的对称轴为x＝1.∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．
①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小，∴当x＝0时，y2取最大值，最大值为5（0－1）2＝5.
②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大，∴当x＝3时，y2取最大值，最大值为5（3－1）2＝20.
综上所述，当0≤x≤3时，y2的最大值为20.
14．阅读材料
例：
说明代数式＋的几何意义，并求它的最小值．
解：
＋＝＋，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．
（第14题图）
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以A′B＝3，即原式的最小值为3.
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式＋的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1），点B__（2，3）__的距离之和（填写点B的坐标）．
（2）代数式＋的最小值为多少？
解：
（1）∵原式化为＋的形式，
∴代数式＋的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1），B（2，3）的距离之和．
故答案为（2，3）．
（2）∵原式化为＋的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，
（第14题图解）
如解图所示：
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA＝PA′，
∴PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，
∴PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．
∵点A（0，7），B（6，1），
∴点A′（0，－7），A′C＝6，BC＝8，
∴A′B＝＝＝10.
故答案为10.
15．研究几何图形时，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定．
定义：
六个内角相等的六边形叫等角六边形．
（1）研究性质：
①如图①，等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么位置关系？
证明你的结论．
②如图②，等角六边形ABCDEF中，如果有AB＝DE，则其余两组正对边BC与EF，CD与AF相等吗？
证明你的结论．
③如图③，等角六边形ABCDEF中，如果三条正对角线AD，BE，CF交于一点O，那么三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么数量关系？
证明你的结论．
（2）探索判定：
三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°，才能保证该六边形一定是等角六边形？
（第15题图）
解：
（1）①结论：
三组正对边分别平行．
证明：
如解图①，延长AB，DC交于点G.
∵六边形ABCDEF是等角六边形，
∴∠D＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠CBG＝∠BCG＝∠G＝60°，∴∠D＋∠G＝180°，
∴AB∥DE.
同理可证：
BC∥EF，CD∥AF.
②相等．证明如下：
如解图②，连结AE，BD，由
（1）知，AB∥DE.
又∵AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，∠AED＝∠ABD.
∵∠FED＝∠ABC＝120°，
∴∠FED－∠AED＝∠ABC－∠ABD，即∠FEA＝∠CBD.
又∵∠F＝∠C，AE＝DB，
∴△AEF≌△DBC.∴FE＝CB，AF＝CD.
（第15题图解）
③三组正对边分别对应相等．
证明：
如解图③，∵ED∥AB，∴＝.
由EF∥CB，可得＝.
∴＝.
同理，由ED∥AB，CD∥FA，可得＝.
由BC∥EF，DC∥FA，可得＝.∴＝.
∴＝，∴c＝c.
∵c1>0，c2>0，∴c1＝c2.
同理可证a1＝a2，b1＝b2.
即AB＝DE，BC＝EF，CD＝AF.
（2）至少有三个内角为120°.
16．阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：
如图①，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图②）．
（1）∠ACE的度数为__75°__，AC的长为__3__．
（2）参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图③，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝2，BE＝2ED，求BC的长．
（第16题图）
解：
（1）∠ACE＝75°，AC的长为3.
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如解图．
∵∠BAC＝90°＝∠DFA，
∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，∴＝＝＝2，
∴EF＝1，AB＝2DF.
（第16题图解）
在△ACD中，∵∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，
∴∠ACD＝75°，AC＝AD.
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
在Rt△AFD中，∵AF＝2＋1＝3，∠FAD＝30°，
∴DF＝AF·tan30°＝，AD＝2DF＝2.
∴AC＝AD＝2，AB＝2DF＝2.
∴BC＝＝2.
（第17题图）
17．合作学习
如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD＝3，另两边与反比例函数y＝（k≠0）的图象分别交于点E，F，且DE＝2，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G.回答下列问题：
①该反比例函数的表达式是什么？
②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？
（1）阅读“合作学习”的内容，请解答其中的问题．
（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：
“当AE>EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？
能否相似？
”
针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等（直接写出结论即可）？
这两个矩形能否相似？
若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．
解：
（1）①∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，OD＝3，DE＝2，
∴点E的坐标为（2，3），
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）．
②设正方形AEGF的边长为a，
∴点B的坐标为（2＋a，0），点A的坐标为（2＋a，3），
∴点F的坐标为（2＋a，3－a），
把点F（2＋a，3－a）的坐标代入y＝，得（2＋a）（3－a）＝6，解得a1＝1，a2＝0（舍去），
∴点F的坐标为（3，2）．
（2）当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．理由如下：
假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE＝OD＝3，AF＝DE＝2，
∴点A的坐标为（5，3），
∴点F的坐标为（3，3），
而3×3＝9≠6，
∴点F不在反比例函数y＝的图象上，
∴矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．
当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能相似．
∵矩形AEGF与矩形DOHE能相似，
∴AE∶OD＝AF∶DE，
∴＝＝.
设AE＝3t，则AF＝2t，
∴点A的坐标为（2＋3t，3），
∴点F的坐标为（2＋3t，3－2t），
把点F（2＋3t，3－2t）的坐标代入y＝，得（2＋3t）（3－2t）＝6，解得t1＝0（舍去），t2＝，
∴AE＝3t＝，∴相似比＝＝.
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