《一元二次方程》总复习练习中考真题题型解析.docx
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《一元二次方程》总复习练习中考真题题型解析
希望教育2019年中考数学一轮复习讲义
一元二次方程及其应用
考点1：
一元二次方程的概念
一元二次方程：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：
ax2＋bx+c=0（a≠0）。
注意：
判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：
一元二次方程的解法
1.直接开平方法：
对形如（x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a=±b∴x1=-a+b
x2=-a-b
2.配方法：
用配方法解一元二次方程：
ax2＋bx+c=0（k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为（x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
3.公式法：
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一
元二次方程的求根公式是x=-b±
b2-4ac（b2－4ac≥0）。
步骤：
①把方程转化为一般形
2a
式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：
用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：
若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：
①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：
提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：
⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：
①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；
②若b2－4ac＜0，则方程无解．
⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如
－2（x＋4）2=3（x＋4）中，不能随便约去x＋4。
⑷注意：
解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：
开平方法→因式分解法→公式法．
6．一元二次方程解的情况
⑴b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根；
⑵b2－4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；
⑶b2－4ac<0⇔方程没有实数根。
解题小诀窍：
当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b2－4ac解题。
主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。
考点3：
根与系数的关系:
韦达定理
对于方程ax2＋bx+c=0（a≠0）来说，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如x2+x2=（x
+x）2-2xx
121212
解题小诀窍：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用
韦达定理。
二、经典考题剖析：
【考题1－1】下列方程是关于x的一元二次方程的是（）
1
A．ax²＋bx+c=0B.k²x＋5k+6=0C.3x²＋2x+
x
=0D.（k²＋3）x²＋2x+1=0
【考题1－2】解方程：
x²＋2x－3=0
【考题1－3】已知方程5x2+kx－10=0一个根是－5，求它的另一个根及k的值．三、针对性训练：
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
A.3（x+1）2=2（x+1）
B.1+1-2=0
x2y
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2-1
2、若2x²+3与2x-4互为相反数，则x的值为
3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）
A.x2-2x-99=0化为（x-1）2=100B.x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
C.2t2-7t-4=0化为（t-7）2=81
416
D.3y2-4y-2=0化为（y-2）2=10
39
4、关于x的一元二次方程（m+1）x2+x+m2-2m-3=0
的一个根为x=0，则m的值为（）
A．m=3或m=－1B．m=－3或m=1C．m=－1D．m=－3
5、（2009济南）若x1，x2是方程x²－5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）A.1B.5C.－5D.6
6、（2009眉山）若x1，x2是方程x²－3x－1=0的两个根，则
1+1的值为（）
1
A.3B.－3C.
3
1
D.－
3
x1x2
12
7、（2009潍坊）若x1，x2是方程x²－6x+k－1=0的两个根，且x2+x2=24，则k值为
（）
A.8B.－7C.6D.5
8、（2009成都）若方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k＞－1B.k＞－1且k≠0C.k＜1D.k＜1且k≠0
9、已知一元二次方程x2+2x－8=0的一根是2，则另一个根是.
10、若关于x的方程－x2+（2k+1）x+2－k2=0有实数根，则k的取值范围是
11、解方程：
（1）
2（2x-3）2=32;
（2）3y（y-1）=2（y-1）
（3）3（4x²－9）－（2x－3）=0;（4）x²－6x+8=0
12、（2009鄂州）关于x的方程kx2+（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，
4
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0？
若存在求出k的值；不存在说明理由。
考点：
一元二次方程的应用
一、考点讲解：
1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：
⑴与几何图形有关的应用：
如几何图形面积模型、勾股定理等；
⑵有关增长率的应用：
此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a（1±x）2=b，其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降
低率），b表示后来的数据。
注意：
所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。
⑶经济利润问题：
总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成本。
⑷动点问题：
此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。
2．注重解法的选择与验根：
在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．
二、经典考题剖析：
【考题1】（2009、深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，
三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．
解：
设与墙相接的两边长都为x米，则另一边长为（33-2x）米，
依题意得x（33-2x）=130，
2x2-33x+130=0∴x=10
x=13
122
又∵当x1=10时，（33-2x）=13
13
当x2=
时，（33-2x）=20＞15
2
13
∴x=不合题意，舍去．∴x=10
2
答：
花圃的长为13米，宽为10米．
【考题2】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）
A.9﹪B.10﹪C.11﹪D.12﹪
解：
设年增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，
解得x1=0.1，x2=－2.1．因为增长率不为负，所以x=0.1。
故选D。
【考题3】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日
销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
解：
设每千克水果应涨价x元，依题意，得（500－20x）（10+x）=6000．
整理，得x2－15x＋50=0．解这个方程，x1=5，x2=10．要使顾客得到实惠，应取x=5．答：
每千克应涨价5元．．
点拨：
①此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；②应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况．
【考题4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点P从A点开始沿AB边向点B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于4？
（2）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5？
解：
（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于4，则由题意得AP=x，BP=5－x，BQ=2x,
11
由BP·BQ=4，得
22
（5－x）·2x=4，解得，x1=1，x2=4．
当x=4时，BQ=2x=8＞7=BC，不符合题意。
故x=1
2
（2）由BP
2
+BQ
22
=5得（5－x）
2
+（2x）
2
=5,
解得x1=0（不合题意），x2=2．
所以2秒后，PQ的长度等于5。
三、针对性训练：
1．小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0．5元，结果小明的妈妈只比上次多花2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？
2．合肥百货大搂服装柜在销售中发现：
“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利
40元。
为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加
盈利，尽快减少库存。
经市场调查发现：
如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多
售出8件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
3．在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？
20m
32m
1.钟老师出示了小黑板上的题目（如图1－2－2）后，小敏回答：
“方程有一根为1”，小聪
回答：
“方程有一根为2”．则你认为（）A．只有小敏回答正确B．只有小聪回答正确C．两人回答都正确D．两人回答都不正确
2.解一元二次方程x2－x－12=0，结果正确的是（）
A．x1=－4，x2=3B．x1=4，x2=－3C．x1=－4，x2=－3D．x1=4，
x2=3
3.方程x（x+3）=（x+3）解是（）
A．x1=1B．x1=0，x2=－3C．x1=1，x2=3D．x1=1，x2=
－3
4.若t是一元二次方程ax2＋bx+c=0（a≠0）的根，则判别式Δ=b2－4ac和完全平方式M=（2at+b）2的关系是（）
A．Δ=MB．Δ＞MC．Δ＜MD．大小关系不能确定
5.方程
x2（x-1）=0
的根是（）
A．0B．1C．0，－1D．0，1
1
2
6.已知一元二次方程x2－2x－7=0的两个根为x，x
，则x1+x2
的值为（）
A．－2B．2C．－7D．7
2
7.已知x1、x2是方程x
1
－3x＋1＝0的两个实数根，则
x1
+1的值是（）
x2
1
A、3B、－3C、
3
D、1
8.用换元法解方程（x2＋x）2＋（x2＋x）＝6时，如果设x2＋x＝y，那么原方程可变形为（）
A、y2＋y－6＝0B、y2－y－6＝0C、y2－y＋6＝0D、y2＋y＋6＝09.方程x2－5x=0的根是（）
A．0B．0，5C．5，5D．510.若关于x的方程x2＋2x＋k=0有实数根，则（）
A．k＜1，B．k≤1C．k≤－1D．k≥－1
1
2
11.如果一元二次方程x2－4x＋2＝0的两个根是x，x
，那么x1＋x2
等于（）
A.4B.－4C.2D.－2
12.用换元法解方程（x2－x）－
x2-x＝6时，设
x2-x＝y，那么原方程可化为（）
A.y2＋y－6＝0B.
y2＋y＋6＝0C.
y2－y－6＝0D.
y2－y＋6＝0
2
13.设x1，x2是方程2x
+3x-2=0的两个根，则x1＋x2的值是（）
22
A．-3B．3C．－D．
33
14.方程x3-x=0的解是（）
A．0，1B．1，-1C．0，-1D．0，1，－1
16.两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是
17.方程x2－x=0的解是
18.等腰△ABC中，BC=8，AB、BC的长是方程x2－10x+m=0的两根，则m的值是.
19.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0的两个根同号，则a的取值范围是
_.
20.解方程
2x2-9x+5=x-3
21.解方程：
x3－2x2－3x＝0.
⎧y=x+1
22.解方程组：
⎨
⎩x2+y2=5
23.解方程：
2（x－1）2+5（x－l）+2=0．
24.解方程：
x2－2x－2=0
25.解方程：
x2+5x+3=0
26.已知关于x的一元二次方程x2-（k+1）x-6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．
27.已知关于x的一元二次方程（k+4）x2+3x+k2+3k-4=0的一个根为0，求k的值．
中考预测题
一、基础经典题（44分）
（一）选择题（每题4分，共28分）
【备考1】如果在－1是方程x2+mx－1=0的一个根，那么m的值为（）A．－2B．－3C．1D．2
【备考2】方程2x（x-3）=5（x-3）的解是（）
A．x=3
B.x=
5C.x=3,x=5
2122
x2+mx+n=0
D.x=-3
【备考3】若n是方程
的根，n≠0，则m+n等于（）
A．－7B．6C．1D．－1
【备考4】关于x的方程
x2+mx+n=0
的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）
A．m＝0，n＝0B．m＝0，n≠0C．m≠0，n=0D．m≠0，n≠0
【备考5】以5－26和5+26为根的一元二次方程是（）
1
2
A．x2-10x+1=0
B．x2+10x+1=0
C．x2-10x-1=0
D．x2+10x-1=0
2
【备考6】已知x1，x2是方程x
－x－3=0的两根，那么x2
+x2值是（）
49
A．1B．5C．7D、
4
【备考7】方程1x2-（m-3）x+m2=0
4
有两个不相等的实根，那么m的最大整数是（）
A．2B．－1C．0D．l
（二）填空题（每题4分，共16分）
1
2
【备考8】已知方程x2＋3x+1=0的两个根为x，x
那么（1+x1
）（1+x2
）的值等于
.
【备考9】已知方程x2+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P的值是.
【备考10】如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a且a是方程x2+2x－3=0的根，则□ABCD的周长是
【备考11】关于x的方程（k+1）x2+3（k-2）x+k2-42=0的一次项系数是－3，则k=
【备考12】关于x的方程（a+1）x
a2-2a-1
+x-5=0是一元二次方程，则a=.
三、实际应用题（9分）
本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）²=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量
【备考13】2003年2月27日《广州日报》报道：
2002年底广州自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市面积的百分比）为4．65％，尚未达到国家A级标准，因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2005年底自然保护区覆盖率达到8％以上，若要达到最低目标8％，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？
（结果保留三位有效数字）．
14.据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅
游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答
下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
15.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采
取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
一元二次方程应用题典型题型归纳
（一）传播与握手问题
1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。
5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？
6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？
7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
（2）平均增长率问题
1、
2、平均增长率公式：
其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，n是增长（或降低）的次数。
变化前数量×（1
x）n＝变化后数量
1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？
5.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
6．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
7.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程（）
A.
720B.
C.
D.
8．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
9、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
（三）商品销售问题
售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额
1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价X（元）满足关系：
P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？
每天要售出这种商品多少件？
2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
（1）当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？
（2）若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？
3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发
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