上海教材高中数学知识点总结最全.docx
《上海教材高中数学知识点总结最全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海教材高中数学知识点总结最全.docx（39页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
上海教材高中数学知识点总结最全
一、集合与常用逻辑
补集：
CA{xxUxA}
U且
二、不等式
三、函数概念与性质
3．集合关系空集A
四、基本初等函数
子集AB:
任意xAxB
五、函数图像与方程
六、三角函数
ABAABABBAB
七、数列注：
数形结合---文氏图、数轴
八、平面向量
4．四种命题
九、复数与推理证明
原命题：
若p则q逆命题：
若q则p
十、直线与圆
否命题：
若p则q逆否命题：
若q则p
十一、曲线方程
原命题逆否命题否命题逆命题
十二、矩阵、行列式、算法初步
5．充分必要条件
十三、立体几何
p是q的充分条件：
Pq
十四、计数原理
p是q的必要条件：
Pq
十五、概率与统计
p是q的充要条件：
p?
q
6．复合命题的真值
①q真（假）?
“q”假（真）
一、集合与常用逻辑
②p、q同真?
“p∧q”真
1．集合概念元素：
互异性、无序性
③p、q都假?
“p∨q”假
2．集合运算全集U：
如U=R
7.全称命题、存在性命题的否定
交集：
AB{xxA且xB}
M,p（x）否定为:
M,p（X）
M,p（x）否定为:
M,p（X）并集：
AB{xxA或xB}
二、不等式
三、函数概念与性质1．一元二次不等式解法
2bxc
若a0，ax0有两实根,（），则
1．奇偶性
2bxc
ax解集（,）
0
f（x）偶函数f（x）f（x）f（x）图象关于y轴对称
2bxc
ax0解集（,）（,）
f（x）奇函数f（x）f（x）f（x）图象关于原点对称
注：
若a0，转化为a0情况
注：
①f（x）有奇偶性定义域关于原点对称
②f（x）奇函数,在x=0有定义f（0）=0
2．其它不等式解法—转化
xaaxa
2a2
x
③“奇+奇=奇”（公共定义域内）
2．单调性
xaxa或xa
2a2
x
f（x）增函数：
x1＜x2f（x1）＜f（x2）
或x1＞x2f（x1）＞f（x2）
f
（x）
x）
g（
0
f（x）g（x）0
f（x）f（x）
12
或0
xx
12
f（x）agx
（）
af（x）g（x）（a1）
f（x）减函数：
？
logaf（x）logag（x）
f（x）0
f（x）g（x）
（0a1）
注：
①判断单调性必须考虑定义域
②f（x）单调性判断
3．基本不等式
定义法、图象法、性质法“增+增=增”
①a2b22ab
③奇函数在对称区间上单调性相同
ab
②若a,bR，则ab
2
注：
用均值不等式ab2ab、
ab
ab（）
2
2
偶函数在对称区间上单调性相反
3．周期性
T是f（x）周期f（xT）f（x）恒成立（常数T0）
求最值条件是“一正二定三相等”
4．二次函数
解析式：
f（x）=ax
2+bx+c，f（x）=a（x-h）2+k
f（x）=a（x-x1）（x-x2）
对称轴：
x
b
2a
2
b4acb
顶点：
（,）
2a4a
n
logablogb
n
a
1
log
b
a
b
单调性：
a>0，]
（,
2a
b
递减，[,）
2a
递增
logN
注：
性质loga10logaa1aaN
常用对数lgNlog10N，lg2lg51
当
x
b
2a
，f（x）min
4
ac
4
a
b
2
自然对数NN
lnlog，lne1
e
3．指数与对数函数y=ax与y=log
x与y=log
ax
奇偶性：
f（x）=ax
2+bx+c是偶函数b=0
闭区间上最值：
配方法、图象法、讨论法---
注意对称轴与区间的位置关系
注：
一次函数f（x）=ax+b奇函数b=0
定义域、值域、过定点、单调性？
x
注：
y=a与y=logax图象关于y=x对称（互为反函数）
1
四、基本初等函数
4．幂函数
y
x2,yx3,yx,yx
2,yx3,yx,yx
2
1
0a
1．指数式a1（0）
a
n
n
1mmn
aa
n
a
yx在第一象限图象如下：
b
2．对数式logNbaN
a
（a>0,a≠1）
1010
logaMNlogaMlogaN
log
M
alogMlog
N
a
a
N
n
logaMnloga
M
log
m
m
logb
alog
b
a
lg
lg
b
a
y
y
五、函数图像与方程
y=f（x）
y=f（|x|）
1．描点法
函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）
aobcao
x
bc
x
取特殊点如零点、最值点等3．零点定理
若f（a）f（b）0，则yf（x）在（a,b）内有零点2．图象变换
平移：
“左加右减，上正下负”
（条件：
f（x）在[a,b]上图象连续不间断）
yf（x）yf（xh）
注：
①f（x）零点：
f（x）0的实根
1
每一点的横坐标变为原来的倍
伸缩：
）
yf（x）yf（x
②在[a,b]上连续的单调函数f（x），f（a）f（b）0
则f（x）在（a,b）上有且仅有一个零点
③二分法判断函数零点---f（a）f（b）0？
对称：
“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
x
轴
yf（x）yf（x）六、三角函数
y轴
yf（x）yf（x）
原点
yf（x）yf（x）
1．概念第二象限角,2）
（2kk（kZ）
2
注：
yf（x）
直线
xa
yf（2ax）
1
2．弧长lr扇形面积Slr
2
翻折：
yf（x）y|f（x）|保留x轴上方部分，
并将下方部分沿x轴翻折到上方
3．定义
sin
y
r
cos
x
r
tan
y
x
其中P（x,y）是终边上一点，POr
y
y
y=f（x）
y=|f（x）|
4．符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”
5．诱导公式：
“奇变偶不变，符号看象限”
aocao
x
bbc
x
如Sin
（2）sin，cos（/2）sin
yf（x）yf（|x|）保留y轴右边部分，
6．特殊角的三角函数值
并将右边部分沿y轴翻折到左边
0
3
64322
a
2b2
asinbcosasin（）（tan）
b
sin0
1
2
2
2
3101
2
8．三角函数的图象性质
y=sinxy=cosxy=tanx
cos1
3
2
2
2
1
2
0
1
0
tg0
3
3
13/0/
图
象
7．基本公式
sin
2tan
2
同角sincos1
cos
和差sinsincoscossin
coscoscossinsin
单调性：
）
（,增（0,）减（,）增
2222
tan
tan
1tan
tan
tan
sinxcosxtanx
值域[-1，1][-1，1]无
倍角sin22sincos
cos2
2sin22cos112sin
22
cos
奇偶奇函数偶函数奇函数
tan2
1
2
tan
2
tan
周期2π2ππ
对称轴xk/2xk无
降幂cos
2
α=
1
cos
2
2
sin
2
1
α=
cos
2
2
中心k,0/2k,0k/2,0
叠加）
sincos2sin（
4
注：
kZ
3sincos2sin（）
6
2、等比数列
9．解三角形
基本关系：
sin（A+B）=sinCcos（A+B）=-cosC
a
定义：
1q（q0）
n
a
n
AB
C
tan（A+B）=-tanC
sin
cos
2
2
a
b
sin
c
sin
正弦定理：
=
=
sinA
B
C
a2RsinAa:
b:
csinA:
sinB:
sinC
余弦定理：
a2=b2+c2－2bccosA（求边）
2
2
c
2
b
a
cosA=
（求角）
2bc
n
1
通项：
aaq
n
1
na
（q
）
1）
（q
1
n
求和：
S
a
（1
q
q
n
1
1）
1
2（a,b,c成等比）
中项：
bac
性质：
若mnpq则
aaaa
m
npq
3、数列通项与前n项和的关系
面积公式：
S
△＝
1
2
absinC
a
n
s
1
s
n
a（n
1
s
n
1
（n
1）
2）
注：
ABC中，A+B+C=？
ABsinAsinB
4、数列求和常用方法
2＞b2+c2?
∠A＞
a
2
公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法
七、数列八、平面向量
1．向量加减三角形法则，平行四边形法则
1、等差数列
定义：
an1and
通项：
ana1（n1）d
ABAC首尾相接，OBOC=CB共始点
BC
n（a1an）1
求和：
中项：
Snan（n1）d
n1
22
ac
b（a,b,c成等差）
2
性质：
若mnpq，则
amaaa
npq
中点公式：
ABAC2ADD是BC中点
abcos
2．向量数量积ab=
=x1x2y1y2
注：
①a,b夹角：
00≤θ≤180
0≤θ≤180
0
②a,b同向：
abab
模：
za
2b
2
zzz
2
3．基本定理
a1ee（e1,e2不共线--基底）
122
复平面：
复数z对应的点（a,b）
平行：
a//bab
x1yxy（b0）
221
2．复数运算
加减：
（a+bi）±（c+di）=？
垂直：
abab0x1x2y1y20
模：
a＝
2
2y
2
xab（ab）
2
乘法：
（a+bi）（c+di）=？
除法：
a
c
bi
di
=
（a
（c
bi
）（c
c
i）（
di
di
2
乘方：
1
i，
n
ii
4ki
r
）
）
==,
r
夹角：
cos
ab
|a||b
|
3．合情推理
类比：
特殊推出特殊
归纳：
特殊推出一般
注：
①0∥a②abcabc（结合律）不成立
演绎：
一般导出特殊（大前题→小前题→结论）
4．直接与间接证明
综合法：
由因导果
③abacbc（消去律）不成立
比较法：
作差—变形—判断—结论
反证法：
反设—推理—矛盾—结论
分析法：
执果索因
九、复数与推理证明
分析法书写格式：
要证A为真，只要证B为真，即证,,，
这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真1．复数概念
注：
常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程
复数：
zabi（a,bR），实部a、虚部b
5．数学归纳法：
分类：
实数（b0），虚数（b0），复数集C
（1）验证当n=1时命题成立,
注：
z是纯虚数a0，b0
（2）假设当n=k（kN*，k1）时命题成立,
相等：
实、虚部分别相等
证明当n=k+1时命题也成立
共轭：
zabi
由
（1）
（2）知这命题对所有正整数n都成立
注：
用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用
1、倾斜角范围0,
十、直线与圆
2yDxEyF
2
圆一般方程：
0
x（条件是？
）
DE
圆心,
22
半径
r
224
DEF
2
斜率
ktan
yy
21
xx
21
6、直线与圆位置关系
注：
直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角
位置关系相切相交相离
倾斜角为90时，斜率不存在
2、直线方程
几何特征dr
drdr
点斜式yy0k（xx0），斜截式ykxb
代数特征△0△0△0
两点式
AxByC0
一般式
y
y
2
y
1
y
1
x
x
2
x
1
x
1
xy
，截距式1
ab
注：
点与圆位置关系
222
（xaybr点
0）（）
0
Px0,y0在圆外
注意适用范围：
①不含直线
xx
0
7、直线截圆所得弦长
②不含垂直x轴的直线
③不含垂直坐标轴和过原点的直线
22
AB2rd
3、位置关系（注意条件）
平行
kk且b1b2
12
垂直
4、距离公式
k1k21垂直A1A2B1B20
十一、圆锥曲线
两点间距离：
|AB|=
2
（x1x）（yy）
212
2
一、定义
椭圆：
|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）
点到直线距离：
d
AxByC
00
22
AB
双曲线：
|PF1|-|PF2|=±2a（0<2a<|F1F2|）
抛物线：
与定点和定直线距离相等的点轨迹
5、圆标准方程：
2（）
22
（xa）ybr圆心（a,b），半径r
二、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）
22
xy
椭圆1
（a>b>0）
22
ab
十二、矩阵、行列式、算法初步
22
xy
双曲线1
（a>0,b>0）
22
ab
十、算法初步
中心原点对称轴？
焦点F1（c,0）、F2（-c,0）
一．程序框图
顶点:
椭圆（±a,0）,（0,±b），双曲线（±a,0）
程序框名称功能
范围:
椭圆-axa,-byb
起止框起始和结束
双曲线|x|a，yR
输入和输出的信息
焦距：
椭圆2c（c=
2b
2
a）
输入、输出框
赋值、计算
双曲线2c（c=
2b
2
a）
处理框
判断某一条件是否成立2a、2b:
椭圆长轴、短轴长，
判断框
双曲线实轴、虚轴长
离心率：
e=c/a椭圆01
循环框重复操作以及运算
22
xyb
注：
双曲线1渐近线x
y22
aba
2ny
2
方程mx1表示椭圆m0,n0.mn
2ny
2
方程mx1表示双曲线mn0
二．基本算法语句及格式
抛物线y2=2px（p>0）
2=2px（p>0）
1输入语句：
INPUT“提示内容”；变量
2输出语句：
PRINT“提示内容”；表达式
顶点（原点）对称轴（x轴）
3赋值语句：
变量=表达式
开口（向右）范围x0离心率e=1
p
焦点,0）
F（准线
2
x
p
2
4条件语句
“IF—THEN—ELSE”语句“IF—THEN”语句
例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3
IF条件THENIF条件THEN
语句1语句
例2已知f（x）=2x
5－5x4－4x3+3x2－6x+7，秦九韶算法求f（5）
123＝2×48＋27v0=2ELSEENDIF
48＝1×27＋21v1=2×5－5=5
语句2
27＝1×21＋6v2=5×5－4=21
ENDIF
21＝3×6＋3v3=21×5+3=108
5循环语句
6＝2×3+0v4=108×5－6=534
当型循环语句直到型循环语句
WHILE条件DO
v5=534×5+7=2677
循环体循环体
WENDLOOPUNTIL条件
当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”
十三、立体几何三．算法案例
1、求两个数的最大公约数
1．三视图正视图、侧视图、俯视图
辗转相除法：
到达余数为0
2．直观图：
斜二测画法
'''0
XOY=45
更相减损术：
到达减数和差相等
平行X轴的线段，保平行和长度
2、多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+⋯.+a1x+a0的求值
n+an-1xn-1+⋯.+a1x+a0的求值
平行Y轴的线段，保平行，长度变原来一半
秦九韶算法：
v1=anx+an
－1v2=v1x+an
－2
3．体积与侧面积
v3=v2x+an－3vn=vn－1x+a0
注：
递推公式v0=anvk=vk
－1X+an－k（k=1,2,⋯n）
求f（x）n值，乘法、加法均最多次
V柱=S底hV
锥=
1
3
S底hV
球=
4
3
3
πR
3、进位制间的转换
S
圆锥侧=rlS圆台侧=（Rr）lS
2
4R
球表=
k进制数转换为十进制数：
4．公理与推论确定一个平面的条件：
nn1
aa1.....aa（k）akak.........aka
nn10nn110
①不共线的三点②一条直线和这直线外一点
十进制数转换成k进制数：
“除k取余法”
③两相交直线④两平行直线
若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交
公理：
平行于同一条直线的两条直线平行
P
定理：
如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
线的直线与另一个平面垂直
5．两直线位置关系相交、平行、异面
异面直线——不同在任何一个平面内
6．直线和平面位置关系
三垂线定理：
PO,AO
aPAa
A
O
a
aaAa//
PO,PAaAOa
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它7．平行的判定与性质
也和这条斜线垂直逆定理？
9．空间角、距离的计算
线面平行：
异面直线所成的角范围（0°，90°]
a∥b，b,aa∥
a∥，a,ba∥b
a
平移法：
转化到一个三角形中，用余弦定理
直线和平面所成的角范围[0°，90°]
面面平行：
b
定义法：
找直线在平面内射影，转为解三角形
AB∥，AC∥平面ABC∥
二面角范围[0°，180°]
∥，aa∥
定义法：
作出二面角的平面角，转为解三角形
点到平面的距离
8．垂直的判定与性质
体积法--用三棱锥体积公式
注：
计算过程，“一作二证三求”，都要写出
线面垂直：
pAB,pACp面ABC
10．立体几何中的向量解法
法向量求法：
设平面ABC的法向量n=（x,y）
面面垂直：
a,a
nAB,nAC
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；
nAB0,nAC0
AB
解方程组，得一个法向量n
C
线线角：
设
n1,n2是异面直线l1,l2的方向向量，
十四、计数原理
l1,l2所成的角为，则coscosn1,n2
1.计数原理加法分类，乘法分步
2．排列组合
升级会员 