现代控制理论课件 最优控制系统设计PPT格式课件下载.ppt

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性能指标J在数学上称为泛函，而在控制系统术语中称为损失函数。

通常，在实际系统中，特别是在工程项目中，损失函数的确定很不容易，需要多次反复。

性能指标的选择:

性能指标J是一个标量，在最优控制中它代替了传统的设计指标，如最大超调量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度。

适当选择性能指标，使系统设计符合物理上的标准。

/即性能指标既要能对系统作有意义的估价，又要使数学处理简单，这就是对于给定的系统很难选择一个最合适的性能指标的原因，尤其是对于复杂系统，更是这样。

性能指标已有了如下几种公式化的形式:

最短时间问题：

在最优控制中，一个最常遇到的问题是设计一个系统，使该系统能在最短时间内从某初始状态过渡到最终状态。

此最短时间问题可表示为极小值问题。

线性调节器问题：

给定一个线性系统，设计目标为保持平衡状态，而且系统能够从任何初始状态恢复到平衡状态。

式中Q为对称的正定矩阵。

或者:

式中，u为控制作用，矩阵R，Q称为权矩阵，在最优化过程中，它们的组成将对X和u施加不同的影响。

线性伺服器问题：

如果要求给定的系统状态X跟踪或者尽可能地接近目标轨迹，则问题可公式化为:

J为极小值。

除此之外，还有最小能量问题、最小燃料问题等等。

除特殊情况外，最优控制问题的解析解都是较复杂的，以至必须求其数值解。

但必须指出，当线性系统具有二次型性能指标时，其解就可以用整齐的解析形式表示。

*必须注意，控制作用u（t）不像通常在传统设计中那样被称为参考输入。

当设计完成时，最优控制u（t）将具有依靠输出量或状态变量的性质，所以一个闭环系统是自然形成的。

最优控制的实现问题:

*如果系统不可控，则系统最优控制问题是不能实现的。

*如果提出的性能指标超出给定系统所能达到的程度，则系统最优控制问题同样是不能实现的.,例6.1电枢控制的他激直流电动机动态方程为:

式中，为恒定负载转矩，J为转动惯量；

为电枢电流；

为电机的角速度；

为转矩系数。

要求电动机在时间内，从静止状态起动，转过一定的角度后停止，即有:

在时间0，内，使电枢绕组上的损耗为最小，即最优控制问题表示为：

式中为最小电枢电流；

R为绕组电阻。

将上述最优控制问题，写为典型形式：

设状态变量（转角），（角速度），令：

则状态方程为：

式中：

初始状态给定为：

终点状态给定为：

性能指标函数为最小，即：

为最小。

6.2无约束最优控制的变分方法所谓无约束，是指控制作用u（t）不受不等式的约束，可以在整个r维向量空间中任意取值.一、古典变分法无约束最优控制的提法：

已知受控系统的状态方程是:

在范围内有效，式中，X为n维状态向量，u为r维控制向量。

这是等式约束。

给定：

始点与终点的时间固定，状态自由。

要求确定控制作用u（t），使性能指标:

达到极小值。

由上述最优控制的提法知，约束方程为状态方程，所以现在的问题成为有约束条件的泛函极值问题，即在状态空间中，在曲面上找出极值曲线。

求解的一种方法是:

先解状态方程，求出再将其代入J中求解，此种方法非常繁琐。

另一种方法是:

组成新的泛函J，求考虑约束的极值问题，即拉格朗日乘子法。

它的具体步骤如下：

用一个向量拉格朗日乘子，将约束即系统的状态方程加到原来的性能指标J中去，得到新的性能指标为:

定义一个标量函数称它为哈密尔顿函数。

所以新的性能指标为:

对的最后一项进行分部积分求对控制向量及状态向量的一次变分，并利用内积可换位性质（为方便，以下用J代）,有：

得因为极小值存在的必要条件是J对的一次变分为0，所以令从而得到以下一组方程:

（6.1）以上四个方程叫作控制作用不受约束的庞德亚金方程。

极小值存在的充分条件是：

沿着满足的一切轨线，J的二次变分必须非负。

取的台劳级数展开式的二次项为J的二次变分，有：

一次变分,二次变分：

如果半正定，及半正定，则为非负值，即上述两个半正定条件为J极小的充分条件。

由庞德亚金方程可知，初端与终端的各种不同情况都将影响贯截方程，即贯截条件，这一点是较难掌握的。

二、贯截条件的分析始点时间、状态固定及终点时间固定、状态自由时，相应的新泛函指标为：

因为固定，所以有，而是完全任意的，则由前面推出的贯截方程:

得到贯截条件为：

系统的始点时间与状态都固定，终点状态固定，时间不固定：

因为和都为0，即始点与终点的状态固定，没有选择的余地，所以始点与终点的状态对性能指标极小化不产生影响，于是J中便没有末值项了。

即:

由于可得贯截条件方程为（6.3）为待定常数乘子。

6.3线性调节器问题一、二次型性能指标的最优控制在现代控制理论中，基于二次型性能指标进行最优设计的问题已成为最优控制理论中的一个重要问题。

而利用变分法建立起来的无约束最优控制原理，对于寻求二次型性能指标线性系统的最优控制是适用的。

下面介绍什么是二次型性能指标的最优控制,给定一个n阶线性控制对象，其状态方程是（6.4）寻求最优控制u（t），使性能指标（6.5）达到极小值。

这是二次型指标泛函，要求S、Q（t）、R（t）是对称矩阵，并且S和Q（t）应是非负定的或正定的，R（t）应是正定的。

对性能指标的意义加以了解与讨论是非常必要的。

式（6.5）右端第一项是末值项，实际上它是对终端状态提出一个符合需要的要求，表示在给定的控制终端时刻到来时，系统的终态接近预定终态的程度.这一项对于控制大气层外导弹的拦截、飞船的会合等问题是很重要的。

式（6.5）右侧的积分项是一项综合指标。

积分中的第一项表示对于一切的对状态的要求，用它来衡量整个控制期间系统的实际状态与给定状态之间的综合误差，类似于古典控制理论中给定参考输入与被控制量之间的误差的平方积分，这一积分项愈小，说明控制的性能愈好。

积分的第二项是对控制总能量的限制，如果仅要求控制误差尽量小，则可能造成求得的控制向量u（t）过大，控制能量消耗过大，甚至在实际上难以实现。

实际上，上述两个积分项是相互制约的：

要求控制状态的误差平方积分减小，必然导致控制能量的消耗增大；

反之，为了节省控制能量，就不得不降低对控制性能的要求。

求两者之和的极小值，实质上是求取在某种最优意义下的折衷，这种折衷侧重哪一方面，取决于加权矩阵Q（t）及R（t）的选取。

如果重视控制的准确性,则应增大加权矩阵Q（t）的各元，反之则应增大加权矩阵R（t）的各元。

Q（t）中的各元体现了对X（t）中各分量的重视程度，如果Q（t）中有些元素等于零，则说明对X（t）中对应的状态分量没有任何要求，这些状态分量往往对整个系统的控制性能影响较微小，由此也能说明加权矩阵Q（t）为什么可以是正定或非负定对称矩阵。

因为对任一控制分量所消耗的能量都应限制，又因为计算中需要用到矩阵R（t）的逆矩阵，所以R（t）必须是正定对称矩阵。

常见的二次型性能指标最优控制分两类:

线性调节器线性伺服器它们已在实际中得到了广泛应用。

由于二次型性能指标最优控制的突出特点是其线性的控制规律，即其反馈控制作用可以做到与系统状态的变化成比例，即u（t）=-KX（t）（实际上，它是采用状态反馈的闭环控制系统），因此这类控制易于实现，也易于驾驭，是很引人注意的一个课题.,1.线性调节器问题如果施加于控制系统的参考输入不变，当被控对象的状态受到外界干扰或受到其他因素影响而偏离给定的平衡状态时，就要对它加以控制，使其恢复到平衡状态，这类问题称为调节器问题。

2.线性伺服器问题对被控对象施加控制，使其状态按照参考输入的变化而变化，这就是伺服器问题。

从控制性质看以上两类问题，虽然有差异，但在寻求最优控制的问题上，它们有许多一致的地方。

这两类问题，又可根据要求的性能指标不同，分为两种情况：

终端时间有限的最优控制：

因为所给控制时间是有限的，这就限制了终端状态，所以终端状态可以是自由的，也可以是受限制的，往往不可能要求完全固定。

此外，该问题中性能指标应该有末值项，因为积分项上限是有限的。

终端时间无限的最优控制：

当终端时间时，终端状态进入到给定的终端稳定状态，所以性能指标中不应有末值项，此时积分项上限为。

二、终端时间有限（）的线性调节器问题设线性系统的状态方程由下式表示（6.6）给定初始条件，寻求最优控制u（t），使性能指标达到极小值。

根据上一节所述的变分法原理求解。

1建立庞德亚金方程首先建立哈密尔顿函数（6.7）建立控制方程（6.8）建立伴随方程（6.9）建立贯截方程（6.10）,2建立闭环控制使最优控制u（t）作为状态的函数，建立闭环控制。

由式（6.8）得（6.11）假定上面这个控制作用u（t）可以用一个闭环控制来代替，而且能满足伴随方程式（6.9）的条件，设:

（6.12）将其代入式（6.11），得:

式中（6.13）为反馈增益矩阵。

因为R（t）、B（t）均已知,所以求最优控制u（t）便归结为求解矩阵P（t）。

3.求解矩阵P（t）将式（6.13）代入式（6.6）后可得（6.14）由式（6.9）和式（6.12）可得（6.15）将式（6.14）代入式（6.15）可得:

上式中，由于，所以必须有：

式中，P为一个对称正定矩阵，共有个不同类项。

式（6.16）为里卡德（Ricatti）矩阵方程,它是一个非线性微分方程。

/,求它的解所需的个边界条件，可根据式（6.10）和式（6.12）给出的终值条件求得:

于是利用里卡德矩阵方程，可以由已知的时的P矩阵求出时的值。

从式（6.16）中解出满足终端条件的P（t）后，代入式（6.13）就能将最优控制u（t）通过X（t）的线性反馈关系表示出来。

如图6.1所示。

由以上分析可见，构成线性最优调节器的必要条件为：

系统的状态必须是完全能量测的。

反馈矩阵K确实能够求得，并能够实际实现。

在通常情况下，短阵P由里卡德矩阵方程解出。

由于里卡德矩阵方程是一个非线性微分方程，虽然有一些求解的方法，但是解法很繁，只是在方程形式很简单的情况下，才能求得解析形式的解。

如果矩阵S太大，不易计算，有时可利用里卡德逆矩阵微分方程求解，求解方法如下：

令微分得:

由上式可得里卡德逆矩阵方程为:

且:

为求得线性最优调节器得以实现的充分条件，必须使性能指标J的二次变分大于零,即:

显然，要使，Q、R、S等必须至少为半正定矩阵，同时由式（6.11）可见，R必须是可逆的。

因此充分条件可归纳为：

R是正定的，Q和S至少是半正定的。

4线性调节器的稳定性既然线性调节器构成了一个闭环回路，那么它的稳定性如何也必然是人们所关心的问题。

巳知系统的状态方程为,按二次型性能指标达到最小，得到的控制规律为则有,由式里卡德（Ricatti）矩阵方程（6.16）可得令，于是可得（6.17）已知R是正定矩阵,Q是半正定矩阵因此式（6.17）右端必永远为负。

可用由里卡德方程求得的矩阵P所构成的函数作为线性调节器的李亚普诺夫函数。

由李亚普诺夫第二法知，P是一个正定矩阵，永远为负，可见由线性调节器构成的闭环系统是一个渐近稳定的系统。

例6.2设系统方程为其性能指标为于是可得里卡德矩阵微分方程为,其终值条件为解上述方程可得或:

调整和可使。

例如，假定S=0,即P

（1）=0，则得这时S=10，,即P（10）=10,求得由可得这时的放大系数K=10。

上述线性调节器是参数可调的，当满足上述要求时，就可以实现最优控制规律。

*例6.3设被控对象的状态方程是这是一个标量状态方程，试求最优控制u（t），使性能指标为极小值。

解根据式（4.12）得里卡德矩阵微分方程它是非线性标量微分方程。

将里卡德方程中的变量t用代换，分离变量后，对等式两侧积分，积分的下限用t及P（t），上限取终端时间及，则有,考虑到终端贯截条件所以又可写成将等式左侧被积函数的分母分解因式，再写成部分分式，则可得出,式中或写成经整理得出,将求得的P（t）代人下式，得最优控制于是系统的最优轨迹X（t）是下面标量时变微分方程的解，既或写成为对里卡德方程所解的P（t）进行分析，得,当a=-1,b=,S=0时当a=-1,b=，S=1时在图6.2中画出了当时，对应于S=0与S=1的P（t）的几何图形。

由图6.2可见：

当，即当终端时间有限时，由里卡德方程的终端条件决定。

事实上当，即终端时间无限时，趋于稳态值，因为,这一点很重要，它说明了里卡德方程的解P（t）的一个重要性质，即:

当时里卡德矩阵微分方程退化为里卡德矩阵代数方程:

（6.18）三、终端时间无限（）的线性调节器问题实际上，这类问题就是考虑使系统的终态达到给定的某一个衡状态，因此，在性能指标中应不包含末值项。

给定被控对象的状态方程为:

寻求最优控制u（t），使下述性能指标（6.19）为极小值。

和终端时间相比较，虽然仅仅是将性能指标中的积分上限由改为,但是由此带来的问题却是复杂的，问题的核心是必须使式（6.19）所示的积分型性能指标存在因为它是由在无穷大区间上的积分表示的，为此需要做如下假设：

在区间上分段连续，一致有界，并绝对可积；

在上分段连续，且为有界对称的正定矩阵；

系统的状态是完全能控的。

在以上假设条件下，终端时间无限（）的调节器问题的解存在且唯一。

此外，系统还必须是可观测的。

因为反馈系统必须是渐近稳定的，否则无穷大上限积分型性能指标不可能存在。

例6.4设被控对象的状态方程为求最优控制，使下述性能指标取为极小值。

解直接写出里卡德代数方程，设其解为则由式（6.18）可得,写成方程组从第二个方程中可解得，但从第三个方程中解得两组解相矛盾,说明方程组不相容，无解。

无解的原因是被控系统不是完全能控的，即因故导致里卡德代数方程无解。

*例6.5设控制系统如图6.3所示。

假定控制信号为，试设计最佳反馈增益矩阵K，使下列性能指标为极小值，并求最优控制u（t）。

解先由图6.3得系统的状态方程为其次检验系统的能控性,故系统状态完全能控。

最后由式（6.18）写出里卡德代数方程为经过整理得到下列方程组解得于是,根据式（6.13）可得出反馈增益矩阵K为故/,6.4受约束最优控制的极小值原理一、问题的提法和解决途径希望控制向量在下列条件约束下，使性能指标极小。

系统方程的等式约束为系统的始点时间、状态固定，终点状态固定，时间不固定。

r个容许控制不等式约束为容许空间首先不考虑不等式约束，即只考虑控制作用u不受约束的最优控制问题，故可用古典变分法解决。

在此基础上，再分析实际情况，即考虑控制作用受不等式约束的最优控制问题。

实际上，很多控制系统的控制作用u（t）都会受到各种限制，最常见的有u（t）的幅值受到某些环节输出饱和的影响、电源容量的限制等等。

这就意味着u（t）不能在整个控制向量空间取值，只能在空间中某一有界闭域中取值。

因为u（t）的选取不是任意的，所以推导不出这样，利用变分法推导出来的控制方程就不存在了。

为求得使性能指标极小而必须的最优控制，就要另寻途径。

而极小值原理对于解决受约束的最优控制问题是很有效的，它是由庞德亚金提出来的。

二、极少值原理以上是问题的陈述，现在是要找到一个容许控制使性能指标取极小值。

极小值原理指出，在上述条件下，使J达到极小值的容许控制，是存在的，其必要条件为：

定义哈密尔顿函数则有：

1.规范方程,或上式的含义是，在控制时间内，若是最佳控制，由它构成的哈密尔顿函数H，是控制作用在容许空间中。

构成所有的哈密尔顿函数H中的一个最小值。

同时，还应满足由一次变分得到的除控制方程以外的其它条件，如下：

2系统的状态方程3伴随方程,4贯截方程（为待定常数乘子）上述极小值原理与第二节变分法推出的最优控制u（t）的必要条件相比，差别只是控制方程不同，此外控制作用u（t）只能在容许空间中取值，而不能用的条件去建立控制方程。

如果规范方程为而其它条件一样，则极小值问题就变为极大值问题，而极小值问题与极大值问题的性能指标关系为J一J。

前面已叙述了极小值原理的含义，因其证明过于繁难，故这里从略。

但对于极小（大）值原理可以粗略地解释如下：

设上述哈密尔顿函数H中的变元均已选定，则在区间内只有一个变元。

由前述极值条件知，当满足的条件时，H有一个局部的最小值，如图6.4所示。

如果曲线如图6.5所示，则当满足条件时，H并不取最小值。

可见极小值原理包括的控制范围比前面所讲的极值条件广泛得多。

因此，在求H的最小值时，除满足,外，还需满足另设的充分条件，即H对u的二阶偏导必须大于零，称为勒让德条件；

在时间范围内，没有使H的二阶偏导为不定值的共轭点存在，这就是雅可比条件。