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计算机图形学答案

第一章绪论

概念：

计算机图形学、图形、图像、点阵法、参数法、

图形的几何要素、非几何要素、数字图像处理；

计算机图形学和计算机视觉的概念及三者之间的关系；

计算机图形系统的功能、计算机图形系统的总体结构。

第二章图形设备

图形输入设备：

有哪些。

图形显示设备：

CRT的结构、原理和工作方式。

彩色CRT：

结构、原理。

随机扫描和光栅扫描的图形显示器的结构和工作原理。

图形显示子系统：

分辨率、像素与帧缓存、颜色查找表等基本概念，分辨率的计算

第三章交互式技术

什么是输入模式的问题，有哪几种输入模式。

第四章图形的表示与数据结构

自学，建议至少阅读一遍

第五章基本图形生成算法

概念：

点阵字符和矢量字符；

直线和圆的扫描转换算法；

多边形的扫描转换：

有效边表算法；

区域填充：

4／8连通的边界／泛填充算法；

内外测试：

奇偶规则，非零环绕数规则；

反走样：

反走样和走样的概念，过取样和区域取样。

5.1.2中点Bresenham算法（P109）

斜率K

误差项d

理想点Q

取下一个点

d更新

<1

<0

在中点上

取上点

 d+2△x-2△y

>=0

在中点下

取下点

d-2△y

>1

<0

在中点右

取右点

 d-2△x+2△y

>=0

在中点左

取左点

d-2△x

<-1

<0

在中点左

取左点

 d-2△x+2△y

>=0

在中点右

取右点

d-2△x

>-1

<0

在中点下

取下点

 d+2△x-2△y

>=0

在中点上

取上点

d-2△y

5.1.2改进Bresenham算法（P112）

斜率K

改进误差项e

理想点Q

取下一个点

e更新

<1

<0

在中点上

取上点

 e-2△x

>=0

在中点下

取下点

e+2△y

>1

<0

在中点右

取右点

 e-2△y

>=0

在中点左

取左点

e+2△x

<-1

<0

在中点左

取左点

e-2△y

>=0

在中点右

取右点

e+2△x

>-1

<0

在中点下

取下点

 e-2△x

>=0

在中点上

取上点

e+2△y

习题解答

习题5（P144）

5.3试用中点Bresenham算法画直线段的原理推导斜率为负且大于1的直线段绘制过程

（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。

（P111）

解：

k<=-1 |△y|/|△x|>=1 y为最大位移方向

故有 

构造判别式：

推导d各种情况的方法（设理想直线与y=yi+1的交点为Q）：

所以有：

yQ-kxQ-b=0 且yM=yQ

    d=f（xM-kxM-b-（yQ-kxQ-b）=k（xQ-xM）

所以，当k<0，

d>0时，M点在Q点右侧（Q在M左），取左点 Pl（xi-1,yi+1）。

d<0时，M点在Q点左侧（Q在M右），取右点 Pr（xi,yi+1）。

d=0时，M点与Q点重合（Q在M点），约定取右点Pr（xi,yi+1） 。

所以有

递推公式的推导：

  d2=f（xi-1.5,yi+2）

当d>0时,

  d2=yi+2-k（xi-1.5）-b 增量为1+k

    =d1+1+k

当d<0时, 

  d2=yi+2-k（xi-0.5）-b 增量为1

    =d1+1

当d=0时,

5.7利用中点Bresenham画圆算法的原理，

 推导第一象限y＝0到y＝x圆弧段的扫描转换算法

（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。

（P115）

y坐标

圆心角α

误差项d

理想点Q

取下一个点

d更新

y=0

y=x

0°<=α<=45°

<0

在中点右

取右点

 d+2y+3

>=0

在中点左

取左点

d-2（y-x）+5

y=x

y=1

45°<=α<=90°

<0

在中点上

取上点

 d+2x+3

>=0

在中点下

取下点

d-2（x-y）+5

解：

在x=y到y=0的圆弧中，（R,0）点比在圆弧上，算法从该点开始。

最大位移方向为y，由（R,0）点开始，y渐增，x渐减，每次y方向加1，x方向减1或减0。

设P点坐标（xi,yi）,下一个候选点为右点Pr（xi,yi+1）和左点Pl（xi-1,yi+1），

取Pl和Pr的中点M（xi-0.5,yi+1），设理想圆与y=yi+1的交点Q，

构造判别式：

    d=f（xM,yM）=（x-0.5）2+（yi+1）2+R2

当d<0时，M在Q点左方（Q在M右），取右点Pr（xi,yi+1）

当d>0时，M在Q点右方（Q在M左），取左点Pl（xi-1,yi+1）

当d=0时，M与Q点重合，约定取左点Pl（xi-1,yi+1）

所以有：

推导判别式：

d>=0时，取左点Pl（xi-1,yi+1），下一点为（xi-1,yi+2）和（xi-2,yi+2）

d<0时，取右点Pr（xi,yi+1），下一点为（xi,yi+2）和（xi-1,yi+2）

    d0=f（R-0.,1）=R2-R+0.25+1-R2=1.25-R

5.11如图5－59所示多边形，若采用扫描转换算法（ET边表算法）进行填充，

试写出该多边形的边表ET和当扫描线Y＝4时的有效边表AET（活性边表）。

（P125）

解：

 1）边表ET表 

x|ymin

ymax

1/k

next

 2）y＝4时的有效边表AET

x

ymax

1/k

next

注意：

水平线不用计算。

5.22构造两个例子，一个是4－连通图，其边界是8－连通的，

另一个是8－连通图，其边界是4－连通的。

（P132）

解：

4-连通区域         8－连通区域

第六章二维变换及二维观察

概念：

齐次坐标，窗口，视区，二维观察流程，

字符裁减的三种策略，外部裁减

计算：

二维几何变换

直线裁减：

区域编码法和梁友栋算法

多边形裁减：

逐边裁减法和双边裁减法

6.1.3二维变换矩阵（P147）

3阶二维变换矩阵

子矩阵功能

abp

cdq

lms

abcd比例旋转pq投影变换

lm  平移变换s整体比例

6.2.3旋转变换（P149）

逆时针变换矩阵

顺时针变换矩阵

 cosθsinθ  0

-sinθcosθ 0

   0     0     1

cosθ-sinθ   0

sinθ  cosθ 0

  0       0      1

6.2.5相对任一参考点的二维几何变换（P155）

例如：

相对（xf,yf）点的旋转变换

平移到

坐标原点

旋转角度θ

反平移回

原来位置

1 0 0

0 1 0

-xf-yf1

 cosθsinθ0

-sinθcosθ0

  0   0  1

1  0  0

0  1  0

xf yf1

习题6（P177）

6.7求四边形ABCD绕P（5,4）旋转45度的变换矩阵和端点坐标，

画出变换后的图形。

（P147P148P155）

解：

变换的过程包括：

 1）平移：

将点P（5,4）平移至原点（0,0），

 2）旋转：

图形绕原点（0点）旋转45度，

 3）反平移：

将P点移回原处（5,4），

 4）变换矩阵：

平移—旋转—反平移

 5）变换过程：

四边形ABCD的规范化齐次坐标（x,y,1）*3阶二维变换矩阵

   由旋转后四边形ABCD的规范化齐次坐标（x',y',1）可写出顶点坐标：

 A'（6.4,1.2）B'（7.1,4.7）C'（4.3,8.5）D'（2.2,1.2）

6.15用梁友栋算法裁减线段AB，B点的坐标改为（-2,-1）（P170）

解：

以A（3，3）为起点，B（-2，-1）为终点

所以有x1=3，y1=3，x2=-2，y2=-1，wxl=0，wxr=2，wyb=0，wyt=2

构造直线参数方程：

x=x1+u（x2-x1）

0

x1

x

x2

y

A（3,3）

3

 C（7

/4,2）

2

D（

0,3/

5）1

-2

 -1

0

1

2

  3

x

B（-2,-1）

 -1

 x=x1+u（x2-x1）    （0<=u<=1）

 y=y1+u（y2-y1）

 把x1=3，y1=3，x2=-2，y2=-1代入得

 x=3-5u

 y=3-4u

计算各个p和q值有：

 p1=x1-x2=5   q1=x1-wxl=3

 p2=x2-x1=-5  q2=wxr-x1=-1

 p3=y1-y2=4   q3=y1-wyb=3

 p4=y2-y1=-4  q4=wyt-y1=-1

根据，uk=qk/pk算出

  pk<0时：

u2=1/5u4=1/4

  pk>0时：

u1=3/5u3=3/4

 umax=MAX（0,u2,u4）=MAX（0,1/5,1/4）=1/4  （取最大值）

 umin=MIN（u1,u3,1）=MIN（3/5,3/4,1）=3/5  （取最小值）

由于umax

 pk<0时，将umax=1/4 代入直线参数方程

   x=x1+u（x2-x1）

 x=3+1/4*（-5）=3-5/4=7/4

  y=y1+u（y2-y1）

 y=3+1/4*（-4）=2

求出直线在窗口内部分的端点C（7/4,2）

 pk>0时，将umin=3/5代入直线参数方程

   x=x1+u（x2-x1）

 x=3+3/5*（-5）=0

   y=y1+u（y2-y1）

 y=3+3/5*（-4）=3/5

求出直线在窗口内部分的端点D（0,3/5）。

所以，直线在窗口内部分的端点为C（7/4,2），D（0,3/5）。

第七章三维变换及三维观察

概念：

几何变换、投影变换、透视投影、平行投影、灭点

平面几何投影的分类以及分类原则

计算：

三维几何变换、三视图

7.2三维几何变换（P180）

4阶三维变换矩阵

子矩阵功能

abcp

defq

ghir

lmns

abcdefghi比例旋转pqr透视投影

   lmn 平移变换 s 整体比例

   整体比例变换（P182）

   s>1时，整体缩小，如2表示2:

1缩小。

   s<1时，整体放大，如1/2表示1:

2放大。

7.3.1正投影

 1.主视图V（P191）

  4阶三维变换矩阵

y轴方向投影

1  0   0  0

0   0 0   0

0  0   1   0

0  0   0    1

 2.俯视图H

4阶三维变换矩阵

1  0    0    0

0  0  -1    0

0  0   0     0

0  0 -z0 1

z轴方向投影

绕x轴旋转-90度

z轴方向平移-1

1   0 0  0

0   1   0   0

0   0   0   0

0   0   0   1

1         0          0           0

0 cos（-90°）sin（-90°）0

0-sin（-90°）cos（-90°）0

0          0           0           1

1   0   0    0

0  1   0   0

0  0   1    0

0   0 -z0 1

3.侧视图W（P192）

4阶三维变换矩阵

  0     0   0   0

 -1     0   0   0

  0     0 1   0

-x0 0 0    1

x轴方向投影

绕z轴旋转90度

x轴方向平移-1

0  0  0  0

0   1  0  0

0  0   1  0

0  0   0   1

0   cos90°sin90°0

0-sin90°cos90°0

0         0        1   0

0        0      0    1

 1     0   0    0

 0     1   0   0

 0     0   1   0

-x00   0     1

习题7（P213）

7.5求空间四面体关于点P（2,-2,2）整体放大2倍的变换矩阵，

   画出变换后的图形。

（P182）

解：

关于点P（2,-2,2）整体放大两倍，

变换矩阵：

点P（2,-2,2）平移至原点--比例变换放大两倍--反平移回点P（2,-2,2）。

变换过程：

空间四面体ABCD的规范化齐次坐标（x,y,z,1）*4阶三维比例变换矩阵

 空间四面体ABCD的齐次坐标（x',y',z',1/2）转换成规范化齐次坐标

顶点

 x y  z 1

A

B

C

D

 2，2，-2，1

 2，6，-2，1

-2，6，-2，1

 2，6，2，1

   由比例变换后规范化齐次坐标（x',y',z',1）可写出顶点坐标：

 A'（2,2,-2）B'（2,6,-2）C'（-2,6,-2）D'（2,6,2）

7.7求空间四面体ABCD三视图的变换矩阵（平移矢量均为1），并作出三视图。

（P180）

解：

 1）主视图V（P191）

  空间四面体ABCD的规范化齐次坐标矩阵*Y轴方向投影矩阵（不需要平移）

 2）俯视图H（P191）

 Z轴方向投影矩阵*绕X轴旋转-90度矩阵*Z轴方向平移-1矩阵

 空间四面体ABCD的规范化齐次坐标矩阵*投影变换矩阵（可以直接写出）

 3）侧视图W（P192）

 X轴方向投影矩阵*绕Z轴旋转90度矩阵*X轴方向平移-1矩阵

 空间四面体ABCD的规范化齐次坐标矩阵*投影变换矩阵（可以直接写出）

 4）画图注意：

三个图画在同一坐标系中，点与点的连接关系以及直线的可见性问题。

试题分析

《计算机图形学》考试试题

一、填空

2.帧缓存（P42）：

（1024*768*8/8）/1024=768kB

 颜色位面数（P43）：

24

 总颜色数：

（2^8）^3=2^24=（2^4）*（2^20）=16MB

二、名词解释

三、简答与计算

3.边标志算法（P128）

解：

打标记：

x1,x2,x3,x4

    填充：

x1与x2,x3与x4扫描线区间的像素点。

5.正则集合运算（P88）

解：

通常意义下的集合求交运算：

C=A∩B  有一条弧立边

    正则集合运算：

C=A∩*B  无弧立边

四、计算作图题

1.中点Bresenham算法（P109）

斜率K

误差项d

理想点Q

取下一个点

d更新

<1

<0

在中点上

取上点

 d+2△x-2△y

>=0

在中点下

取下点

d-2△y

解：

直线斜率：

k=（6-1）/（9-1）=5/8 0

   计算初值：

△x=9-1=8△y=6-1=5d=△x-2△y=8-2*5=-2

 取上点：

2△x-2△y=2*8-2*5=6 d+2△x-2△y=-2+6=4

 取下点：

2△y=2*5=10 d-2△y=4-10=-6

x

y

误差项d

取下一个点

d更新

1

1

<0

取上点

 d+2△x-2△y=4

2

2

>0

取下点

d-2△y=-6

3

2

<0

取上点

d+2△x-2△y=0

4

3

=0

取下点

d-2△y=-10

5

3

<0

取上点

d+2△x-2△y=-4

6

4

<0

取上点

d+2△x-2△y=2

7

5

>0

取下点

d-2△y=-8

8

5

<0

取上点

d+2△x-2△y=-2

9

6

2.改进的有效边表算法（P125）

解：

1）边表ET：

交点x（最小y坐标ymin）

x|ymin

ymax

1/k

next

x坐标

1

CB边

CA边

2

→

6

5

-4/3

→

6

9

-2/7

/

3

4

BA边

5

→

2

9

-1/2

/

6

7

8

9

  2）y=4的有效边表AET：

交点x

x

ymax

1/k

next

y=4

|

与CB边相交

┗

→

3.3

5

-4/3

┓

┏

—————————

┛

|

与CA边相交

┗

→

5.4

9

-1/2

 /

 3）y=4时的填充交点对：

（3.3,4）（5.4,4）

3.求三角形绕B点（2,5）旋转θ的变换矩阵。

 求三角形绕B点顺时针旋转90度后各端点坐标。

（P125）

解：

1）三角形绕B点（2,5）旋转θ的变换矩阵

     T=Tt*TR*Tt-1

平移到

坐标原点

旋转角度θ

反平移回

原来位置

 1 0 0

 0 1 0

-2-5 1

 cosθsinθ0

-sinθcosθ0

  0   0  1

1 0 0

0 1 0

2 5 1

  2）三角形绕B点顺时针旋转90度的变换矩阵，θ=-90°

    T=Tt*TR*Tt-1

平移到

坐标原点

旋转角度θ

反平移回

原来位置

 1 0 0

 0 1 0

-2-5 1

cos90° -sin90° 0

sin90°  cos90° 0

  0     0    1

1 0 0

0 1 0

2 5 1

        变换过程：

三角形ABC的规范化齐次坐标（x,y,1）*3阶二维变换矩阵

    P=P*T

     得到三角形ABC变换后的规范化齐次坐标（x',y',1）

顶点

 x y 1

A

B

C

 4.6 2 1

 2  5 1

 0 -1 1

       可以写出顶点坐标：

A'（4.6,2）B'（2,5）C'（0,-1） 

4.用编码裁剪算法裁剪线段P1（0,2）P2（3,3）。

要求写出：

（164）

 1）窗口边界划分的9个区间的编码原则；

 2）线段端点的编码；

 3）裁剪的主要步骤；

 4）裁剪的输出结果。

解：

线段P1（0,2）P2（3,3）的编码裁剪

y

1001

1000

1010

4

0001

P2（3,3）

0000

S

 0010

3

P1（0,2）2

1

0101

0100

0110

0

 1

 2

    3

 4

    x

 1）窗口边界划分的9个区间的编码原则；

编码

D3

D2

D1

D0

窗口外

上边top

下边bottom

右边right

左边left

条件

y>wyt

wyt=4

y

wyb=1

x>wxr

wxr=4

x

wxl=1

取值

D3=1

D2=1

D1=1

D0=1

 2）线段端点的编码；

   P1code1=0001, P2code2=0000

 3）裁剪的主要步骤；

   输入P1（0,2）,P2（3,3）,wyt=4,wyb=1,wxr=4,wxl=1；

   P1code1=0001, P2code2=0000；

   code1|code2≠0不能简取；code1&code2=0不能简弃；

 求线段P1（0,2）P2（3,3）和窗口左界wxl=1的交点，

 把wxl=1代入直线方程求出y=kx+b=（1/3）*x+2=2.3

   交点坐标S（1,2.3）替换端点坐标P1（0,2），使P1坐标为（1,2.3）；

 去掉P1S线段，输出线段P1P2。

 4）裁剪的输出结果：

P1（1,2.3）P2（3,3）。

5.用改进Bresenham算法画直线段的原理，

  推导斜率K>1的直线段的扫描转换算法。

（P112）

斜率K

改进误差项e

理想点Q