万有引力定律及其应用有答案.docx
《万有引力定律及其应用有答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《万有引力定律及其应用有答案.docx（17页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
万有引力定律及其应用有答案
万有引力定律及其应用
知识网络:
常见题型
万有引力定律的应用主要涉及几个方面：
（1）测天体的质量及密度：
（万有引力全部提供向心力）
由
得
又
得
【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。
现有一中子星，观测到它的自转周期为T=
s。
问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。
计算时星体可视为均匀球体。
（引力常数G=6.67
10
m
/kg.s
）
解：
设位于赤道处的小块物质质量为m，物体受到的中子星的万有引力恰好提供向心力，这时中子星不瓦解且有最小密度，由万有引力定律结合牛顿第二定律得：
m
R2
GM
=m（
2π
T
）2R
又因ρ=
M
4πR3
3
由以上两式得ρ=
3π
GT2
．
代入数据解得：
ρ=1.27×1014kg/m3．
答：
该中子星的最小密度应是1.27×1014kg/m3才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解．
点评：
解此题一定要找到能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解时中子星有的最小密度的条件：
赤道表面的物体随中子星一起自转时受到的中子星的万有引力恰好提供向心力，会用周期表示向心力，还要知道球体的体积公式及密度公式，同时注意公式间的化简．
点评：
在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。
（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：
（重力近似等于万有引力）
表面重力加速度：
轨道重力加速度：
【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R0＝60。
设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有
……
经过计算得出：
卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。
上述结果是否正确？
若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。
所得的结果是错误的．
①式中的g卫并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星作匀速圆周运动的向心加速度．
正确解法是
在卫星表面：
Gm
R
2
卫
=g卫 ①
在行星表面：
GM
R
2
行
=g行 ②
由①②得：
g卫
g行
=（
R行
R卫
）2
m
M
∴g卫=0.16g行
答：
上述结果是错误的，星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的0.16倍．（3）人造卫星、宇宙速度：
人造卫星分类（略）：
其中重点了解同步卫星
宇宙速度：
（弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别）
【例3】我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。
“一号”是极地圆形轨道卫星。
其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h；“二号”是地球同步卫星。
两颗卫星相比号离地面较高；号观察范围较大；号运行速度较大。
若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是。
【答案】
风云二 、风云一、 风云一 、第二天上午8点
【解析】由
得到
，“风云二号”周期是24h要大于“风云一号”的周期是12h，所以风云二号离地面较高；二号轨道在赤道的正上方，只能观察赤道周围的范围，一号的轨道绕两极运动，由于地球自传，即观察的范围较大；由
得到
，一号的半径小，一号运行速度大；根据周期关系，地球自传一周，一号卫星转两周，所以应是满足地球自传的一个周期，一号卫星第二次经过该点，即第二天上午8点。
【例4】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（）
A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆
B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆
C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的
D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的
【答案】
CD
【解析】
试题分析：
卫星在圆轨道上绕地球运行时，万有引力提供向心力，故圆周运动的圆心应在地球的中心．
A、卫星在圆轨道上绕地球运行时，一个最明显的特点是轨道的圆心是地心，而万有引力总是地心与卫星连线方向上的，所以卫星轨道平面必过地心．故A错误．
B、卫星通过南北极上空，某时刻在某一经线上，由于地球的自转下一时刻卫星将不在原来的经线上，故B错误．
C、与地球表面上赤道线是共面同心圆，卫星相对地面是静止的，该卫星是同步卫星，周期与地球自转周期相同，故C正确．
D、与地球表面上赤道线是共面同心圆，周期与地球自转周期不相同，卫星相对地面是运动的，故D正确．
故选CD
考点：
人造卫星的加速度、周期和轨道的关系．
点评：
人造卫星做圆周运动是万有引力提供向心力，故圆周运动的圆心应在地球的中心.卫星是相对地心作圆周运动，而经线是相对地轴随时转动的．也就是说，相对地心来说，经线是一直转动的，而极低卫星则不然．因此是找不到这样的卫星的．
【例5】侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？
设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。
【例6】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（）
A．它们的质量可能不同B．它们的速度可能不同
C．它们的向心加速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同
点评：
需要特别提出的是：
地球同步卫星的有关知识必须引起高度重视，因为在高考试题中多次出现。
所谓地球同步卫星，是相对地面静止的且和地球有相同周期、角速度的卫星。
其运行轨道与赤道平面重合。
【例7】地球同步卫星到地心的距离r可由
求出，已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则：
A．a是地球半径，b是地球自转的周期，C是地球表面处的重力加速度；
B．a是地球半径。
b是同步卫星绕地心运动的周期，C是同步卫星的加速度；
C．a是赤道周长，b是地球自转周期，C是同步卫星的加速度
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，C是地球表面处的重力加速度。
结合题目所给单位，a的单位是米，则a对应地球半径R，b的单位是秒，则b对应同步卫星的周期T，也是地球自转周期T，c的单位米每二次方秒，则c对应重力加速度g
故：
A、D正确，B、C错误
故选：
AD
点评：
同步卫星的五个“一定”
（1）轨道平面一定
（2）周期一定（3）角速度一定（4）高度一定（5）速度一定．通过以上五个方面加深对同步卫星的理解．
【例8】我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空t＝7天后又顺利返回地面。
飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得圆满成功。
①设飞船轨道离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船绕地球正常运转多少圈?
（用给定字母表示）。
②若h＝600km，R＝6400km，则圈数为多少?
GMm/rr=mωωr既GM=（2π/T）ˇ2rˇ3地面有：
GM=RRg联立可得：
TT=[4ππ（R+h）ˇ3]/RRg代入数字有：
TT=[4×3.14ˇ2（6.4×10ˇ6+0.6×10ˇ6）]/[（6.4×10ˇ6）ˇ2×10]请自个计算TT并开方.单位为秒.由此求出T则船绕地球队正常运转圈数为N=t/T（4）双星问题：
【例9】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
设两星质量分别为M1 M2 ，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为．由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得：
联立解
（5）有关航天问题的分析：
【例10】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H＝3.4
105m的圆轨道上运行了47小时。
求在这段时间内它绕行地球多少圈？
（地球半径R=6.37
106m，重力加速度g＝9.8m/s2）
答案】
n=31
【解析】由万有引力定律提供向心力得
………① （3分）
G
＝g ………..② （2分）
n=
………..③ （1分）
代入数值解得绕行圈数为n=31。
（1分）
【例11】2003年10月16日北京时间6时34分，中国首位航天员杨利伟乘坐“神舟”五号飞船在内蒙古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功。
中国由此成为世界上继俄、美之后第三个有能力将航天员送上太空的国家。
据报道，中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船，于北京时间十月十五日九时，在酒泉卫星发射中心用“长征二号F”型运载火箭发射升空。
此后，飞船按照预定轨道环绕地球十四圈，在太空飞行约二十一小时，若其运动可近似认为是匀速圆周运动，飞船距地面高度约为340千米，已知万有引力常量为G=6.67×10－11牛·米2/千克2，地球半径约为6400千米，且地球可视为均匀球体，则试根据以上条件估算地球的密度。
（结果保留1位有效数学）
【答案】分析：
通过周期，根据万有引力提供向心力求出地球的质量，从而根据密度公式求出地球的密度．
解答：
解：
设地球半径为R，地球质量为M，地球密度为ρ；飞船距地面高度为h，运行周期为T，飞船质量为m．
据题意题
s=5400s
飞船沿轨道运行时有
而
由①②③式得：
=
答：
地球的密度为6×103kg/m3．
点评：
解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用．
（6）天体问题为背景的信息给予题
近两年，以天体问题为背景的信息给予题在全国各类高考试卷中频频出现，不仅考查学生对知识的掌握，而且考查考生从材料、信息中获取有用信息以及综合能力。
这类题目一般由两部分组成：
信息给予部分和问题部分。
信息给予部分是向学生提供解题信息，包括文字叙述、数据等，内容是物理学研究的概念、定律、规律等，问题部分是围绕信息给予部分来展开，考查学生能否从信息给予部分获得有用信息，以及能否迁移到回答的问题中来。
从题目中提炼有效信息是解决此类问题的关键所在。
【例12】地球质量为M，半径为R，自转角速度为
。
万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为
。
国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学实验。
设空间站离地面高度为h，如果杂该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？
．【例13】1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Planck学会的一个研究组宣布了他们的研究成果：
银河系的中心可能存在大黑洞，他们的根据是用口径为3.5m的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得的数据。
他们发现，距离银河系中约60亿千米的星体正以2000km/s的速度围绕银河系中心旋转。
根据上面数据，试在经典力学的范围内（见提示2）通过计算确认，如果银河系中心确实存在黑洞的话，其最大半径是多少？
（引力常数是G＝6.67×10－20km3·kg－1s－2）
【答案】分析：
（1）根据万有引力提供向心力，结合速度和轨道半径求出“黑洞”的质量．
（2）根据逃逸速度大于光速，求出“黑洞”的最大半径，注意结果有效数字的计算．
解答：
解：
（1）设“黑洞”质量为M，天体质量为m，它们之间的距离为r，根据万有引力等于向心力，有
，
M=
kg=3.6×1035 kg．
（2）设“黑洞”的可能半径为R，质量为M，依题意，须满足
＞c，即有R＜
，
所以“黑洞”的可能最大半径
Rmax=
m=5×108 m．
也可由 GM=v2•r，
得 Rmax=
，
所以 Rmax=
m=5×108 m．
答：
（1）该“黑洞”的质量为3.6×1035 kg．
（2）“黑洞”的可能最大半径为5×108 m．
点评：
解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用，计算时注意有效数字的保留．三、针对训练
1．利用下列哪组数据，可以计算出地球质量：
（）
A．已知地球半径和地面重力加速度
B．已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期
C．已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量
D．已知同步卫星离地面高度和地球自转周期
2．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是
A．天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比
B．两颗卫星的线速度一定相等
C．天体A、B的质量可能相等
D．天体A、B的密度一定相等
3．已知某天体的第一宇宙速度为8km/s，则高度为该天体半径的宇宙飞船的运行速度为
A．2
km/sB．4km/sC．4
km/sD．8km/s
4．探测器探测到土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定
A．若v∝R，则该环是土星的一部分
B．若v2∝R，则该环是土星的卫星群
C．若v∝1/R，则该环是土星的一部分
D．若v2∝1/R，则该环是土星的卫星群
5．2002年12月30日凌晨，我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天发射场发射升空，按预定计划在太空飞行了6天零18个小时，环绕地球108圈后，在内蒙古中部地区准确着陆，圆满完成了空间科学和技术试验任务，为最终实现载人飞行奠定了坚实基础.若地球的质量、半径和引力常量G均已知，根据以上数据可估算出“神舟”四号飞船的
A.离地高度B.环绕速度
C.发射速度D.所受的向心力
6．航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件.1998年1月发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成果.探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异常区域时
A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大B．探测器运行的轨道半径将变大
C．探测器飞行的速率将变大D．探测器飞行的速率将变小
7．（1998年全国卷）宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。
经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。
若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为
L。
已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。
求该星球的质量M。
8．我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空t＝7天后又顺利返回地面.飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得圆满成功。
（1）设飞船轨道离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船绕地球正常运转多少圈?
（用给定字母表示）.
（2）若h＝600km，R＝6400km，则圈数为多少?
9．（2004年全国理综第23题，16分）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。
假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。
已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。
火星可视为半径为r0的均匀球体。
参考答案：
1．AB2．B3．C4．AD5．AB6．AC
7．解析：
设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有
x
+y
=L
（1）
由平抛运动的规律得知，当初速度增大到2倍，其水平射程也增大到2x，可得
（2x）
+h
=（
L）
（2）
由以上两式解得h=
（3）
设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得h=
gt
（4）
由万有引力定律与牛顿第二定律得
（式中m为小球的质量）（5）
联立以上各式得：
。
点评：
显然，在本题的求解过程中，必须将自己置身于该星球上，其实最简单的办法是把地球当作该星球是很容易身临其境的了。
8．解：
（1）在轨道上
①
v=
②
在地球表面：
=mg③
联立①②③式得：
T=
故n=
（2）代人数据得：
n=105圈
9．以g＇表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m＇表示火星表面出某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
①
②
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有
③
④
由以上各式解得
⑤
教学后记
万有引力的内容，应该说比较简单，就是一个万有引力公式结合向心力公式，关键是要会推导公式记忆公式，近年来有关天体运动卫星发射等问题高考中几乎每年出现，特别是围绕“神州飞舟”更是出现各类实际应用的题目，复习中应注意培养学生应用物理知识解决实际问题的能力。
升级会员 