直线一级倒立摆的计算机控制毕业设计.docx
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直线一级倒立摆的计算机控制毕业设计
直线一级倒立摆的计算机控制
摘要
倒立摆是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，基于牛顿―欧拉方法建立了直线一级倒立摆系统的数学模型，并分析其稳定性及可控性。
论文中应用的两种控制算法是PID控制和状态反馈极点配置控制:
PID控制器结构简单，容易调节,但是PID控制器存在的缺陷是只能单一的对摆杆进行控制而不能对小车进行控制。
极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，基于极点配置控制器进行了MATLAB仿真，并且结合实物实验完成直线一级倒立摆的控制研究。
关键词：
直线一级倒立摆，PID控制，极点配置，MATLAB仿真
ComputercontrolofLinearinvertedpendulum
Abstract
Thecontrolledsystemoftheinvertedpendulumisanabsolutelyinstability,hightime,multivariable,thenonlinearsystemofstrongcoupling,mathematicalmodelofLinearinvertedpendulumsystemisestablishedbyNewton―Eulermethod,andanalyzeditsstabilityandcontrollability.
PIDcontrolleritssimplestructure,easytoadjust,andwithoutneedingtobuildanaccuratemodelofthesystem,thecontrolapplicationismoreextensive.However,defectofPIDcontrolleristhatitcanonlycontrolthependulumandcannotcontrolthecar.Poleplacementwillconfigureclosed-loopsystem’spoleofmultivariablesysteminthedesiredposition,goingontheMATLABsimulationbasedonPoleplacementcontroller,andcombinedphysicalexperimentstocompleteLinearInvertedPendulumControl.
Keywords:
linearinvertedpendulum,PIDcontrol,poleplacement,MATLABsimulation
毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明
原创性声明
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所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。
尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。
对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。
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作者签名：
日 期：
第一章绪论
1.1课题的背景及意义
倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉、结构简单、物理参数和结构易于调整的优点。
倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其控制系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
倒立摆系统是研究变结构控制、非线性控制、目标定为控制和智能控制等多种控制方法的理想实验平台，被誉为：
“控制领域中的一颗明珠”。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台，是检验某种控制理论或控制方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
1.2倒立摆的控制目标
倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有较大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
直线倒立摆控制的目的是：
小车和摆组成的系统在受到干扰后，小车处于轨道的中心位置，摆杆将保持垂直位置不倒。
旋转倒立摆控制的目的是系统受到干扰后，摆杆在垂直位置倒立不倒。
平面倒立摆控制目的是系统受到干扰后，在XY平台上摆杆能够竖立稳定而不倒，达到动态平衡状态。
1.3倒立摆的控制方法
倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动电机实现倒立摆的实时控制。
电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。
作用力平行于轨道的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平导轨运动。
当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。
为了使摆杆摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。
因此，倒立摆系统的控制原理可简述如下：
用一种强有力的控制方法对小车的速度作适当的控制，从而使摆杆倒置稳定于小车正上方。
倒立摆刚开始工作时，首先使小车按摆杆的自由振荡频率摆动，摆杆随之大幅度摆动。
经过几次摆动后，摆杆能自动直立起来。
这种被控量既有角度，又有位置，且它们之问又有关联，具有非线性、时变、多变量耦合的性质。
1.4倒立摆系统的发展状况
倒立摆系统的研究具有重要的理论意义和应用价值，对其控制研究是控制领域研究的热门课题之一，国内外的专家学者对此给予了广泛的关注。
倒立摆系统研究最早始于上世纪50年代，麻省理工学院（MIT）机电工程系的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验装置。
1966年Schaefer和Cannon应用Bang—Bang控制理论将一个曲轴稳定于倒置位置。
1976年，Morietc．首先把倒立摆系统在平衡点附近线性化，利用状态空间方法设计比例微分控制器实现了一级倒立摆的稳定控制。
1993年，Wiklund等人应用基于李亚普诺夫的方法控制了环形一级倒立摆。
1997年，Gordillo比较了LQR方法和基于遗传算法的控制方法，结论是传统控制方法比遗传算法控制效果更好。
国内对倒立摆的研究始于80年代，虽然起步较晚但发展迅速，取得了可喜的成果。
对于单级倒立摆和二级倒立摆系统的研究已经历了很长的历程，并且有很多控制成功的报道。
在此基础上，三级倒立摆及多级倒立摆的研究也取得了很大进展，不仅在系统仿真方面，而且在实物实验中，都出现了控制成功的范例。
1994年，北京航空航天大学教授张明廉将人工智能与自动控制理论相结合，提出“拟人智能控制理论”，实现了用单电动机控制三级倒立摆实物以及后来实现对二维单倒立摆控制。
李德毅教授利用反映语言值中蕴涵的模糊性和随机性，给出云发生器的生成算法，解释多条定性推理规则同时被激活时的不确定性推理机制，利用这种智能控制方法有效地实现了单电机控制的一、二、三级倒立摆的多种不同动平衡姿态，显示其鲁棒性，并给出了详细试验结果。
朱江滨等人提出了一种基于专家系统及变步长预测控制的实时非线性系统控制方法，仿真实现了二级倒立摆的摆起及稳定控制侧。
2005年国防科学技术大学的罗成教授等人利用基于LQR的模糊插值实现了五级倒立摆的控制。
总之，倒立摆系统是检验各种控制算法、研究控制理论很有效的实验设备。
目前应用在倒立摆上的算法主要有以下几类：
（1）经典控制理论：
PID控制。
通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆系统的动力学模型，设计PID控制器实现控制。
（2）现代控制理论：
状态反馈。
通过对倒立摆系统物理模型的分析，建立系统的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈，实现对倒立摆的控制。
常见的方法有：
①极点配置，②线性二次型最优控制，③状态反馈控制。
1.5本文研究的主要内容和思路
本论文的主要工作研究了直线一级倒立摆的稳摆问题。
采用了经典控制理论中的PID控制以及现代控制理论中的状态空间极点配置。
建立了数学模型并用MATLAB/Simulink对系统进行仿真来设计并整定各方案的控制器参数，然后在固高科技（深圳）公司的实验平台上进行实验验证，通过倒立摆的实物系统的控制证明了仿真控制器的正确性和稳定性。
主要内容如下：
第一章主要简述了倒立摆研究的背景及意义，控制目标、控制方法，并且结合国内外的研究现状，详细介绍了倒立摆系统当前存在的问题及研究的若干关键方向。
第二章主要介绍了直线一级倒立摆的数学模型的建立。
基于牛顿---欧拉方法推导出直线一级倒立摆的运动方程，将运动方程进行拉普拉斯变换后利用现代控制理论原理得到直线一级倒立摆的状态空间方程的实际模型，并且通过MATLAB/Simulink仿真结果直观地看到直线一级倒立摆的稳定性、可控性等性质。
第三章简要介绍了直线一级倒立摆的PID控制。
通过直线一级倒立摆系统的控制结构框图建立PID控制器的传递函数，经过调节PID控制器的参数，在Simulink/MATLAB仿真软件中得到满意的控制效果，并简要介绍了MATLAB/Simulink仿真环境。
第四章简要介绍了直线一级倒立摆的状态空间极点配置控制。
由于在第二章已经得到了系统的比较精确的状态空间表达式，通过对状态空间的分析进行极点配置以及软件仿真，最后通过实物系统验证试验结果，并简单介绍了固高公司的实时控制软件以及该软件实验平台的主要特点。
第二章直线一级倒立摆数学模型的建立
建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的前提。
系统建模可以分为两种：
机理建模和实验建模。
机理建模是对系统各部分的运动机理进行分析，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
实验建模就是通过激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用牛顿－欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型。
2.1直线一级倒立摆系统运动方程的推导
倒立摆系统是一种复杂的要求快速性很高、有很强非线性的系统，为了简化直线一级倒立摆系统分析，在建立实际数学模型过程中，基于以下假设：
（1）忽略空气阻力。
（2）将系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统。
（3）忽略摆杆与支点之间等的各种次要摩擦阻力。
（4）皮带轮与传送带之间无滑动，传送带无伸长现象。
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和
匀质杆组成的系统，如图2.1所示。
图2.1直线一级倒立摆模型
图2.2是系统中小车的受力分析图，图2.3是系统中摆杆的受力分析图其中。
N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
我们不妨做以下假设：
M小车质量
m摆杆质量
b小车摩擦系数
l摆杆转动轴心到杆质心的长度
I摆杆惯量
F加在小车上的力
x小车位置
φ摆杆与垂直向上方向的夹角
θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
图2.2小车受力分析图
图2.3摆杆受力分析图
注意：
在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而
矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
分析小车水平方向所受的合力，见图2.3,可以得到以下方程：
（2-1）
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
（2-2）
即：
（2-3）
把这个等式代入式（2-1）中，就得到系统的第一个运动方程：
（2-4）
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，见图2.3所示，可以得到下面方程：
（2-5）
（2-6）
力矩平衡方程如下：
（2-7）
注意：
此方程中力矩的方向，由于θ=π+φ,cosφ=−cosθ,sinφ=−sinθ，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
（2-8）
设θ=π+φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），该系统是明显的非线性系统。
为便于控制器的设计，需要将系统在工作点（φ=0）进行线性化处理。
当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<<1时，则可以进行近似处理：
为了与控制理论的表达习惯相统一，用U表示被控对象的输入力，经线性化处理后系统的数学模型成为如下微分方程表达式：
（2-9）
对式（2-9）进行拉普拉斯变换，得到
（2-10）
注意：
推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：
（2-11）
或
（2-12）
如果令v=x，则有：
（2-13）
把上式代入方程组的第二个方程，得到：
（2-14）
整理后得到传递函数：
（2-15）
其中
由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式：
（2-16）
式（2-16）中，u表示系统控制输入向量，x表示系统状态变量，y表示系统的输出向量，A表示系统的状态矩阵，B表示系统控制输入矩阵，C表示系统输出观测矩阵，D表示系统输入输出矩阵。
方程组对
解代数方程，得到解如下：
（2-17）
整理后得到系统状态空间方程：
（2-18）
只要将直线一级倒立摆的实际结构参数代入式（2-18）中，便可得到矩阵A、B、C、D。
2.2系统的物理参数
实际系统的模型参数如下：
M小车质量1.096Kg
m摆杆质量0.109Kg
b小车摩擦系数0.1N/m/sec
l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m
I摆杆惯量0.0034kg*m
2.3系统的实际模型
把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数：
（2-19）
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
（2-20）
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
（2-21）
以外界作用力作为输入的系统状态方程：
（2-22）
以小车加速度作为输入的系统状态方程：
（2-23）
需要说明的是，本文的控制器设计和程序中，采用的都是以小车的加速度作为系统的输入。
如果需要也可以采用力矩控制的方法，把外界作用力作为输入。
2.4直线一级倒立摆系统的分析
若系统由于受到扰动作用而偏离了原来的平衡状态，但扰动去除后，如果能恢复到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的，否则该系统就是不稳定的。
前面已经得到系统的状态方程，对其进行阶跃响应分析，在MATLAB中键入以下命令：
运行程序后得到如下的曲线：
图2.4直线一级倒立摆单位阶跃响应仿真
可以看出，在单位阶跃响应的作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的，即：
直线一级倒立摆系统是不稳定的系统。
在得到系统的数学模型之后，为进一步了解系统性质，需要对系统的特性进行分析，最主要的是对系统的稳定性、能控性以及能观性的分析。
竖直向上位置是直线一级倒立摆系统的不稳定平衡点，可以设计稳定控制器来使直线一级倒立摆系统稳定在这个点。
既然需要设计控制器稳定系统，那么就要考虑系统是否能控。
我们所关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性化模型来分析。
对于连续时间系统：
系统状态完全可控的条件为：
当且仅当向量组
是线性无关的，或n*n维矩阵
的秩为n。
系统的输出可控性条件为：
当且仅当矩阵
的秩等于输出向量y的维数。
应用以上原理对系统进行可控性分析，
代入上式，并在MATLAB中计算：
运行程序后的结果为：
Ans=4ans=2
可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数，所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。
所以，可以得知直线一级倒立摆系统是一个不稳定且状态以及输出都能控的系统。
2.5本章小结
本章详细讨论了采用牛顿力学的分析方法建立直线一级倒立摆数学模型的过程，并将得到的非线性模型在倒立摆的平衡位置附近进行线性化，得到线性的状态方程，并以得到的线性化的数学模型为基础分析了其稳定性，输入输出的能控制性。
由于倒立摆固有的特性，其平衡点均是不稳定平衡点，但其又是能控的。
第三章直线一级倒立摆的PID控制
3.1PID控制原理
当今的自动控制技术都是基于反馈的概念，反馈理论的要素包括三个部分：
测量、比较和执行。
测量输出变量，与期望值相比较，用这个误差调节控制系统。
PID（比例---积分---微分）控制是一种简单而又优秀的控制方法，在生产过程自动化控制的发展历程中，PID控制是一种历史最悠久、生命力最强的基本控制方法。
PID控制器作为最早实用化的控制器已有50多年的历史，并且直到现在仍然是应用最广泛的工业控制器。
在PID中因将偏差的比例（P）、积分（I）和微分（D）通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID控制器，其原理图如下所示：
图3.1PID控制器原理图
PID控制器各个校正环节的作用如下：
（1）比例环节：
成比例的反馈控制系统的偏差信号e（0）仪产生，控制器立即就产生控制作用，使被PID控制的对象朝着使偏差减小的方向变化。
其控制作用的强弱取决于比例系数Kp的大小，Kp值越大则过渡过程越短，控制结果的静态偏差也越小。
加大KP虽然可以减小偏差，但是Kp过大会导致系统的超调量增大或产生震荡现象，最终使系统的动态性能变差。
（2）积分环节：
主要用于消除静差，提高系统的无差度。
从积分环节的数学表达式可以看出，只要存在偏差，其就会不断增加。
积分作用的强弱取决于积分时间常数Ti的大小，Ti越大则积分作用越弱，反之则越强。
当Ti较大时，积分作用较弱，这时系统在过渡过程中不易产生震荡，但是过渡时问较长：
当Ti较小时，积分作用较强，这时过渡时间较短，但是有可能产生震荡。
（3）微分环节：
反映偏差信号的变化趋势（变化速度），并能在偏差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修定信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。
微分部分作用的强弱由微分时间常数TD的大小决定，Kd越大则抑制偏差变化的作用越强，反之则越小。
同时Td的大小对系统的稳定性也有很大的影响。
PID控制以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。
当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。
即，当我们不完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术。
PID控制器是一种线性控制器，它根据给定rin（t）与实际输出值yout（t）构成控制偏差：
（3-1）
PID的控制规律为：
（3-2）
或写成传递函数的形式：
（3-3）
式中，
为比例系数；
为积分时间常数；
为微分时间常数。
PID控制具有以下优点：
（1）原理简单，使用方便，PID参数可以根据过程的动态特性及时整定。
虽然倒立摆模型是非线性的，但通过对其简化可以变成基本线性的系统，这样PID就可控制了。
另外PID参数较易整定。
也就是，PID参数Kp，Ki和Kd可以根据过程的动态特性及时整定。
如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起系统动态特性变化，PID参数就可以重新整定。
（2）适应性强，按照PID控制规律进行工作的控制器早己商品化，使得其的应用范围十分广泛。
虽然很多被控对象是非线性的或时变的，但是通过适当的简化，可以将基本线性和动态特性不随时间变化的系统，这样就可以通过PID控制了。
（3）鲁棒性强，即其控制品质对被控对象特性的变化不太敏感。
同时PID控制也具有其固有的缺点：
PID在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的复杂过程时，效果不是很好。
虽然PID控制具有以上缺点，但是其仍因其自身的优点而得到了最广泛的应用，PID控制规律仍是应用最普遍的控制规律。
3.2仿真软件MATLAB/Simulink简介
倒立摆实物控制系统是一个典型的计算机控制系统，其控制是通过软件编程实现的，因此控制程序的编写是实现倒立摆实物系统控制的重要环节。
Simulink是用来建模、分析和仿真各种动态系统的交互环境，包括连续系统、离散系统和混合系统。
Simulink提供了采用鼠标拖放的方法建立系统框图模型的图形交互平台。
通过Simulink提供的丰富的功能块，可以迅速地创建动态系统模型。
同时Simulink还集成了Stateflow，用来建模、仿真复杂事件驱动系统的逻辑行为。
另外，Simulink也是实时代码生成工具Real-TimeWorkshop的支持平台。
控制系统仿真研究是一种很常见的需求，系统在某些信号驱动下，观测系统的时域响应，从中得出期望的结论。
对于复杂的系统来说，单纯采用上述的方法有时难以完成仿真任务。
比如说，若想研究结构复杂的非线性系统，用前面介绍的方法则需要写出系统的微分方程，这是很复杂的。
如果有一个基于框图的仿真程序，则解决这样的问题就轻而易举了。
Simulink环境就是解决这样问题的理想工具，它包含一个庞大的模块库，用户可以通过鼠标点击和拖拉模块既快速又方便地对系统进行建模仿真，而不必编写任何程序代码。
它还能在同一屏幕上进行仿真、资料显示和输出波形。
Simulink环境是解决非线性系统建模、分析与仿真的理想工具。
3.3PID控制参数设定及仿真
3.3.1PID参数整定的基本方法
PID控制器的参数整定是控制系统设计的核心内容。
它是根据被控过程的特性确定PID控制器的比例系数、积分时间和微分时间的大小，使得自动控制系统工作在最佳的状态。
从PID控制器的三个参数的作用可以看出三个参数
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