A．100台B．120台
C．150台D．180台
题型二 指数函数模型
例2
（1）一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：
驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车．（精确到1小时）
（2）里氏震级M的计算公式：
M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
A．6 1000B．4 1000
C．6 10000D．4 10000
思维升华 一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解．求解时注意指数式与对数式的互化，指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制．
某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt（其中k为常数，t表示时间，单位：
小时，y表示病毒个数），则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
题型三 分段函数模型
例3 中共十八届三中全会提出要努力建设社会主义文化强国．为响应中央号召．某市2016年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造．据调查，改造后预计该市在一个月内（以30天计），民族文化旅游人数f（x）（万人）与时间x（天）的函数关系近似满足f（x）＝4（1＋
），人均消费g（x）（元）与时间x（天）的函数关系近似满足g（x）＝104－|x－23|.
（1）求该市旅游日收益p（x）（万元）与时间x（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系式；
（2）若以最低日收益的15%为纯收入，该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资，按此预计两年内能否收回全部投资．
思维升华
（1）分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同．分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．
（2）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，保证不重不漏．
某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f（n）＝k（n）（n－10），n>10（其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f（n）的单位为元），而k（n）＝
现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多（ ）
A．600元B．900元
C．1600元D．1700元
函数应用问题
典例：
（12分）某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N*,80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：
日产量x
80
81
82
…
x
…
98
99
100
次品率p
…
p（x）
…
其中p（x）＝
（a为常数）．已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失
元（k为给定常数）．
（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；
（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？
思维点拨
（1）首先根据图表确定次品率p（x），利用“日盈利额＝正品盈利总额－次品损失总额”求出y关于x的函数；
（2）求第
（1）步建立函数模型的最大值．
解
（1）根据列表数据可得a＝108，
所以p（x）＝
（x∈N*,80≤x≤100），[2分]
由题意，当日产量为x时，次品数为
·x，正品数为（1－
）·x，[3分]
所以y＝（1－
）·x·k－
·x·
k，[5分]
整理得y＝
kx（3－
）（x∈N*,80≤x≤100）．[6分]
（2）令t＝108－x，t∈[8,28]，t∈N*.[7分]
则y＝
k（108－t）（3－
）＝
k[328－3（t＋
）]
≤
k（328－3×2·
）＝
k.[10分]
当且仅当t＝
，即t＝12时取得最大盈利，此时x＝96.
答 为了取得最大盈利，该工厂的日生产量应定为96件．[12分]
答题模板
解函数应用题的一般程序
第一步：
审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：
建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：
解模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：
还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：
反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
温馨提醒
（1）本题函数模型的建立分为两个阶段：
先求次品率p（x），再求日盈利额关于日产量x的函数，要在充分理解题意的基础上建模；
（2）求函数模型的最值时一定要考虑函数的定义域；解题步骤的最后要对所求问题作答.
方法与技巧
1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础.
2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．
3．解函数应用题的四个步骤：
①审题；②建模；③解模；④还原．
失误与防范
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
A组 专项基础训练
（时间：
45分钟）
1．某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ）
A．118元B．105元
C．106元D．108元
2．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为（ ）
3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系可近似地表示为y＝
－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为（ ）
A．240吨B．200吨C．180吨D．160吨
4.
某电信公司推出两种手机收费方式：
A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差（ ）
A．10元B．20元
5．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：
万元）为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润（单位：
万元）为y2＝2x，其中x为销售量（单位：
辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）
A．10.5万元B．11万元
C．43万元D．43.025万元
6．如图是某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数v＝v（t）的图象，则该质点运动的总路程为________cm.
7．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
8．某市出租车收费标准如下：
起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
9．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿千瓦时）与（x－0.4）（元）成反比例．又当x＝0.65时，y＝0.8.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？
[收益＝用电量×（实际电价－成本价）]
10．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：
“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：
千克/年）是养殖密度x（单位：
尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4（1）当0（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：
千克/立方米）可以达到最大？
并求出最大值．
B组 专项能力提升
（时间：
25分钟）
11．某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f（x）的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：
00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为（ ）
A．上午10：
00B．中午12：
00
C．下午4：
00D．下午6：
00
12．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫做税率x%），则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为（ ）
A．2B．6
C．8D．10
13．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为（ ）
A．a12－1B．（1＋a）12－1
C．aD．a－1
14．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）＝
n（n＋1）（2n＋1）吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
15．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x）万元，当年产量不足80千件时，C（x）＝
x2＋10x（万元）；当年产量不少于80千件时，C（x）＝51x＋
－1450（万元）．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．
（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
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