北京市海淀区初三年级一模考试.docx
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北京市海淀区初三年级一模考试
海淀区九年级一模考试
数学
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的.
1．-
的相反数是
A．-2B．2C．-
D．
2．2009年北京启动了历史上规模最大的轨道交通投资建设，预计北京市轨道交通投资
将达到51800000000元人民币.将51800000000用科学记数法表示正确的是
A．51.8×109B．5.18×1010C．0.518×1011D．518×108
3．如图，已知AB∥CD，点E在CD上，BC平分∠ABE，
若∠C=25°，则∠ABE的度数是
A．12.5°B．25°
C．50°D．60°
4.在樱桃采摘园，五位游客每人各采摘了一袋樱桃，质量分别为（单位：
千克）：
5，2，3，5，5，则这组数据的平均数和中位数分别为
A．4，3B．3，5C．4，5D．5，5
5．若两圆的半径分别为
和3，圆心距为1，则这两圆的位置关系是
A．内含B．内切C．相交D．外切
6．袋子中有5个红球，3个蓝球，它们只有颜色上的区别.从袋子中随机取出一个球，
取出蓝球的概率是
A．
B．
C．
D．
7．把代数式
分解因式，下列结果中正确的是
A．
B．
C．
D．
8．右图是画有一条对角线的平行四边形
纸片ABCD，用此纸片可以围成一个
无上下底面的三棱柱纸筒,则所围成
的三棱柱纸筒可能是
ABCD
二、填空题（本题共16分,每小题4分）
9．若实数x,y满足
，则代数式xy-x2的值为.
10．已知反比例函数y=
的图象经过点（2，3）,则k=.
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为
1，△ABC的三个顶点均在格点上，则BC边上的
高为．
12．如图，在平面直角坐标系xoy中,A（-3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n=1,2,3,4,…）的顶点在直线AB上，其对称轴与
x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，
…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标
为;抛物线C8的顶点坐标为.
三、解答题（本题共30分,每小题5分）
13．计算：
.
①
②
14．解不等式组：
15．已知：
如图，点B、E、F、C在同一条直线上，
AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠CED．
求证：
AF＝DC．
16.计算：
.
17．已知直线l与直线y=-2x+m交于点（2，0）,且与直线y=3x平行，求m的值及直线l的解析式.
18.如图，在梯形ABCD中,AB//DC,∠D=90,∠ACD=30,
AB=12,BC=10,求AD的长.
四、解答题（本题共20分,第19题5分，第20题6分，第21题5分，第22题4分）
19．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求证：
AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.
20.某种子培育基地用A、B、C、D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验，从
中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C型号种子的发芽率为94%.根
据实验数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．请你根据所给信息，解答下
列问题：
（1）D型号种子数是粒；
（2）请你将图2的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广；如果所选型号进行推广的种
子共有200000粒，估计能有多少粒种子会发芽.
图1图2
21.甲、乙同学帮助学校图书馆清点一批图书，已知甲同学清点200本图书与乙同学清
点300本图书所用的时间相同，且甲同学平均每分钟比乙同学少清点10本，求甲同
学平均每分钟清点图书的数量．
22．我们给出如下定义：
如果四边形中一对顶点到另一对
顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个
四边形的一对等高点.例如：
如图1,平行四边形ABCD
中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是
平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D
也是平行四边形ABCD的一对等高点.图1
（1）如图2，已知平行四边形ABCD,请你在图2中画出一个只有一对等高点的四
边形ABCE（要求：
画出必要的辅助线）；
（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别
探究图3、图4中S1,S2,S3,S4四者之间的等量关系（S1,S2,S3,S4分别表示△ABP,
△CBP,△CDP,△ADP的面积）：
①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是；
②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是.
图2图3图4
五、解答题（本题共22分,第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知:
关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc
（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式
的值；
（3）求证:
关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有两个不相等的实数根.
24．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.
原问题：
如图1，已知△ABC,∠ACB=90,∠ABC=45，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC，∠ADB=∠BEC=90，连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.
小慧同学的思路是：
过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问
题得解.
小东同学说:
我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30,∠ADB=∠BEC=60.
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
（2）如图2，若∠ABC=30，∠ADB=∠BEC=60，原问题中的其他条件不变，你在
（1）中得到的结论是否发生变化？
请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变，你在
（1）中
得到的结论是否发生变化？
请写出你的猜想并加以证明.
图1图2图3
25．已知抛物线经过点A（0,4）、B（1,4）、C（3,2），与x轴正半轴交于点D.
（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；
（3）在
（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC,与BE、CE分别交于
点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△EFG.设P（x,0）,△EFG与四边形FGCB
重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
数学参考答案及评分标准2009.5
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1．D2．B3．C4.C5．B6．B7．A8．C
二、填空题（本题共16分,每小题4分）
9．210．611．
12．（3，2）；（55，
）
三、解答题（本题共30分,每小题5分）
………………………………………………………4分
………………………………………………………5分
14.解：
解不等式①，得x>2;……………………………………………………2分
解不等式②，得x<3.……………………………………………………4分
所以原不等式组的解集为215．证明：
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF.
∴BF=EC.…………………1分
在△ABF和△DEC中，
…………………3分
∴△ABF≌△DEC.…………………………………………………………4分
∴AF＝DC.…………………………………………………………5分
16.解:
…………………………………………1分
…………………………………………………………3分
…………………………………………………………4分
．…………………………………………………………5分
17．解：
依题意，点（2，0）在直线y=-2x+m上，
∴0=-2×2+m.…………………………………………………………………1分
∴m=4.…………………………………………………………………………2分
由直线l与直线y=3x平行，可设直线l的解析式为y=3x+n.………………3分
∵点（2，0）在直线l上,
∴0=3×2+n.
∴n=-6.…………………………………………………………………4分
故直线l的解析式为y=3x-6.…………………………………………………5分
18.解:
过点B作BE⊥AC于E,则∠AEB=∠BEC=90.…………………………1分
∵AB//DC,
∴∠BAE=∠ACD=30.
又∵AB=12,
∴EB=
=6,AE=
.………………………………………2分
在Rt△BEC中,∠BEC=90,
∴EC=
…………………………………………3分
∴AC=AE+EC=
+8.……………………………………………………4分
在Rt△ADC中,∠D=90,∠ACD=30,
∴AD=
……………………………………………………5分
四、解答题（本题共20分,第19题5分，第20题6分，第21题5分，第22题4分）
19．
（1）证明:
如图,连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE=90°.
∴∠EAB+∠E=90°.……………………1分
∵∠E=∠C,∠C=∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD=90°.
∴AD是⊙O的切线.……………………2分
（2）解：
由
（1）可知∠ABE=90°.
∵AE=2AO=6,AB=4,
∴
.…………………………………………………3分
∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,
∴
…………………………………………………4分
∴
∴
.…………………………………………………5分
20．解：
（1）400.………………………………………………………1分
（2）C型号种子的发芽数为470粒.图略.……………………………………3分
（3）A型号种子的发芽率为
，
B型号种子的发芽率为
D型号种子的发芽率为
，C型号发芽率为94%．
应选D型号的种子进行推广．…………………………………………5分
200000×95%=190000（粒）.
估计能有190000粒种子会发芽.…………………………………………6分
21.解：
设甲同学平均每分钟清点图书
本，则乙同学平均每分钟清点图书（x+10）本，
依题意，得
．………………………………………………2分
解得x=20.……………………………………………………………………3分
经检验x=20是原方程的解，且符合题意．………………………………………4分
答：
甲同学平均每分钟清点图书20本．…………………………………………5分
22．解：
（1）比如：
或………………1分
（2）①S1+S4=S2+S3,S1+S3=S2+S4或S1S3=S2S4或
等.……………2分
②S1S3=S2S4或
等.……………………………………………4分
五、解答题（本题共22分,第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23.
（1）解：
由kx=x+2，得（k-1）x=2.
依题意k-1≠0.
∴
.……………………………………………………………1分
∵方程的根为正整数，k为整数,
∴k-1=1或k-1=2.
∴k1=2,k2=3.……………………………………………………………2分
（2）解：
依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0），
∴0=a-b+kc,kc=b-a.
∴
=
…………………………3分
（3）证明：
方程②的判别式为Δ=（-b）2-4ac=b2-4ac.
由a≠0,c≠0,得ac≠0.
（i）若ac<0,则-4ac>0.故Δ=b2-4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数
根.………………………………………………………………4分
（ii）证法一:
若ac>0,由
（2）知a-b+kc=0,故b=a+kc.
Δ=b2-4ac=（a+kc）2-4ac=a2+2kac+（kc）2-4ac=a2-2kac+（kc）2+4kac-4ac
=（a-kc）2+4ac（k-1）.…………………………………………………5分
∵方程kx=x+2的根为正实数，
∴方程（k-1）x=2的根为正实数.
由x>0,2>0,得k-1>0.…………………………………………………6分
∴4ac（k-1）>0.
∵（a-kc）20,
∴Δ=（a-kc）2+4ac（k-1）>0.此时方程②有两个不相等的实数根.…………7分
证法二:
若ac>0,
∵抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点,
∴Δ1=（-b）2-4akc=b2-4akc0.
（b2-4ac）-（b2-4akc）=4ac（k-1）.
由证法一知k-1>0,
∴b2-4ac>b2-4akc0.
∴Δ=b2-4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数根.…………………7分
综上,方程②有两个不相等的实数根.
24.解:
（1）DF=EF.………………………………………………………………1分
（2）猜想：
DF=FE.
证明：
过点D作DG⊥AB于G,则∠DGB=90.
∵DA=DB,∠ADB=60.
∴AG=BG,△DBA是等边三角形.
∴DB=BA.
∵∠ACB=90,∠ABC=30,
∴AC=
AB=BG.…………………………………………………………2分
∴△DBG≌△BAC.
∴DG=BC.……………………………………………………3分
∵BE=EC,∠BEC=60,
∴△EBC是等边三角形.
∴BC=BE,∠CBE=60.
∴DG=BE,∠ABE=∠ABC+∠CBE=90.
∵∠DFG=∠EFB,∠DGF=∠EBF,
∴△DFG≌△EFB.
∴DF=EF.……………………………………………………4分
（3）猜想：
DF=FE.
证法一：
过点D作DH⊥AB于H,连接HC,HE,HE交CB于K,则∠DHB=90.
∵DA=DB,
∴AH=BH,∠1=∠HDB.
∵∠ACB=90,
∴HC=HB.
∵EB=EC,HE=HE,
∴△HBE≌△HCE.……………………………5分
∴∠2=∠3,∠4=∠BEH.
∴HK⊥BC.
∴∠BKE=90.……………………………6分
∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC,
∴∠HDB=∠BEH=∠ABC.
∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90，
∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90.
∴DB//HE,DH//BE.
∴四边形DHEB是平行四边形.
∴DF=EF.………………………………………………………………………7分
证法二：
分别过点D、E作DH⊥AB于H,EK⊥BC于K,连接HK,则
∠DHB=∠EKB=90.
∵∠ACB=90,
∴EK//AC.
∵DA=DB,EB=EC,
∴AH=BH,∠1=∠HDB,
CK=BK,∠2=∠BEK.
∴HK//AC.
∴点H、K、E在同一条直线上.…………………5分
下同证法一.
25．解:
（1）依题意,设所求抛物线的解析式为
则
………………1分
∴所求抛物线的解析式为
.……………………………………2分
由
解得x1=4,x2=-3.
∴D（4,0）.…………………………………………………………………………3分
（2）如图,过点C作CN⊥x轴于N,过点E、B分别
作x轴、y轴的垂线，两线交于点M.
∴∠M=∠CNE=90°.
设E（a,0）,EB=EC.
∴BM2+EM2=CN2+EN2.
∴
.
解得a=-1.
∴E（-1,0）.……………………………4分
（3）可求得直线BC的解析式为y=-x+5.
从而直线BC与x轴的交点为H（5,0）.
如图，根据轴对称性可知S△EFG=S△EFG,
当点E在BC上时，点F是BE的中点.
∵FG//BC,
∴△EFP∽△EBH.
可证EP=PH.
∵E（-1,0）,H（5,0）,
∴P（2,0）.……………………………5分
（i）如图,分别过点B、C作BK⊥ED于K,
CJ⊥ED于J,
则
.
当-1∵PF//BC,
∴△EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC.
∴
∵P（x,0）,E（-1,0）,H（5,0）,
∴EP=x+1,EH=6.
∴
.…………………6分
（ii）如图，当2QM//FG,分别交EB、EC于M、N.
可证S=S四边形MNGF,△ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC.
∴
∵P（x,0）,E（-1,0）,H（5,0）,
∴EH=6，PQ=PH=5-x,EP=x+1,
EQ=6-2（5-x）=2x-4.
∴
……………7分
同（i）可得
，
∴
.…………8分
综上，
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