ìî
1üý2þ
C.AICRB=íx|x<
ìî
1üý2þ
D.(CRA)UB=R
3.f(x)是R上奇函数,对任意实数x都有f(x)=-f(x-),当xÎ(,)时,32
1322
f(x)=log2(2x-1),则f
(2018)+f
(2019)=(A.0B.1C.-1)D.2
2
4.在区间[0,1]上随机取两个数a,b,则函数f(x)=x+ax+
A.
112
B.
23
C.
16
1b有零点的概率是(41D.3)
5.下列说法中正确的是()
2①“"x>0,都有x-x+1³0”的否定是“$x0£0,使x02-x0+1<0”.
②已知{an}是等比数列,Sn是其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列.③“事件A与事件B对立”是“事件A与事件B互斥”的充分不必要条件.④已知变量x,y的回归方程是$y=200-10x,则变量x,y具有负线性相关关系.A.①④B.②③C.②④)D.③④
A.20,5
B.20,4
C.16,5
D.16,4
7.古代数学著作《九章算术》有如下问题:
“今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺。
蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?
”.意思是:
“今有蒲草第一天,长为3尺;莞生长第一天,长为1尺.以后蒲的生长长度逐天减半,莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等?
”以下给出了问题的4个解,其精确度最高的是(结果保留一位小数,参考数据:
lg2»
0.30,lg3»
0.48)
(A.
1.3日B.
1.5日)C.
2.6日D.
3.0日
222
8.在DABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=ac,a+bc=c+ac,则
c的值为(bsinB12)
A.
B.
32
C.2
D.
233
9.某几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为()
A.3p+42
B.4(p+2+1)
C.4(p+2)
D.4(p+1)5
10.(x+)
(2x-)的展开式中各项系数之和为2,则该展开式中常数项为(1x
ax)
A.-40
B.-20
C.20
D.40
11.若函数f(x)的导函数f'
(x)=Acos(wx+j)(A>0,w>0,j<如图所示,g(x)=f(x-
p
2),f'
(x)的部分图象)
éppù),当x1,x2Îê-,ú时,则g(x1)-g(x2)的最大值为(12ë123û
p
A.
3+12
B.3+1
C.
32
D.3
12.已知函数f(x)=
12ax-(x-1)ex(aÎR),若对任意实数x1,x2,x3Î[0,1],都有2)D.[1,4]
f(x1)+f(x2)³f(x3),则实数a的取值范围是(A.[1,2]B.[e,4)
C.[1,2)U[e,4]
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知a=(2,0),b=(1,2),实数l满足a-lb=5,则l=
r
r
r
r
.
ìïx³1ïy-1
14.实数
x、y满足íx+y£3,则的取值范围是x+1ï1ïy³x-1î2
.
24
E、F分别为棱BB1、D1C1的
15.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长为,侧棱长为,中点,则四面体FECC1的外接球的表面积为.
16.已知双曲线C1,C2的焦点分别在x轴,y轴上,渐近线方程为y=±
1x,离心率分别为a
e1,e2.则e1+e2的最小值为
.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第
22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分
17.等差数列{an}的首项a1ÎN*,公差dÎç-,-÷,前n项和Sn满足S5=S12.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=
æ1è3
1ö5ø
ì1ü9-an,数列íý的前n项和为Tn,求证Tn<12.4îbnbn+2þ
18.习近平总书记在党的十九大工作报告中提出,永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下,全国人民积极工作,健康生活.当前,“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”,不少于10千步的人为“超健康生活方式者”,其他为“一般生活方式者”.某日,学校工会随机抽取了该校400名教职工,统计他们的日行步数,按步数分组,得到频率分布直方图如图所示:
(1)求400名教职工日行步数(千步)的样本平均数(结果四舍五入保留整数);
(2)由直方图可以认为该校教职工的日行步数x(千步)服从正态分布N(m,s),其中m为
2
样本平均数,标准差s的近似值为
2.5,求该校被抽取的400名教职工中日行步数(千步);xÎ(2,4,5)的人数(结果四舍五入保留整数)
(3)用样本估计总体,将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象,规定:
“不健康生活方式者”给予精神鼓励,奖励金额每人0元;
“一般生活方式者”奖励金额每人100元;
“超健康生活方式者”奖励金额每人200元.求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.附:
若随机变量x服从正态分布N(m,s2),则P(m-s 0.6826,P(m-2s 0.9544.
19.如图,在以
A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中,平面CDEF^平面ABCD,FC=FB,四边形ABCD为平行四边形,且ÐBCD=45o.
(1)求证:
CD^BF;
o
(2)若AB=2EF=2,BC=2,直线BF与平面ABCD所成角为45,求平面ADE与
平面BCF所成锐二面角的余弦值.
20.线段AB为圆M:
x2+y2+2x-10y+6=0的一条直径,其端点A,B在抛物线C:
x2=2py(p>0)上,且A,B两点到抛物线C焦点的距离之和为
(1)求直径AB所在的直线方程;
21.2
(2)过M点的直线l交抛物线C于P,Q两点,抛物线C在P,Q处的切线相交于N点,求DPQN面积的最小值.
21.已知函数f(x)=ax-x-ln(ax)(a¹0,aÎR).
2
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)讨论函数f(x)零点的个数.
(二)选考题:
共10分.请考生在
22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.
[选修4-4:
坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程是í
ìx=cosj(j为参数,0£j£p),在îy=2sinj以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程是r=4,等边DABC的顶点都在C2上,且点A,B,C依逆时针次序排列,点A的极坐标为(4,
(1)求点A,B,C的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求点P到直线BC距离的取值范围.
23.
[选修4-5:
不等式选讲]已知函数f(x)=x+2+2x+a,aÎR.
(1)当a=1,解不等式f(x)³2;
(2)求证:
f(x)³a-2-
p
6).
1
a.2
2018年安徽省“江南十校”综合素质检测数学(理科)解析及评分标准
一、选择题1-
5:
CBADD
二、填空题
13.l=1或l=-
三、解答题
17.解:
(1)∵S5=S12,∴5a1+10d=12a1+66d,得a1=-8d,6-
10:
ACDAD
11、12:
CD
15
14.ê-,úë42û
é31ù
15.17p
16.22
1188 ∵-
(2)∵bn=
9n11116-an,∴bn=-,∴=8(-),=44nn+2bnbn+2n(n+2)
Tn=
111++×××+b1b3b2b4bnbn+2
11111111111=8(1-+-+-+-+×××-+-)3243546n-1n+1nn+2111=8(1+--)<12.2n+1n+2
18.解:
(1)
x=
0.04´1+
0.08´3+
0.16´5+
0.44´7+
0.16´9+
0.1´11+
0.02´13=
6.96»7.
(2)∵x:
N(7,2,5),∴P(
4.5 9.5)=
0.6826,P(2 0.9544,∴P(2 4.5)=
1(P(2 4.5 9.5))=
0.1359.2
走路步数xÎ(2,4,5)的总人数为400´
0.1359»54人.
(3)由题意知X的可能取值为400,300,200,100,0,21P(X=400)=C2´
0.122=
0.0144,P(X=300)=C2´
0.12´
0.76=
0.1824,12P(X=200)=C2´
0.12´
0.12+C2´
0.762=
0.6064,1P(X=100)=C2´
0.12´
0.76=
0.1824,P(X=0)=
0.122=
0.0144.
则X的分布列为:
X
P
0
100
200
300
400
0.0144
0.1824
0.6064
0.1824
0.0144
EX=400´
0.0144+300´
0.1824+200´
0.6064+100´
0.1824+0´
0.0144=200.
19.解:
(1)过F作FO^CD交CD于O,连接BO,由平面CDEF^平面ABCD,得FO平面ABCD,因此FO^OB.∴FB=FC,FO=FO,ÐFOC=ÐFOB=90o,∴DFOC@DFOB,∴OB=OC,由已知ÐDCB=45得DBOC为等腰直角三角形,因此OB^CD,又CD^FO,o
∴CD^平面FOB,∴CD^FB.
(2)∵AB//CD,ABË平面CDEF,CDÌ平面CDEF,∴AB//平面CDEF,∵平面ABEFI平面CDEF=EF,∴AB//EF,由
(1)可得OB,OC,OF两两垂直,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
o由题设可得ÐFBO=45,进而可得A,,,O-xyz,(1,-2,0)B(1,0,0)C(0,1,0)D(0,-1,0),E(0,-1,1),F(0,0,1),uruuururìì-x1+y1=0ïm×AD=0设平面ADE的法向量为m=(x1,y1,z1),则íuruuur,即í,ïîz1=0îm×DE=0ur可取m=(1,1,0),ruuurrìn×BC=0ì-x2+y2=0ï设平面BCF的法向量为n=(x2,y2,z2),则íruuu,即í,r-y+z=0n×CF=0ïî22î可取n=(1,1,1),r
urrurrm×n26则cos=urr=,=32×3m×n
∴二面角的余弦值为
6.3
20.解:
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线C的焦点为F,则AF+BF=y1+y2+p,又y1+y2=10,故10+p=于是C的方程为x2=y.
2ìy-y2ïx1=y1,则1=x1+x2=-2,í2x1-x2ïîx2=y2
211,∴p=,22
∴AB的直线方程为2x+y-3=0.
(2)不妨记P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),直线l的方程为y=k(x+1)+5,联立í
ìx2=yîy=k(x+1)+5
2得x-kx-k-5=0,则í
ìx1+x2=k22,PQ=1+k×k+4k+20,îx1×x2=-k-5
又因为y0-y1=2x1(x0-x1),则x12-2x0x1+y0=0,同理可得:
x22-2x0x2+y0=0,故x1,x2为一元二次方程x2-2x0x+y0=0的两根,∴í
ì2x0=x1+x2,îy0=-k-5
k2+2k+1021+k2
k2+4k+2021+k2
点N到直线PQ的距离d=
=,SDNPQ=
33111PQ×d=(k2+4k+20)2=[(k+2)2+16]2,244
∴k=-2时,DNPQ的面积S取得最值16.21.解:
(1)当a>0时,f(x)的定义域为(0,+¥),f'
(x)=2ax-1-
12ax2-x-1=,令2ax2-x-1=0得:
xx
x1=
1-1+8a1+1+8a<0,x2=>0,4a4a
∴f(x)的单调递增区间为(x2,+¥).当a<0时,f(x)的定义域为(-¥,0),f'
(x)=2ax-1-
12ax2-x-1=,xx
当D=1+8a£0即a£-时,f(x)的单调增区间为(-¥,0),当D>0,即-
18
12a (x)=(x-x1)(x-x2)
(x2 f(x)的单调递增区间为(-¥,x2)和(x1,0).
(2)由
(1)知当a£-时,f(x)在(-¥,0)内单调递增,f()=0,故f(x)只有一个零点x=当-
18
1a
1,a
1f()=0,知x1<-1,而 由a=
f(x1)=ax12-x1-ln(ax1)=
∵x1<-1,∴
1-x12x+ln
(1),2x1+1
2x1x-1-1=1>0,∴f(x1)>0,x1+1x1+1
1,a
∴当a<0时,函数f(x)只有一个零点x=当a>0时,令g(a)=f
(1)=a-1-lna,g'
(a)=
a-1,g(a)在(0,1)单调递减,在(1,+¥)单调递增,a,g(a)min=g
(1)=0,∴g(a)=f
(1)³0(当且仅当a=1时,等号成立)i)a>1时,1>
18a+1+11>,f()=0,f
(1)>0,a4aa
由
(1)函数单调性知,f(8a+1+18a+1+1)<0,所以函数在(,1)存在零点,4a4a
∴f(x)在(0,+¥)有两个零点.ii)0 18a+1+11<,f()=0,f
(1)>0,a4aa
同理可得函数在(1,8a+1+1)存在零点,4a
∴f(x)在(0,+¥)有两个零点.iii)a=1时,1f()=f
(1)=0,函数在(0,+¥)有一个零点.a
综上所述:
当a<0或a=1时,函数有一个零点,当a>0且a¹1时,函数有两个零点.
22.解:
(1)由x=rcosq,y=rsinq可得点A的直角坐标A(23,2),由已知,B点的极坐标为(4,C点的极坐标为(4,3p),同理可得C两点的直角坐标为C(0,-4).2
5p),可得B两点的直角坐标为B(-23,2),6
(2)BC直线的方程为3x+y+4=0,设点P(cosj,2sinj)(0£j£p),则点P到直线BC距离
d=
3cosj+2sinj+42
=
7sin(j+q)+42
(其中cosq=
23,sinq=),77
因为0£j£p,所以q£j+q£p+q,所以-
3£sin(j+q)£1,7
所以dÎ[4-34+7,].2
223.解:
(1)当a=1,f(x)=x+2+2x+1³2
1ì1ììx£-2ï-2 Ûx£-2或-2 1Ûx£-1或x³-,3
所以不等式的解集为{x|x£-1或x³-}.
(2)
13
13
f(x)=x+2+2x+a=x+2+|x+|+|x+|³|2-|+|x+
a2
a2
a2
aaa|³|2-|=|-2|222
111=|(a-2)-a|³|a-2|-|a|=|a-2|-|a|.222