多边形的相关概念教案.docx

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多边形的相关概念教案

多边形的相关概念

适用学科

数学

适用年级

初中二年级

适用区域

全国

课时时长（分钟）

60

知识点

多边形

多边形的对角线

多边形的内角和与外交和

平面镶嵌

教学目标

1、了解多边形的有关概念，认识多边形的边、内角、外角、顶点、对角线。

2、通过归纳，得出n边形对角线条数公式。

3、经历探索多边形的内角和公式的过程，了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，体会数学与现实世界的紧密联系。

4、会用多边形的对角线条数与内角和公式进行简单的计算与说理。

教学重点

1、多边形的有关概念：

多边形的边、内角、外角、顶点、对角线。

2、n边形对角线条数公式。

3、n边形的内角和公式。

教学难点

1、归纳得到n边形对角线条数公式。

2、探索多边形的内角和公式。

3、灵活运用多边形的对角线条数公式、内角和公式进行计算

教学过程

一、复习预习

三角形有三条边，三个角，一条对角线。

三角形内角和为180度。

三角形外交和为360度。

二、知识讲解

考点1多边形的相关概念

1、多边形：

由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。

2、多边形的边：

组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

3、多边形的顶点：

多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。

4、多边形的对角线：

连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

5、多边形的周长：

多边形各边的长度和叫做多边形的周长。

6、凸多边形：

把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。

　　说明：

一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形;有四条边的叫做四边形;有几条边的叫做几边形。

今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。

7、多边形的角：

多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。

8、多边形的外角：

多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。

　　注意：

多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。

考点2多边形中的公式

1、多边形内角和公式：

n边形的内角和等于（n-2）

18°

2、正n边形的内个内角等于

3、多边形的外角和为360°。

4、多边形对角线的条数：

（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形；

（2）n边形共有

条对角线

三、例题精析

【例题1】

【题干】四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（）

A．80°B．90°C．170°D．20°

【答案】A

【解析】点拨：

∠B=360°-（∠A+∠C+∠D）=360°-280°=80°．故选A．

【例题2】

【题干】一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（）

A．9B．8C．7D．6

【答案】B

【解析】设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180=1080．解得n=8．故选B．

【例题3】

【题干】内角和等于外角和2倍的多边形是（）

A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形

【答案】B

【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）·180=2×360．解得n=6．故选B．

【例题4】

【题干】四边形的四个内角可以都是锐角吗？

可以都是钝角吗？

可以都是直角吗？

为什么？

．

【答案】四边形的四个内角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角．

【解析】因为四边形的内角和为360°，如果四个内角都是锐角或都是钝角，

则内角和小于360°或大于360°，与四边形的内角和为360°矛盾．

所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角．

若四个内角都是直角，则四个内角的和等于360°，与内角和定理相符，

所以四个内角可以都是直角

【例题5】

【题干】已知：

如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？

为什么？

【答案】BE∥DF．

【解析】理由：

∵∠A=∠C=90°，

∴∠A+∠C=180°．

∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．

∵∠ABE=

∠ABC，∠ADF=

∠ADC，

∴∠ABE+∠ADF=

（∠ABC+∠ADC）=

×180°=90°．

又∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠AEB=∠ADF，

∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．

【例题6】

【题干】如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．

【答案】1.5

【解析】不能直接求出扇形的度数，用整体法圆与五边形重合部分的角度和正好是五边形的内角和．（5-2）×180°÷360°×12=1.5．

四、课堂运用

【基础】

1.正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．

答案：

144°；36°

解析：

正十边形每一个内角的度数为：

=144°，

每一个外角的度数为：

180°-144°=36°．

2.已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为（）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

答案：

C

解析：

设这个多边形的边数为n，

依题意，得（n-2）×180°=540°，解得n=5，故选C．

3.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是【】

A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形

答案：

A。

解析：

设此多边形是n边形，

∵多边形的外角和为360°，内角和为（n－2）180°，

∴（n－2）180=360，解得：

n=4。

∴这个多边形是四边形。

故选A。

【巩固】

1.求下列图形中x的值：

答案：

115°

解析：

（1）90+70+150+x=360．

解得x=50．

（2）90+73+82+（180-x）=360．

解得x=65．

（3）x+（x+30）+60+x+（x-10）=（5-2）×180．

解得x=115．

2.已知正n边形的一个内角为135º，则边数n的值是【】

A．6B．7C．8D．9

答案：

C。

解析：

根据多边形内角和定理，得

，解得n=8。

故选C。

3.

（1）四边形有几条对角线？

五边形有几条对角线？

六边形有几条对角线？

……

猜想并探索：

n边形有几条对角线？

（2）一个n边形的边数增加1，对角线增加多少条？

答案：

（1）2，5，9，

（2）

解析：

（1）四边形有2条对角线；

五边形有5条对角线；

六边形有9条对角线；

……

n边形有

条对角线．

（2）当n边形的边数增加1时，对角线增加（n-1）条．

点拨：

从n边形的一个顶点出发，向其他顶点共可引（n-3）条对角线，n个顶点共可引n（n-3）条，但这些对角线每一条都重复了一次，故n边形的对角线条数为

．

【拔高】

1.（2012江苏南京2分）如图，

、

、

、

是五边形ABCDE的4个外角，若

，则

▲

2.

答案：

300。

解析：

由题意得，∠A的外角=180°－∠A=60°，

又∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°－∠A的外角=300°。

2.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：

1，则下列结论正确的是【】

A．∠E=2∠K　　B．BC=2HI　　

C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长　　D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL

答案：

B。

解析：

A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本选项错误；

B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：

1，∴BC=2HI，故本选项正确；

C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：

1，∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；

D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：

1，∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误。

故选B。

3.如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=

　　度．

答案：

240°。

解析：

∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°。

∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°。

课程小结

多边形的相关概念

1、多边形

2、多边形的边

3、多边形的顶点

4、多边形的对角线

5、多边形的周长

6、凸多边形

7、多边形的角

8、多边形的外角

9、多边形的外角和为360°。

10、多边形对角线的条数：

（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形；

（2）n边形共有

条对角线

11、正n边形的内个内角等于

12、多边形内角和公式：

n边形的内角和等于（n-2）

18°

课后作业

【基础】

1.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是【】

A．4B．5C．6D．7

答案：

C。

解析：

∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°=720°，解得n=6。

∴这个多边形的边数是6．故选C。

2.正多边形的一个外角等于30°．则这个多边形的边数为【】

A．6B．9C．12D．15

答案：

C。

解析：

正多边形的一个外角等于30°，而多边形的外角和为360°，则：

多边形边数=多边形外角和÷一个外角度数=360°÷30°=12。

故选C。

3.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形是______边形．

答案：

八．

解析：

试题分析：

n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解即可，设多边形的边数为n，依题意，得

（n﹣2）•180°=3×360°，

解得n=8．

故答案是八．

4.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为【   】

A．5

B．5或6

C．5或7

D．5或6或7

答案：

D。

解析：

首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数

设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=720，解得：

n=6。

若截去一个角的多边形的直线经过两个顶点，则原多边形是七边形；

若截去一个角的多边形的直线经过一个顶点，则原多边形是六边形；

若截去一个角的多边形的直线不经过顶点，则原多边形是五边形。

∴原多边形的边数为5或6或7。

故选D。

【巩固】

5.若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（   ）

A．2：

1    B．1：

1     C．5：

1      D．5：

4

 答案：

D

解析：

多边形的内角与相邻的外角互为邻补角．若一个内角与一个外角的度数之比是2：

1，则外角是180°×

=60°，多边形的边数为360°÷60°=6；用同样的方法，当比值是1：

1时，多边形的边数是4；当比值是5：

1时，多边形的边数是12；当比值是5：

4时，多边形的边数是4．5，与实际情况不符合，所以本题答案是D．

6.阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在每个顶点的周围正方形、正三角形地砖的块数可以分别是（   ）

A．2，2

B．2，3

C．1，2

D．2，1

答案：

B

解析：

本题考查了平面镶嵌的条件

正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为

．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．

正三角形的每个内角是

，正方形的每个内角是

，

∵

，

∴正方形、正三角形地砖的块数可以分别是2，3．

故选B．

7.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能（  ）

A．都是钝角;

B．都是锐角

C．是一个锐角、一个钝角

D．是一个锐角、一个直角

答案：

C

解析：

本题主要考查了多边形的内角和外角.记住四边形的内角和是360°这一特征．

解：

∵该四边形的一组对角都是直角，

∴另一组对角的和是360°-180°=180°．

A、若另一组对角都是钝角，那么它们的和就大于180°；

B、若另一组对角都是锐角，那么它们的和就小于180°；

C、若另一组对角中一个锐角和一个钝角，那么它们的和有可能等于180°；

D、若另一组对角中一个直角和一个锐角，那么它们的和小于180°；

故选C．

8.如图，若

，那么

等于（　　）

A．

B．

C．

D．

答案：

C

解析：

本题主要考查了多边形的外角和内角.根据外角都等于不相邻的两内角和以及四边形的内角和求解

解：

设FC与AE、BD相交于M、N点

∴∠FME=∠E+∠C,∠CND=∠F+∠D

∵∠FME=∠AMN,∠CND=∠BNM

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°=

90°

∴n=4

故选C

9.一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的一个多边形的内角和是

，那么原多边形的边数是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案：

B

解析：

本题主要考查了多边形的内角和定理.一个多边形截取一个角（不过顶点）后，则多边形的角增加了一个，求出内角和是2520°的多边形的边数，即可求得原多边形的边数

解：

设内角和是2520°的多边形的边数是n．

根据题意得：

（n-2）•180=2520，

解得：

n=16．

则原来的多边形的边数是16-1=15．

故选B

【拔高】

10.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°,那么这个多边形的边数最少为________.

答案：

9

解析：

本题主要考查了多边形的内角和外角.根据多边形的外角和定理，列出不等式即可求解．

解：

因为n边形的外角和是360度，每一个内角都大于135°即每个外角小于45度，

就得到不等式：

＜45，解得n＞8．

因而这个多边形的边数最少为9．

11.一个四边形的内角的度数的比是

，求它的最大内角和最小外角的度数．

答案：

最大内角为

，最小外角为

解析：

本题主要考查了多边形的外角和内角.设四边形4个内角的度数分别是3x，4x，5x，6x，所以3x+4x+5x+6x=360°，即可求解．

解：

设四边形4个内角的度数分别是3x，4x，5x，6x，

∴3x+4x+5x+6x=360°，

解得x=20°．

则最大内角为20×6=120°．最小外角为60°

12.如图，六边形ABCDEF各内角相等，∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？

AD与BC有怎样的位置关系？

为什么？

答案：

AB∥DE，AD∥BC

解析：

此题主要考查了多边形内角和定理以及平行线的判定

根据已知得出六边形ABCDEF的每一个内角都相等120°，再利用∠1=∠2=60°，得出∠EDA=∠DAB=60°，即可得出AB∥DE，再利用已知得出∠2+∠C=180°，得出AD∥BC．

AB∥DE，AD∥BC，

∵六边形ABCDEF的内角都相等，

∴六边形ABCDEF的每一个内角都相等120°，

∴∠EDC=∠FAB=120°，

∵∠1=∠2=60°，

∴∠EDA=∠DAB=60°，

∴AB∥DE，

∵∠C=120°，∠2=60°，

∴∠2+∠C=180°