一元二次方程全章学案.docx
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一元二次方程全章学案
3.1一元二次方程
【学习目标】
1.认识一元二次方程，会辨认一元二次方程。
2.学会把一元二次方程化成一般形式，并能找出一元二次方程系数、一次项系数和常数项。
3.感悟一元二次方程与实际生活的密切关系。
【重点难点】
一元二次方程及其有关概念
【学习过程】
一.知识回顾：
一元一次方程：
分式方程：
二.自主探究：
（一）一元二次方程的概念
1.自学课本76页内容，得到的三个方程分别是：
①
②③
2.整理这三个方程，使方程的右边为0，并左边按x的将幂排列。
①②③
这三个方程的共同特点：
3.像这样的方程叫做一元二次方程。
对应练习：
1.下面的方程是一元二次方程吗？
为什么？
（1）x2-9=0
（2）y2-4y=0（3）1／3x-x2=0
（4）4s（s-1）=4s2+2（5）3x+x2-1=0（6）3x3-4x2+1=0
2.关于x的方程（a-1）x2-3ax+5=0是一元二次方程，这时的取值范围是___________
（二）一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为___________________，二次项是________,一次项是________，常数项是_______，其中a称为__________b称为__________.
对应练习：
1.一元二次方程3x2=5x的一般形式为____________，二次项系数为__________一次项系数为__________常数项为__________.
2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数，常数项。
①3x（x+1）=4（x-2）②（x+3）2=（x+2）（4x-1）
③2（y+5）（y-1）=y2-8④2t=（t+1）2
三.课堂小结：
四.当堂检测：
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）
Aax2+bx+c=0Bk2x+bk+6+0C3x2+2x+1=0D（m2+3）x2+3x-2=0
2.方程（3x-1）（2x+4）=1化为一般形式是其中二次项系数为_________，一次项系数为______，常数项为_______.
3.小明家有一块长150㎝，宽100㎝的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来了工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后的面积是原地毯面积的2倍，若设花色地毯的宽为x㎝，则根据题意，可列方程为____________________,并化成一般形式
3.2用配方法解一元二次方程
（1）
【学习目标】
1.知道什么叫开平方法。
2.学会利用开平方的方法解一元二次方程。
【重点难点】
开平方法解一元二次方程
【学习过程】
一.复习回顾：
1.平方根的定义____________________________。
2.求下列各数的平方根：
4，6，0，12.
3.负数有没有平方根？
相关知识链接：
为美化校园，我校决定将校园中心边长为40米的正方形草坪扩为面积为2500平方米的正方形，请同学们计算一下边长应该增加多少？
解：
设边长应增加x米，根据题意可列方程_________________________________
同学们思考，怎样解这个方程？
二.探求新知：
自学课本80页内容，再根据平方根的意义，解下列方程
①x2=9②x2=6③（x+3）2=1④（x-2）2=2
方法总结：
通过学习，总结以上各题的特点：
1.如果一个一元二次方程一边是____________________
另一边是_____________________________就可以用开平方法求解。
2.利用开平方解一元二次方程，一定注意方程有__________个解。
三.典型例题：
例1.解方程：
4x2-7=0
对应练习：
解方程
①49x2=25②0.5x2-32=0③2x2=3④9x2-8=0
例2.9（x-1）2=25
对应练习：
（1）（x+1）2=16
（2）（6x-1）2=81
四、小结：
五、当堂测试：
1.下列方程，能否用开平方法求解。
（1）2x2=1
（2）3x2+1=0（3）9（x-2）2=25（4）x2-4x+4=9
2.利用开平方法解方程：
（1）4x2=9
（2）2（x-3）2=8
3.解方程：
（x+
）（x-
）=2
3.2用配方法解一元二次方程
（2）
【学习目标】：
1.知道配方法与开平方法的关系。
2.学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
3.归纳配方法解一元二次方程的一般步骤，并熟练解方程。
【重点难点】
用配方法解一元二次方程
【学习过程】
一.拓通准备：
1.回顾开平方法解方程，方程具备的特点：
__________________.
2.添加适当的数，使下列等式成立。
（1）x2+6x+_______=（x+3）2
（2）x2+18x+______=（x+____）2
（3）x2-16x+______=（x-____）2（4）x2+Px+______=（x+____）2
（5）x2-x+______=（x-____）2
二.探求新知：
1.观察方程：
x2+10x+25=26，左边可以变成______________,原方程变成__________,用开平方法解这个方程。
2.观察方程x2+10x=1,它与上述方程有哪些相同和不同?
怎样变化就可以得到方程一的形式
3.总结上述方程解法中，关键是哪一步？
具体做法是什么？
_____________________________________________________________________.
4.什么是配方法？
______________________________________.
三.典型例题：
用配方法解方程：
（1）x2-3x=-2
（2）x2-6x+8=0
方法总结：
1.用配方法解一元二次方程时，常数项和一次项系数有什么关系？
2.用配方法解一元二次方程的具体步骤：
___________________________________.
对应练习：
用配方法解下列方程：
（1）x2+4x=-3
（2）x2-6x=7（3）Y2=3Y-2（4）x2+12x+1=0
四.拓展延伸：
用配方法解方程：
（x+1）2+2（x+1）=8
五.课堂小结
六.当堂检测：
1.关于x的方程x2+a+1=2x有解得条件是（）
A.a＜0B.a＞0C.a为非负数D.a为非正数
2.填空：
（1）x2-7x+_____=（x-____）2
（2）x2+20x+_____=（x+____）2
3.利用配方法解下列方程：
（1）x2-3x+2=0
（2）x2-5x=6
4.在一块长35m,宽26m的矩形地面上，修建同样宽的
两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分
的面积为850㎡，道路的宽应为多少?
3.2用配方法解一元二次方程（3）
【学习目标】
1、学会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。
2、熟记配方法解一元二次方程的步骤。
3、体会配方法解一元二次方程的实际意义。
【重点难点】
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。
【学习过程】
一.拓通准备：
解方程：
x2+x-1=0
二.探求新知：
解方程：
2x2+3x-1=0
总结方法：
用配方法解一元二次方程时，一般先把二次项系数化为_________，然后把方程的_____________________移到方程的右边，再把左边配成一个_____________________，如果右边是________________，就可以进一步通过直接开平方求它的解.
三.自我训练：
用配方法解下列方程：
（1）3Y2-12=2Y
（2）3x2-5x-2=0（3）3x2+4x-1=0（4）2x2-2
x+1=0
四.能力提升：
1.用配方法解方程x（2x-1）=3
2.实际应用：
当x取何值时，2x2-3x+1的值等于3.
五.拓展延伸：
如果P与ｑ都是常数，且P2≥4ｑ,你会用配方法解关于x的一元二次方程x2+Px+ｑ=0吗？
试一试。
六.当堂达标：
1.用配方法解方程2x2-3=-6x,正确的解法是（）
A:
（x+
）2=
x=﹣
±
B:
（x-
）2=
x=
±
C:
（x+
）2=﹣
原方程无解。
D:
（x+
）2=
x=﹣
±
2.若用配方法解方程，2x2-
x-4=0时，原方程可变形为__________________.
3.用配方法解下列方程：
（1）3x2-6x=0
（2）2x2-7x+3=0
3.3用公式法解一元二次方程
（1）
【学习目标】
1.会用配方法解方程推导出一元二次方程的求根公式。
2.能利用一元二次方程根的判别式判断根的情况。
3.学会运用公式法解一元二次方程。
【重点难点】
重点：
用公式法解一元二次方程
难点：
用配方法解方程推导出一元二次方程的求根公式
【学习过程】
一.拓通准备：
1.配方法解一元二次方程的步骤：
2.运用配方法解方程ax2+bx+c=0（a,b,c都是常数，且a≠0）
归纳总结：
1.根据上题，得出一元二次方程的求根公式_________________________________________.
2.什么叫做公式法：
_______________________________.
3.一元二次方程根的判别式：
________________________.
4.根据判别式，怎样判断一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况：
当b2-4ac＞0,方程_____________________.当b2-4ac=0,方程________________________.
当b2-4ac＜0,方程_______________________.
二.自我尝试：
不解方程，根据判别式，判断一元二次方程根的情况。
（1）x2-
x=1=0
（2）x2-x+1=0（3）4x2-4x+1=0
三.典型例题：
用公式法解方程：
（1）2x2+5x-3=0
（2）4x2=9x
四.自我训练：
用公式法解方程
（1）x2+6x+5=0
（2）6Y2-13Y-5=0
（3）x2-3x-4=0（4）2x2+1=3x
五.小结：
六.当堂检测：
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c都是常数，且a≠0）的求根公式：
___________________________.用求根公式的前提条件是_____________
2.一元二次方程x2+2=2
x,其中a=____,b=____,c=___,b2-4ac=___.它的根是：
________.
3.下列一元二次方程中，没有实数根的是（_____）
A:
x2+2x-1=0B:
x2+
x+1=0C:
x2-2
x+2=0D:
-x2+x+2=0
4.解下列方程：
（1）2x2+11x+5=0
（2）5x2-2
x+3=0
3．3用公式法解一元二次方程
（2）
【学习目标】
1.会熟练地把一元二次方程化成一般形式。
2.巩固公式法解一元二次方程。
【重点难点】
公式法解一元二次方程
【学习过程】
一.拓通准备：
1.一元二次方程的一般形式：
____________________________.
2.一元二次方程的求根公式：
_____________________________.
3.解下列方程：
（1）x2-2x-3=0
（2）x2-
x+1=0：
二.自我尝试
（一）：
把下列方程化为一般形式，然后用公式法解下列方程。
（1）（x+1）（3x-1）=0
（2）4-（2-Y）2=0
自我训练：
解下列方程
（1）2x2+1=32x
（2）3x2+5（2x+1）=0
（3）（x+2）2-2x=3（4）x-2-x（x-2）=0
三.自我尝试
（二）
（1）（2x+1）2=2x+1
（2）（x+1）（x-1）=2
x
四.拓展思维：
1.已知方程x2+kx-6=0的一个根式2，求k及另一个根。
2.如果三角形的两边分别为1和2，第三边式方程2x2-5x+3=0的根，求这个三角形的周长。
五、小结：
六.当堂检测：
1.方程x（2x-1）=3（2x-1）的根是（）
A.
；B.3；C.
和3；D.
和-3.
2.三角形的两边长分别是8和6，第三边是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，求解这个三角形的面积
3.两数的和是-12，积是35，求这两个数。
4.公式法解方程：
（1）2x2+7x=4
（2）（x-2）（3x-5）=1
3.4用因式分解法解一元二次方程
【学习目标】
1.知道什么是因式分解法。
2.学会用因式分解法解特殊的一元二次方程。
3.通过因式分解法解一元二次方程，体会数学中的转化思想。
【重点难点】
重点：
因式分解法解方程
难点：
用因式分解法解特殊的一元二次方程
【学习过程】
一.拓通准备：
1.因式分解法：
_____________,_______________._______________,_______________.
2.把下列各式因式分解
（1）4x2-x
（2）9x2-4
（3）x2-4x+4（4）x2-5x+6
二.探求新知：
自学课本95页内容，归纳出：
1.什么是因式分解法：
_______________________________.
2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
___________________.
三.自我尝试：
直接写出下列方程的两个根：
（1）x（x-1）=0
（2）（y-2）（y+5）=0（3）t2=2t
（4）（x+1）（3x-2）=0（5）（x-
）（5x+
）=0
四.典型例题
例1：
用因式分解法解下列方程：
（1）15x2=6x=0
（2）4x2-9=0
对应练习：
解方程
（1）16x2+10x=0
（2）（y-3）2=1
例2：
解方程
（1）（2x-1）2=（x-3）2
（2）x2-4x+4=0
对应练习：
用因式分解法解方程：
（1）x-2-x（x-2）=0
（2）（x+1）2-25=0
（3）x2-5x+6=0（4）（2x+1）2-6（2x+1）+8=0
五、课堂小结
六.当堂检测：
1.（x+a）（x+b）=0与方程x2-x-30=0同解，则a+b等于（）
A、1B、-1C、11D、-11
2.用因式分解法解方程：
①x（x+3）=x+3②x2=8x③2x（2x+5）=（x-1）（2x+5）
3.5一元二次方程的应用
（1）
【学习目标】
1.能根据题意找出正确的等量关系.
2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题.
【重点难点】
列出一元二次方程解决实际问题
【学习过程】
前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。
想一想，列方程解应用题的关键是什么？
一、自主学习
例1.如图，有一块长40cm、宽30cm的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后拼成一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多少？
分析：
这个问题中的等量关系是：
解：
例2.如图，MN是一面长10m的墙，要用长24m的篱笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD.已知花圃的设计面积为45平方米，花圃的宽度应当是多少？
解：
设矩形花圃ABCD的宽为x（m），那么长____m.
根据问题中给出的等量关系，得到方程_________________________________.
解这个方程，得
＝ ，
＝
根据题意，舍去_________________.
所以，花圃的宽是________m.
二、对应练习
1.从一块正方形木板上锯掉2cm宽的矩形木条，剩余矩形木板的面积是48
.求原正方形木板的面积.
2.有一块矩形的草坪，长比宽多4m.草坪四周有一条宽2m的小路环绕，已知小路的面积与草坪的面积相等地，求草坪的长和宽.
三、课堂小结：
四、当堂检测
1.两个数的和是20，积是51，求这两个数.
2.
如图，道路AB与BC分别是东西方向和南北方向，AB＝1000m.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150m的速度向东跑；同时小亮从点B出发，
以每分钟200m的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，
他们之间的直线距离仍然是1000
？
3.5一元二次方程的应用
（2）
【学习目标】
1.会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题．
2.通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力．
【重点难点】
列一元二次方程解应用题．
【学习过程】
一.自主学习
例1.某工厂2002年的年产值为500万元，2004年的产值为605万元，求2002－2004年该
厂年产值的增长率.
提示：
如果设该厂2002－2004年产值的平均增长率为x，那么2003年的年产值为_____________________________，2004年的年产值为______________________________.
例2.某种药品原售价为每盒4元，两次降价后，每盒售价为2.56元，求该药品平均每次的降价率.
提示：
如果设该药品平均每次的降价率为x，那么第一次降价后该药品每盒的售价为______________，第二次降价后该药品每盒的售价为_________________.
二.自我练习
1.两个连续奇数的积是323，求这两个数.
2.将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
三.当堂小结
四.当堂检测
1.某农场的粮食产量在两年内从600吨增加到726吨，该农场平均每年的增长率是多少？
2.某农机厂一月份生产联合收割机300台，为了满足夏收季节市场对联合收割机的需求，三月份比一月份多生产132台，求二、三两个月平均每月的增长率.
3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数.
4.（山西）“五一”黄金周期间，某高校几名学生准备外出旅游，有两项支出需提前预算：
（1）备用食品费，购买备用食品共花费300元，在出发时，又有两名同学要加入（不再增加备用食品费），因此，先参加的同学平均每人比原来少分摊5元，现在每人需分摊多少元食品费？
（2）租车费：
现有两种车型可供租用，座数和租车费如下表所示：
车型
座数
租车费（元/辆）
A
7
500
B
5
400
请选择最合算的租车方案，（仅从租车费角度考虑）并说明理由。
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