概率论与数理统计习题解答.docx
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概率论与数理统计习题解答
《概率论与数量统计》第一章习题解答
1、写出下列随机试验的样本空间:
(1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。
(2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数。
(3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的产品记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果。
(4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标。
解:
(1)设该班有n人,则该班总成绩的可能值是0,1,2,……,100n。
故随机试验的样本空间S={i/n|i=0,1,2,……,100n}。
(2)随机试验白^样本空间S={10,11,12•,••…}。
(3)以0表示检查到一个次品,1表示检查到一个正品,则随机试验
的样本空间S={00,0100,0101,0110,0111,100,1010,1011,1100,1101,1110,1111}。
(4)随机试验白样本空间S={(x,y)|x2+y2<1}。
2、设A,B,C为三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件:
(1)A发生,B与C都不发生。
(2)A与B都发生,而C不发生。
(3)A,B,C中至少有一个发生。
(4)A,B,C都发生。
(5)A,B,C都不发生。
(6)A,B,C中不多于一个发生。
(7)A,B,C中不多于两个发生。
(8)A,B,C中至少有两个发生。
解:
(1)Abc⑵ABC⑶AUBUC(4)ABC
(5)ABC(6)abcUAbcUaBcUabC
(7)S-ABC(8)ABCUABCUAbCUaBC
3、
(1)设A,B,C为三个事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。
(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求AUB,在后,AUBUC,abc,ABC,ABuc的概率。
(3)已知P(A)=1/2,(i)若A,B互不相容,求P(Ab),(ii)若
P(AB)=1/8,求P(Ab)o
解:
(1)因为P(AB)=0,所以P(ABC)=0。
故P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。
(2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15,
P(AB)=1-P(AUB)=4/15,
=P
AUBUC
+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+
1/30=51/60,
P(ABC)=1-P(AUBUC)=3/20,
P(AbC)=P(AB)-P(ABC)=7/60,
P(ABUC)=P(Ab)+P(C)-P(abC)=4/15+1/5-7/60=7/20。
(3)⑴因为A,B互不相容,所以AB=O),P(AB)=0。
故P(Ab)
=P(A)-P(AB)=1/2。
(ii)P(Ab)=P(A)-P(AB)=1/2-1/8=3/8。
4、设A,B为两个事件。
(1)已知AB=AB,验证A=B。
(2)验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB)。
证明:
(1)A=A(BUB)=ABUAb=ABUaB=(AUa)B=B。
(2)因为AbaB=①,所以P(AbUaB)=P(Ab)+P(aB)-P(AbaB)=P(Ab)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)
=P(A)+P(B)-2P(AB)。
5、10片药片中有5片是安慰剂。
(1)从中任意抽取5片,求其中至少有2片是安慰剂的概率。
(2)从中每次取一片,作不放回抽样,求前3次都取到安慰剂的概率。
解:
(1)p=1-c;/C150-c5c:
/C150。
(2)p=A;/解。
6、在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码。
(1)求最小号码为5的概率。
(2)求最大号码为5的概率。
解:
(1)从10人中任选3人的选法有C;。
种。
要求最小号码为5,即有一个人的号码是5,其他两人的号码都在6到10之间。
故共有C;种不同的选法。
故最小号码为5的概率p=C;/C130。
(2)同理最大号码为5的概率p=C2/CM。
7、某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客。
问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所订颜色如数得到订货的概率是多少?
解:
p=C:
c3C3/喟。
8、在1500件产品中有400件次品、1100件正品。
任取200件。
(1)求恰有90件次品的概率。
(2)求至少有2件次品的概率。
解:
90110200
(1)I9990I十口口口J/睡一|^p=C400C1100/C1500O
/Q\左/b右2侔次R的木町宓n-1/020*******
(2),但21+口口口"饶—p_l"C1100/C1500-C400c1100/C15000
9、从5双不同的鞋子中任取4只。
问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?
解:
设A为事件”这4只鞋子中没有配成一双”,则事件“这4只鞋子中至少有两只配成一双”是其。
从10只鞋子中任取4只有4种取法,事件A的取法可以有10(第一只的取法)X8(第二只的取法,和第一只一双的那一只也不能取了)X6(第三只的取法)X4(第一只的取法)。
故P(A)=16尺/簿。
P(A)=1-P(A)=1-16a57a;0o
1R在11张卡片上分别写上probabiHty这11个字母,从中任意连抽7张,求其排列结果为ability的概率。
解:
从11个字母中选取7个字母有a7i种选法。
由于b和i各有两个,故排列ability共有4种不同的选法。
因此排列结果为ability的概率p=4/A71。
11、将3只球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为
1,2,3的概率。
解:
杯子中球的最大个数为1的概率p=A3/43。
杯子中球的最大个数为2的概率p=1--A:
/43-A:
/43。
杯子中球的最大个数为3的概率p=A:
/43。
12、50只钟钉随机地取来用在10个部件上,其中有3只钟钉强度太弱。
每个部件用3只钟钉。
若将3只强度太弱的钟钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱。
问发生一个部件强度太弱的概率是多少?
解:
一个部件强度太弱的事件相当于从50只钟钉中随机地选出的3只
钟钉恰好都是强度太弱的且装在了同一个部件上。
故P=C;0/C5。
P=C;0C27/C;0
3030
C50
1&一个俱乐部有5名一年级学生,2名二年级学生,3名三年级学生,
2名四年级学生。
(1)在其中任选4名学生,求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。
(2)在其中任选5名学生,求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。
解:
(1)在其中任选4名学生,求一、二、三、四年级的学生各一名的概^=c5c2c;c2c8/cA
(2)设事件A为“一年级有2名学生,其他年级各有一名",事件B为“二年级有2名学生,其他年级各有一名”,事件C为“三年级有2名学生,其他年级各有一名”,事件D为“四年级有2名学生,其他年级各有一名”,。
则A,B,C,D两两不相容,且P(A)=C;c2c;c2/Ci"
D(R、一「1c2「1c1/c5D(—「1c1「2c1/c5D(、一「1c1「2c2/c5
P\B7=C5c2c3c2/C12)P(C)=C5c2c3C2/C12>P(D)=C5c2c3C2/C12)
所以在其中任选5名学生,一、二、三、四年级的学生均包含在内的概
^=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=240/C152o
14
(1)已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求条件概率P(B|AUB)o
(2)已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,求P(AUB)。
解:
(1)因为P(B|AUB)=P(B(AUB))/P(AUB),P(AUB)=P(A)+P(B)-P(Ab)=1-P(a)+1-P(B)-0.5=0.8,P(B(AUb))=P(AB)=P(A)-P(Ab)=0.7-0.5=0.2,所以P(B|AUB)=0.25。
(2)因为P(B|A)=P(AB)/P(A),所以P(AB)=1/12。
又因为P(A|B)=P(AB)/P(B),所以P(B)=1/6。
故P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/3。
15掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的
概率(用两种方法)。
1&据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:
P{孩子得病}=0.6,P{母亲得病|孩子得病}=0.5,
P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4,求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解:
设事件A为“孩子得病”,事件B为“母亲得病”,事件C为“父亲得病”,则要求的概率为P(ABC)。
由已知,P(A)=0.6,P(B|A)=0.5,P(C|AB)=0.4,所以P(AB
C)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)[1-P(C|AB)]=0.6X0.5X0.6=0.1&
17、已知在10件产品中有2件次品,在其中取两次,每次任取一件,
作不放回抽样。
求下列事件的概率。
(1)两件都是正品。
(2)两件都是次品。
(3)一件是正品,一件是次品。
(4)第二次取出的是次品。
解:
设事件A为“第一件是正品”,事件B为“第二件是正品”,则
(1)两件都是正品的概率P(AB)=C;/C!
0(或=P(A)P(B|A)=4/5X7/9)。
(2)两件都是次品的概率P(AB)=C;/C1:
(或=P(A)P(B|A)=1/5x1/9)。
(3)一件是正品,一件是次品的概率P(AbUaB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=4/5X2/9+1/5X8/9。
(4)第二次取出的是次品的概率P(B)=P(Ab)+P(ab)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=4/5X2/9+1/5X1/9。
1&某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。
若已知最后一个数字是奇数,则此概率是多少?
解:
设A表示事件“第一次拨通所需电话”,B表示事件“第二次拨通所需电话”,C表示事件“第三次拨通所需电话”,D表示事件“拨号不超过三次接通所需电话"。
则D=AUaBUABC,所以P(D)=P(A)
+P(
AB)+P(ABC)=P(A)+P(A)P(B|A)+P(AB)P(C|AB)=P(A)+P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)P(C|AB)=1/10+9/10X1/9+9/10x8/9x1/8。
当已知最后一个数字是奇数时,则P(D)=1/5+4/5X1/4+4/5X3/4X1/3。
1H
(1)设甲袋中装有n只白球、m只红球;乙袋中装有N只白球、M只红球。
今从甲袋中任意取一只球放入袋中,再从乙袋中任意取一只球。
问取到白球的概率是多少?
(2)第一只盒子装有4只白球、5只红球;第二只盒子装有5只白球、
4只红球。
先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中,然后从第二个盒子中任取一只球。
求取到白球的概率。
解:
(1)设A表示事件“从甲袋中取到的是红球”,B表示事件“从乙袋中取到的是白球”。
则P(B)=P(AB)+P(AB)=+P(ABC)=P(A)
P(B|A)+P(A)P(B|A)=m/(m+n)xN/(M+N+1)+n/(m+n)乂(N+1)/(M+N+1)。
(2)设A表示事件”从第一个盒子中取到0个红球”,B表示事件“从
第一个盒子中取到1个红球”,C表示事件”从第一个盒子中取到2个红球”,D表示事件“从第二个盒子中取到白球”。
则P(D)=P(AD)+P(BD)+P(CD)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P
(D|C)
—p22xZ1112xZ122x「11
=C4/C9KC7/C11+C4C5/C9KC6/C11+C5/C9KC5,C11°
2R某种产品白商标是“MAXAM”,其中有2个字母脱落,有人捡起随意放回,求放回后仍“MAXAM”的概率。
解:
设A1,A2,A3,A4,A5分别为事件“脱落M、M”,“脱落A、A”,“脱落M、A”,“脱落M、X”,“脱落A、X”,。
D为事件“放回后仍为MAXAM因为P(AD=P(A2)=C;/C;,P(A3)=C;C2/C;,P(A4)=c;c;/c;,P(A5)=C;C2/C1,P(D|A1)=P(D|A2)=1,P5
(D|A3)=P(D|A/=P(D|A5)=1/2,所以P(D)=P(D|Ak)P(Ak)°k1
21、已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
解:
设A表示事件“选出的是男性”,H表示事件“选出的人是色盲患者”。
则已知条件P(A)=1/2,P(入)=1/2,P(H|A)=0.05,P(H|A)=0.0025。
由贝叶期公式可得P(A|H)=P(H|A)P(A)/[P(H|A)P(A)+P(H|A)P(A)]。
22、一学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为p,若
第一次及格则第二次及格的概率也为p;若第一次不及格则第二次及格
的概率为p/2。
11)若至少有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率。
(2)若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率。
解:
设事件A表示“第1次考试及格”,事件B表示“第2次考试及格”,事件C表示“他能取得某种资格”。
由已知条件可知,P(A)=p,P(B|A)=p,P(B|A)=p/2。
(1)因为C=AUAB,所以P(C)=P(A)+P(AB)=P(A)+P(a)P(B|A)=p+(1-p)p/2。
(2)P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(B|A)P(A)/[P(B|A)P(A)+
P(B|A)P(A)]=p2/[p2+(1-p)p/2]=2p/(p+1)。
23将两信息分别编码为A和B传送出去,接收站收到时,A被误收作B的概率是0.02,而B被误U^作A的概率是0.01。
信息A与信息B传送的频繁程度为2:
1。
若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?
解:
设A表示事件“将信息A传送出去产”,B表示事件“接收站收到的信息是A”。
则由已知,P(A)=2/3,P(B|A)=0.02,P(B|A)=0.01。
则P(A|B)
=P(AB)/P(B)=P(A)P(B|A)/[P(A)P(B|A)+P(a)P(B|a)]=2/3X0.98/[2/3X0.98+1/3X0.01]。
24有两箱同种类的零件,第一箱装50只,其中10只一等品;第二箱装30只,其中18只一等品。
今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中取零件两次,每次任取一只,作不放回抽样。
求
(1)第一次取到的零件是一等品的概率。
(2)在第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率。
解以H表示事件“从第一箱中取零件”,则月表示事件”从第二箱中取零件二由已知条件尸(H)=p(H)=1/2.又以从表示事件”第,,次从箱中(不放回抽样)取得的是一等品,,3=1,2.
(1)由条件F(AjH)=1/5,PtAjH)=3/5,故P(At)=P(AjH)P(H)+P(Aj月)P(后)
=1/10+3/10=2/5,
②箫要求的是P(A31A).因P(A21Al)
P(AJ
,而
P(AiAz>=P(AxA2\h)P(H)十P(AyA2\h)P(H)
由条件概率的含义,P(A]An|H)表示在第一箱中取两次,每次取一只产品,作不放回抽样,且两次都取得一等品的概率,因第一箱共有50只产品,其中有1。
只一等品.故有p(AiA/H)=4x言同理,P(AA|无)=修乂羔故有
P(AtAa)
P(AJ
=p(^i)EP(A1A21H)P(J+F(A1A2|H>P(H)]
2&病树的主人外出。
委托邻居浇水,设已知如果不浇水,树死去的概
率是0.8。
若浇水则树死去的概率是0.1S有0.9的把握确定邻居会记得浇水。
(1)求主人回来树还活着的概率。
(2)若主人回来树已死去,求邻居忘记浇水的概率。
27、设本题涉及的事彳^均有意义。
没A,B都是事件。
(1)已知P(A)>0,证明P(AB|A)三P(AB|AUB)。
(2)若P(A|B)=1,证明P(B|A)=1。
(3)若设C也是事件,且有P(A|C)三P(B|C),P(A|C)三P(B|C),证明P(A)三P(B)。
2&有两种花籽,发芽率分别为0.8,0.9,从中各取一颗,设各花籽是
否发芽相互独立。
求
(1)这两颗花籽都能发芽的概率。
(2)至少有一颗能发芽的概率。
(3)恰有一颗能发芽的概率。
2a根据报道美国人血型的分布近似地为:
A型为37%,O型为44%,
B型为13%,AB型06%。
夫妻拥有的血型是相互独立的。
(4)B型的人只有输入B、O两种血型才安全。
若妻为B型,夫为何种血型未知,求夫是妻的安全输血者的概率。
(2)随机地取一对夫妇,求妻为B型夫为A型的概率。
(3)随机地取一对夫妇,求其中一人为A型,另一人为B型的概率。
(4)随机地取一对夫妇,求其中至少有一人是O型的概率。
3R
(1)给出事件A、B的例子,使得(i)P(A|B)
(ii)P
(A|B)=P(A)。
(iii)P(A|B)>P(A)。
(2)设事件A,B,C相互独立,证明(i)C与AB相互独立。
(ii)C与AUB相互独立。
(3)设事件A的概率P(A)=0,证明对于任意另一事件B,有A,B相互独立。
(4)证明事件A,B相互独立的充要条件是P(A|B)=P(A|B)。
31、设事件A,B的概率均大于零,说明以下的叙述
(1)必然对。
(2)必然错。
(3)可能对。
并说明理由。
(1)若A与B互不相容,则它们相互独立。
(2)若A与B相互独立,则它们互不相容。
(3)P(A)=P(B)=0.6,且它们互不相容。
(4)P(A)=P(B)=0.6,且它们相互独立。
32、有一种检验艾滋病毒的方法,其结果有概率0.005报导为假阳性(即不带艾滋病毒的人被认为带艾滋病毒)。
今有140名不带艾滋病毒的正常人全部接受此种检验,被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少?
3&盒中有编号为1,2,3,4的4只球,随机地自盒中取一只球,事件A为“取得的是1号或2号球”,事件B为“取得的是1号或3号球”,事件C为“取得的是1号或4号球”。
验证:
P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),但P(ABC)?
P(A)P(B)P(C),
即事件A,B,C两两独立,但A,B,C不是相互独立的。
35如果一危险情况C发生时,一电路闭合并发出警报,我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。
在C发生时这些开关每一个都应完全,且若至少一个开关闭合了,警报就发出,如果两个这样的开关并联连接,它们每个具有0.96的可靠性(即在情况C发生时闭合的概率),问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少》如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统,则至少需要用多少开关并联?
设各开关闭合与否是相互独立的。
3&三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,
1/3,1/4。
问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?
设Ai={第i人能破译}(i=1,2,3),则
力)
1P(AA2A3)1P(A)P(A2)P(A3)
0.6
中装有2只蓝球,3只绿球,4只白球。
独立地分别在两只盒子中各取一只球。
(1)求至少有一只蓝球的概率。
(2)求有一只蓝球一只白球的概率。
(3)已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率。
解以耳记事件“从第f只盒子中取得一只蓝球”,以巴记事件“从第t只盒子中取得一只白球”,£=1.2.由题设在不同盒子中取球是相互独立的.
(1)即需求P(马U玛).利用对立事件来求较方便,即有
p⑵Ub2)=1-f(瓦TT瓦)=1-p(瓦瓦)
=1-P区)P(瓦)=1-方得=/
(2)即需求事件归iWaU玛Wi的概率,注意到6〉印i是互
不相容的,即H]Wj=0,因而(以/MB,%)=0,故有
P(%/U为印I=P(BiW2)+P(鸟叫)
=P(B1)P(W2)十尸(B^P(巴)
一3乂42216
-7X7+7X763
(3)即需求条件概率力=P(B.W2uB?
WjEiUb2).因
(%%Uu比,故有
P=PHB1W2u%/MB]u殳)ub2)=P(%W工UB2WO/P(B}u叫)=16/35,
3&袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),在袋中任取一枚,将它投掷r次,已知每次都得到国徽。
问这枚硬币是正品的概率为多少?
【解】设八={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品}
由题知
/、mn
P(B),P(B)——
mnmn
1
P(A|B)2t,P(A|B)1
P(B|A)
P(AB)
P(A)
则由贝叶斯公式知
P(B)P(A|B)
P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)
ma1
mn12rm
m11n1m2rn
mn'2rmn,
3a设根据以往记录的数据分析,某船只运输的某种物品损坏的情况共
有三种:
损坏2%(这一事件记为A),损坏10%(事件B),损坏90%
(事件C),且知P(A)=0.8,P(B)=0.15,P(C)=0.05。
现在从已
被运输的物品中随机地取3件,发现这3件都是好的(这一事件记为D)。
试求P(A|D),P(B|D),P(C|D)(这里设物品件数很多,取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率)。
解在被运输的物品中,随机取3件,相当于在物品中抽取3次,每次取一件,作不放回抽样.又根据题中说明抽取一件后,不影响取后一件是否为好品的概率,已知当A1发生时,一件产品是好品的概率为1-2%=0.98,从而随机取3件,它们都是好品的概率为U.99,即
=0,兜3,同样
P(B\A2)=O.9\P(B|A3)=0.13,又知
F(4)=0.8,P(A2)=0.15,P(A3)=0.05.
现在A6二0,£#人心j=1,2,3,且尸(A】UA之UA3)=F(A1+P(A/+F(A1=1,由教材23页的附注知道此时全概奉公式、贝叶斯公式都能够应用,由贝叶斯公式得到
P(A/b)
p(bMi〉p(aj
~P(B\Al)P(A~)+pCb\A2)P(A2)+P(B|A3)P(Aj
=蹴"。
皿
门%归)=脸*0.1268,P(AJb)="温°$=O.OOOL.
40将A、B、C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为a,而
输出为其他一字母的概率都是(1-a)/2。
今将字母串AAAA,BBBB,
CCCC之一输入信道,输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p,q,
r(p+q+r=1),已知输出为ABCA,问输入的是AAAA的概率是多少?
(设信道传输各个字母的工作是相互独立的)
解以A】、Bi、Cl分别表示事件“输入AAAA,"输入
BBBB”「输入(XCC”,以D表示事件“输出ABCA”.
B],C]两两互不相容,且有