傅里叶光学.docx
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傅里叶光学
傅里叶光学
实验题目:
傅里叶光学
实验目的:
傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter）用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息理论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理:
我们知道一个复变函数f（x,y）的傅立叶变换为（,）,,{f（x,y）},（,）exp[,2（，）]Fuvfxyi,uxvydxdy
（1）,,
F（u,v）叫作f（x,y）的变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f（x,y）叫做原函数，也可以通过求F（u,v）逆傅立叶变换得到原函数f（x,y），
1
（2）f（x,y）,,{F（u,v）},F（u,v）exp[i2,（ux，vy）]dudv,,
在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。
逆傅里叶变换公式
（2）说明一个空间函数f（x,y）可以表示成无穷多个基元函数exp[i2（ux+vy）]的线性叠加，是相应于空间频率u,v的权重，F（u,v）称为F（u,v）dudv
f（x,y）的空间频谱。
,{f（x,y）,g（x,y）},,{f（,,,）g（,,x,,,y）d,d,},F（u,v）G（u,v）（20）,,
在光学成像的过程中如果将一个平面图形放在一个理想的透镜（傅立叶变换透镜）的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到它的准确的傅立叶变换，即得到它的频谱函数。
反之如果将一个平面图形的频谱放在一个理想的透镜的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到此平面图形（不过图形的坐标要反转）。
从电子学的通讯理论我们知道，如果对信号的频谱进行处理（如滤波处理）再将信号还原就可以改变信号的性质，如去除信号的噪声等等。
因此等效地可以在透镜的后焦平面上放置各种形状和大小的光阑改变图形的频谱，再对此图形用第二个透镜成像就可以对图形进行处理，得到经过处理的图形。
这个过程叫作光学信息处理，在透镜的后焦平面上放置的光阑叫做空间滤波器。
.最典型的空间滤波系统—两个透镜（光学信息处理系统或傅立叶光学变换系统）叫作4f系统，如图1所示，
频谱面透镜1透镜2物平面像平面
图2.4-14f系统
激光经过扩束准直形成平行光照明物平面（其坐标为x,y），透过物平面的光的复振幅11
图1为物函数f（x,y）,这一光波透镜1到达后焦平面（频谱面）就得到物函数的频谱，其坐标为11
（u,v），再经透镜2在透镜2的象平面上可以得到与物相等大小完全相似但坐标完全反转的象，设其坐标为（x,y）。
此时我们将坐标完全反转后可以认为得到原物的完全相同的象。
22
关于物平面和频谱面的尺寸大小的问题是实验中很重要的。
为了便于问题的讨论，假定物平面和频谱面的坐标单位相同，物函数f（x,y）的坐标x、y和频谱函数F（u,v）的坐标u、1111
xy11uvv的关系为,其中为光的波长，f为透镜的焦距。
以矩孔为例，如果矩孔,,,,f,f
的长为a，宽为b，则频谱面得到的衍射图形即矩孔的频谱为[注1]
（21）,au,bvsinsinFuvA（,）,0,au,bv
xyrect（）rect（）[注1]矩孔的数学表达式为，根据前面的傅里叶变换的缩放性质和表1可ab
以推得式（21）
由此可以计算出频谱面上中央主极大（图
f2.4-2右图中央的方斑）的宽度为，高度为a
f。
可以知道频谱面尺寸的大小与物平面图形b
尺寸成反比，与透镜焦距f成正比，所以为了得
到较大尺寸的频谱图用于完成实验的透镜的焦距
要求较长。
图2.4-2右图所画的不是物函数的频谱，而图2.4-2矩形透光孔和它的频谱图是其功率谱。
因为任何光的探测器都只能对光强有反
映，所以我们观察到的只是频谱的强度分布即模的平方—功率谱。
对方孔来说其频谱与功率谱的尺寸相同。
空间滤波器由于其特性和功能不同可以进行不同的分类，按其功能可以分为:
1（低通滤波:
在频谱面上放如图2.4-3
（1）所示的光阑，只允许位于频谱面中心及附近的低频分量通过，可以滤掉高频噪音。
2（高通滤波:
在频谱面上放如图2.4-3
（2）所示的光阑，它阻挡低频分量而让高频分量通过，可以实现图像的衬度反转或边缘增强。
3（带通滤波:
在频谱面上放如图2.4-3（3）所示的光阑，它只允许特定区域的频谱通
过，可以去除随机噪音。
4（方向滤波:
在频谱面上放如图2.4-3（4）或（5）所示的光阑，它阻挡或允许特定方向上的频谱分量通过，可以突出图像的方向特征。
以上滤波光阑因透光部分是完全
透光，不透光部分是将光全部挡掉，所
以称作“二元振幅滤波器”。
还有各种其
图3它形式的滤波器，如:
“振幅滤波器”、
“相位滤波器”和“复数滤波器”等。
图2.4-3各种形式的空间滤波器
5（相幅滤波器:
是将位相转变为振幅的滤波器,它的重要应用就是把”位相物体”显现出来，所谓位相物体是指那些只有空间的位相结构而透明度却一样的透明物体。
如生物切片、油膜、热塑等，它们只改变入射光的位相而不影响其振幅。
所以人眼不能直接看到透明体中的位相分布也就是它们的形状和结构，利用相幅转换技术就能使人眼看到透明体的形状和结构，从而扩展了人眼的视觉功能。
显现位相的技术有许多种，这里只介绍纹影法和相衬法。
（1）纹影法:
这是一个在空气动力学和燃烧学方面很有用的装置，可以应用于火焰照相和流场显示技术。
它使用的光阑是一个刀口或一个如图4
（2）所示的高通滤波器，也可以是个带通滤波器等等。
经流体被扰动的光的场强（复振幅）为:
s=Aexp{i[,（x,y）]}（22）
如果,很小复振幅可以近似表示为:
b（x,y）,A[1+i,（x,y）]（23）
在刀口平面内，复振幅可以写成b（x,y）的傅立叶变换。
B（u,v）,,（u,v），i,（u,v）（24）式中,（u,v）,,[,（x,y）]
（u,v）是刀口平面的坐标。
这里狄拉克（Dirac）函数,（u,v）表示光源未被扰动的象。
由于
刀口对光的阻挡作用，产生了光强的衰减，刀口后光强的复振幅可以写成:
B（u,v）,,,（u,v），i,（u,v）（25）
这里刀口衰减光的效应是通过透过率,来描述的。
在记录平面（即底片）上的复
振幅b,（x,y）又是B（u,v）的傅立叶变换。
假定物和象的放大因子为1，所以x=-x，y=22212
-y，和:
1
b,（x,y）]=A[,+i,（x,y）]（26）2222
故记录平面上的光强分布为:
2222I（x,y）=,b,（x,y）,=A[,+,（x,y）]（27）2222
纹影图上的对比度或相对光强变化为:
2II,,,I,,,,00C,,（28）2II,,,,,00
如果,=0其灵敏度或对比度将无限大，上式没有考虑衍射效应，因为衍射使光源的象产
生畸变，因此不能用狄拉克函数来表示了。
一定数量的扩散光可以到达底片对纹影象的
背景光I有贡献。
扩散光的贡献可以一附加项,表示，纹影象的对比度可以描述成:
=0
2,,I（29）,22I（,，,）,,0
这样最大的对比度就不是无限的，即使在,=0时。
（2）相衬法:
1935年由泽尼克（Zernike）提出，用于生物显微镜。
因为大多数细菌为透明的位相物体，要观察细菌往往要染色，这样细菌将被杀死。
在显微镜物镜的焦平面上加一个位相滤波器就可以将位相的变化转化为强度变化，从而可以利用显微镜直接看到活的细菌。
这个发明使泽尼克获得1935年的诺贝尔奖。
它的原理是利用相位滤波器将物体的相位变化转换成光的强弱不同，相衬法的优点是观察到的强度的变化与位相变化成线性关系。
而在纹影法中两者的关系是非线性的。
因此不能作为物体厚度等物理量的直接指示。
为了阐述相衬显微镜的原理，将相位物体的透射系数写成
（30）f（x,y）,exp[i,（x,y）]
在一般情况下，用显微镜只能观察
2f（x,y）物体的亮暗，而物体的亮暗正比于，由公式（）可以知道它与无关的。
如x,y果把这种物体置于图5的光学系统（相当于显微镜的物镜部分的情况）中，在物镜的后焦平面上的频谱分布为
F（u,v）,,[f（x,y）],exp[i,（x,y）]exp[,i2,（ux,vy）]dxdy（31）,,
式中。
如果相位变化很小，可以取一级近似，写成u,x/,f,v,y/,f（x,y）
1+（32）exp[i,（x,y）]i,（x,y）,
代入式（）中，积分以后得
F（u,v）,,（u,v），i,（u,v），（33）式中,（u,v）,,[,（x,y）]
滤波器是一块玻璃片上涂一小滴透明的电介质构成，电介质小点位于焦平面的中心，其厚度及折射率使得聚焦的光在通过它后其位相延迟/2或/2的奇数倍。
经滤波器后物的频谱变为:
F（u,v）,i,（u,v），i,（u,v）（34）
这样到达象平面上的复振幅为:
f（x,y）,i，i,（x,y）（35）
像平面的光强为:
2（36）I,f*f,1，2,（x,y），,（x,y）
2当很小时，可以忽略不计。
所以像平面的光强为:
,
（37）I,1，2,（x,y）
为了提高相衬图的对比度也可以用与纹影法相同的方法即使零频项除了有/2位相延迟还有一定的衰减，与（24）—（28）相同，可以得到相衬图的对比度为:
2（x,y）（38）C,,，,
为了实验的便利常常利用一个透镜完成空间滤波实验（阿贝成像装置）:
如图5所示，这个装置最早是由阿贝（Abbe）
于1893年提出的。
1906年波特（Porter）用实验
验证了阿贝的理论，科学地说明了成像质量与系
统传递的空间频谱之间的关系。
物面透镜频谱面在这种情况下，由于物面与透镜的前焦平面不象面重合，根据傅立叶光学的理论可以知道在透镜的后焦图2.4-4一个透镜的傅里叶变换系统平面上得到的不是物函数的严格的傅立叶变换（频
谱），不过只有一个位相因子的差别，对于一般情况的滤波处理可以不考虑。
这个光路的优点是光路简单，是显微镜物镜成像的情况—可以得到很大的象以便于观察，这正是阿贝当时要改进显微镜的分辨本领时所用的光路。
实验内容:
（1）二元光栅实验:
利用阿贝装置，在物平面
方一个二元光栅如图2.4-5所示，设光栅的周期
d=0.1mm，透光部分宽度a=0.02，照明光为圆形直
径为D=40mm，根据前面的数学知识我们可以得到
物函数的表达式为
图2.4-5矩形振幅光栅和它的频谱图rxxf（x,y）,circ（）[rect（）,comb（）]，根据根Dad
据前面的傅里叶变换性质和表1可以推得下式，
rxxmm（39）,{f（x,y）},,{circ（）},,{rect（）},{comb（）},Asinc（a）J[D（u-）],01Dadddm,,,
f,1.22
（2）其频谱为一组艾里圆（中央主极大圆的直径为=0.0305f/mm），这些艾里圆D
f的中心距离为/mm，每个艾里圆的强度由该处透光部分的单缝衍射的光强分布所决定。
如d
图2.4-5所示。
此时我们在频谱面上放一个低通滤波器如图2.4-3
（1）所示，此时在象平面上将看不到条纹只能看到一片均匀的光。
如果只让中间的三级衍射光斑透过则看到的光栅为一个光强分布为正弦曲线的光栅像，其周期仍为d（光栅的对比度明显下降）。
如果只让两个一级衍射光斑通过则在透镜的频谱面上得到的正弦曲线的光栅像，其周期变为d/2。
（2）低通滤波实验:
将一个正交光栅与一个十字图像重合，如图2.4-6（左）所示，这时在透镜的后焦平面上可以看到的频谱图形如图2.4-6（右）所示，如果在透镜的后焦平面上加上一个低通滤波器如图2.4-3
（1）所示，在透镜的像平面上就可以得到去掉光栅的十字图像。
（3）纹影仪实验:
纹影法的最基本装置如图2.4-7所示。
光源S位于透镜1的前焦平面上，平行光束穿过测试体并借助于透镜2聚焦于其后。
透镜2叫做纹影头。
在纹影头的焦平面上形成光源的
象。
一个刀口（刀的边缘垂直于图面）放在该平面上以挡住部分光。
照相物镜将测图2.4-6正交光栅与一个试体外的某一个平面成象在底片上。
底片上接受到的是减弱的光强—取决于被刀口十字图像重合及其频谱图挡掉的部分的多少。
利用CCD观察火焰周围的温度场的温度分布。
照相物镜请读者自行设计一个纹影仪实验，观察实验现象并作出理论分析。
纹影头CCD接受
平面光源S刀测试流
口体
透镜透镜
21图2.4-7基本的纹影系底片的共轭物统平面实验内容:
1.测小透镜的焦距f（付里叶透镜f=45.0CM）.12
光路:
直角三棱镜?
望远镜（倒置）（出射应是平行光）?
小透镜?
屏思考:
如何测焦距,
2.夫琅和费衍射:
光路:
直角三棱镜?
光栅?
墙上布屏（此光路满足远场近似）
（1）利用夫琅和费衍射测一维光栅常数;
光栅方程:
dsinθ=kλ其中,k=0,?
1,?
2,?
3,…请自己选择待测量的量和求光栅常数的方法。
（卷尺可向老师索要）记录一维光栅的衍射图样、可看到哪些级,记录0级、?
1级、?
2级光斑的位置;
（2）记录二维光栅的衍射图样.
3.观察并记录下述傅立叶频谱面上不同滤波条件的图样或特征;光路:
直角三棱镜?
光栅?
小透镜?
滤波模板（位于空间频谱面上）?
墙上屏
思考:
空间频谱面在距小透镜多远处,图样应是何样,
（1）一维光栅:
（滤波模板自制，一定要注意戴眼镜保护;可用一张纸，一根针扎空来制作，
也可用其他方法）.
a.滤波模板只让0级通过;
b.滤波模板只让0、?
1级通过;
c.滤波模板只让0、?
2级通过;
（2）二维光栅:
a.滤波模板只让含0级的水平方向一排点阵通过;
b.滤波模板只让含0级的竖直方向一排点阵通过;
Oc.滤波模板只让含0级的与水平方向成45一排点阵通过;Od.滤波模板只让含0级的与水平方向成135一排点阵通过.4.“光”字屏滤波
物面上是规则的光栅和一个汉字“光”叠加而成，在实验中要求得到如下结果:
a.如何操作在像面上仅能看到像面上是横条纹或竖条纹，写出操作过程;
b.如何操作在像面上仅能看到像面上是空心“光”，写出操作过程.实验
实验现象及数据:
1.测量小透镜的焦距f
实验方法:
按实验内容布置好光路图，让光通过望远镜，移动屏，让经过凸透镜后的光
在屏上尽量成一个最明亮的光点，此时记下凸透镜和屏的位置，两者之差即为小透镜的
焦距。
实验数据:
透镜位置36.80cm,屏位置:
49.48cm
小透镜的焦距f=49.48cm-36.80cm=12.68cm
2.夫琅和费衍射
实验方法:
按实验内容布置好光路图，在一维光栅后放置透镜，在透镜焦距处放置屏，
观察所得像，测量衍射图样两点之间的距离，及0,1,2，-1，-2级光斑之间的距离，再
换上二维光栅观察衍射图样。
实验测得11个光斑间距为7.15cm，故光栅常数d=0.715cm
实验光差到衍射图样为一排点，中间的点较量，往两边逐渐变暗，可以看到18级衍射
斑，实验测得-2级衍射斑与-1级衍射之间的间距为0.75cm,-1级衍射斑与0级衍射斑
之间的距离为0.79cm,0级衍射斑与0级衍射斑之间的距离为0.78cm,1级衍射斑与2
级衍射斑之间的距离为0.70cm。
二维光栅的衍射图样是一排一排的点，水平部分与竖直部分的中间几排较亮，其余部分
的光点较暗，越往两边越暗。
3.观察并记录下述傅立叶频谱面上不同滤波条件的图样或特征
实验方法:
按实验内容布置好光路图，在凸透镜后的焦距处放置滤波模板，挡住特定衍
射级数的光，在远场条件下观察所得图样。
（1）一维光栅
a.只让0级衍射斑通过
此时滤波模板应只让0级斑通过，在墙上只能看到小孔成像，而不能看见条
纹;
b.只让0、?
1衍射级通过
此时滤波模板应只让0、?
1级斑通过，在墙上除了能看到小孔成像外，还
能清晰的看到竖直的平行等距条纹;
c.只让0、?
2级通过;
此时滤波模板应只让0、?
2级斑通过，在墙上除了能看到小孔成像外，还
能清晰的看到竖直的平行等距条纹，该条纹间距比b中的条纹间距要小，这
是因为此时通过的斑的级数更高，即频率更高，所以间距更小;
（2）二维光栅
a.滤波模板只让含0级的水平方向一排点阵通过;
此时滤波模板应只让0级水平方向斑通过，此时在墙上能看见竖直方向等间
距的条纹;
b.滤波模板只让含0级的竖直方向一排点阵通过;
此时滤波模板应只让0级竖直方向斑通过，此时在墙上能看见水平方向等间
距的条纹;
Oc.滤波模板只让含0级的与水平方向成45一排点阵通过;
O此时滤波模板应只让0级的与水平方向成45斑通过，此时在墙上能看见水
O平方向成135等间距的条纹;
Od.滤波模板只让含0级的与水平方向成135一排点阵通过.
O此时滤波模板应只让0级的与水平方向成135斑通过，此时在墙上能看见水
O平方向成45等间距的条纹;
4.“光”字屏滤波
a.如何操作在像面上仅能看到像面上是横条纹或竖条纹，写出操作过程;
“光”字屏也是由一二维光栅组成，若要在像面上仅能看到像面上是横条纹或竖条纹，
只需让0级衍射斑的竖直方向上的一排点或和水平方向上的一排点分别通过即可;
b.如何操作在像面上仅能看到像面上是空心“光”，写出操作过程.
若要在像面上仅能看到空心“光”，只需让0级衍射斑水平与竖直交界处得那个光点
通过即可;
思考题:
1、在实验内容
（1）中如果挡掉零级光斑，让所有高级衍射光斑透过，在象平面得到的像是什么样的,分析以下情况a.光栅透光缝a<光栅周期d/2，b.光栅透光缝a>光栅周期d/2，c.光栅透光缝a=光栅周期d/2。
答:
（1）实验中若挡住0级光斑，让所有的高级光斑通过，则在屏上能看见条纹，但边界十
分模糊;
（2）可由光栅方程dsinθ=kλ看出，d变化时θ也随之变化
a.光栅条纹疏;
b.能看到光栅的轮廓;
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