精品高中数学第2章统计22总体分布的估计221222频率分布表频率分布直方图与折线图教学案苏教版必.docx
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精品高中数学第2章统计22总体分布的估计221222频率分布表频率分布直方图与折线图教学案苏教版必
2．2.1&2.2.2 频率分布表 频率分布直方图与折线图
预习课本P53～59，思考并完成以下问题
1．什么叫频率分布表？
2．制作频率分布表的一般步骤是什么？
3．什么叫频率分布直方图？
4．什么叫频率分布折线图？
什么叫总体分布密度曲线？
1．频率分布表
（1）定义：
当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布．我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．
（2）我们将整个取值区间的长度称为全距，一般的全距等于数据中最大值与最小值之差；分成的区间的长度称为组距．
（3）绘制频率分布表的步骤：
①求全距，决定组数和组距，组距＝
.
②分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间．
③登记频数，计算频率，列出频率分布表．
[点睛]
（1）在频率分布表中，除最后一个区间是闭区间，其他区间均为左闭右开区间，这样做的目的是为了不重不漏，避免丢失样本数据．
（2）频率分布表中各组频数之和等于样本容量，各组频率之和等于1.
2．频率分布直方图
（1）定义：
我们用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图．
（2）绘制步骤：
①制作频率分布表．
②建立直角坐标系：
把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，并标上一些关键点．
③画矩形：
在横轴上，以连结相邻两点的线段为底，以纵轴上
为高作矩形，这样得一系列矩形，就构成了频率分布直方图．
3．频率分布折线图
（1）定义：
把频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到频率分布折线图．
（2）总体分布密度曲线：
频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．
[点睛]
频率分布折线图反映了数据的变化趋势，可用来对数据进行估计和预测．
1．已知一个容量是40的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5,6,7,10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是________，频率是________．
答案：
4 0.1
2．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空．
（1）样本数据落在范围[6,10）内的频率为________；
（2）样本数据落在范围[10,14）内的频数为________．
答案：
（1）0.32
（2）36
3．对于样本频率分布折线图与总体分布的密度曲线的关系，有下列说法：
①频率分布折线图与总体分布的密度曲线无关；
②频率分布折线图就是总体分布的密度曲线；
③样本容量很大的频率分布折线图就是总体分布的密度曲线；
④如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限趋于总体分布的密度曲线．
其中正确的是________．（填序号）
答案：
④
频率分布表的制作
[典例] 某中学40名男生的体重数据如下（单位：
kg）：
61 60 59 59 59 58 58 57 57 57 57 56
56 56 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54
54 54 53 53 52 52 52 52 52 51 51 51
50 50 49 48
请根据上述数据列相应的频率分布表．
[解] ①计算全距，61－48＝13；
②决定组距和组数，取组距为2，
＝
＝6.5，
所以共分7组；
③决定分点，使分点比数据多一位小数，并把第一小组分点减小0.5，即分成七组：
[47.5,49.5），[49.5，51.5），[51.5,53.5），[53.5,55.5），[55.5,57.5），[57.5,59.5），[59.5,61.5]；
④列出频率分布表，如下：
分组
频数
频率
[47.5,49.5）
2
0.05
[49.5,51.5）
5
0.125
[51.5,53.5）
7
0.175
[53.5,55.5）
8
0.20
[55.5,57.5）
11
0.275
[57.5,59.5）
5
0.125
[59.5,61.5]
2
0.05
合计
40
1.00
（1）在列频率分布表时，全距、组距、组数有如下关系：
①若
为整数，则
＝组数．
②若
不为整数，则
的整数部分＋1＝组数．
（2）组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．
[活学活用]
下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位：
cm）.
区间
界限
[122，
126）
[126，
130）
[130，
134）
[134，
138）
[138，
142）
人数
5
8
10
22
33
区间
界限
[142，
146）
[146，
150）
[150，
154）
[154，
158]
人数
20
11
6
5
（1）列出样本频率分布表；
（2）估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比．
解：
（1）样本频率分布表如下：
分组
频数
频率
[122,126）
5
0.04
[126,130）
8
0.07
[130,134）
10
0.08
[134,138）
22
0.18
[138,142）
33
0.28
[142,146）
20
0.17
[146,150）
11
0.09
[150,154）
6
0.05
[154,158]
5
0.04
合计
120
1
（2）由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
频率分布直方图与频率分布折线图的绘制
[典例] 为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组如下：
[10.75,10.85），3；[10.85,10.95），9；[10.95,11.05），13；[11.05,11.15），16；[11.15,11.25），26；[11.25,11.35），20；[11.35,11.45），7；[11.45,11.55），4；[11.55，11.65]，2.
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图以及频率分布折线图．
[解]
（1）频率分布表如下：
分组
频数
频率
[10.75,10.85）
3
0.03
[10.85,10.95）
9
0.09
[10.95,11.05）
13
0.13
[11.05,11.15）
16
0.16
[11.15,11.25）
26
0.26
[11.25,11.35）
20
0.20
[11.35,11.45）
7
0.07
[11.45,11.55）
4
0.04
[11.55,11.65]
2
0.02
合计
100
1.00
（2）频率分布直方图及频率分布折线图如图．
（1）绘图时，应以横轴表示分组，纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形，便得到频率分布直方图．
（2）顺次连接频率分布直方图中各个矩形的上端的中点，就得到频率分布折线图．
[活学活用]
有一个容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[12.5,15.5），3；[15.5,18.5），8；[18.5,21.5），9；[21.5,24.5），11；[24.5,27.5），10；[27.5,30.5），5；[30.5，33.5]，4.
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）根据频率分布直方图估计数据落在[15.5,24.5）的频率约是多少．
解：
（1）频率分布表如下：
分组
频数
频率
[12.5,15.5）
3
0.06
[15.5,18.5）
8
0.16
[18.5,21.5）
9
0.18
[21.5,24.5）
11
0.22
[24.5,27.5）
10
0.20
[27.5,30.5）
5
0.10
[30.5,33.5]
4
0.08
合计
50
1.00
（2）频率分布直方图如图所示：
频率分布直方图的识、读、用
（3）数据落在[15.5,24.5）的频率约为0.16＋0.18＋0.22＝0.56.
[典例] 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第3组的频数为12，请解答下列问题：
（1）本次活动共有多少件作品参加评比？
（2）哪组上交的作品数最多？
有多少件？
（3）经过评比，第4组和第6组分别有10件和2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？
[解]
（1）依题意得第3小组的频率为
＝
，
又第3小组频数为12，
故本次活动的参评作品数为
＝60（件）．
（2）根据频率分布直方图可看出第4组上交的作品数量最多，
共有60×
＝18（件）．
（3）第4组获奖率是
＝
.
第6组上交作品数量为60×
＝3（件）．
第6组的获奖率为
>
，显然第6组的获奖率较高．
频率分布直方图的性质
（1）图中每个小长方形的面积表示相应各组的频率，即小长方形的面积＝组距×
＝频率．
（2）在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1.
（3）
＝样本容量．
（4）频率分布直方图中，各矩形的面积之比等于频率之比，各矩形的高度之比也等于频率之比．
[活学活用]
从某校参加2016年全国高中数学联赛预赛的600名同学中，等可能抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．
（1）根据表中已知数据，依次写出在①、②、③处的数值；
（2）补全在区间[70,140]上的频率分布直方图；
（3）若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？
分组
频数
频率
[70,80）
0.08
[80,90）
③
[90,100）
0.36
[100,110）
16
0.32
[110,120）
0.08
[120,130）
2
②
[130,140]
0.02
合计
①
解：
（1）样本容量＝
＝50，
∴①处为50；∴
＝0.04，②处为0.04；
③处为1－0.08－0.36－0.32－0.08－0.04－0.02＝0.10.
（2）频率分布直方图如图：
（3）成绩不低于110分的同学能参加决赛的频率为
0．08＋0.04＋0.02＝0.14，所以估计该校能参加决赛的人数大约为600×0.14＝84.
层级一 学业水平达标
1．已知样本：
12,7,11,12,11,12,10,10,9,8,13,12,10,9,6,11,8,9,8,10，那么样本在[11.5,13.5）上的频率为________．
答案：
0.25
2．一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25，则n＝________.
解析：
由题意n＝
＝120.
答案：
120
3．观察新生婴儿的体重（单位：
g），其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在[2700,3000）内的频率为________．
解析：
由图可知当新生婴儿体重在[2700,3000）内时，
＝0.001，而组距为300，所以频率为0.001×300＝0.3.
答案：
0.3
4．为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第1小组的频数是100，则n＝________.
解析：
由图可知，第1小组的频率为25×0.004＝0.1，
∴n＝
＝1000.
答案：
1000
5．鲁老师为了分析一次数学考试的情况，将全班60名学生的数学成绩分为5组，第一组到第三组的频数分别是8,24,22，第四组的频率是0.05，那么落在第五组的频数是多少？
频率是多少？
全校300人中分数在第五组中的约有多少人？
解：
因为第四组的频数为0.05×60＝3，所以第五组的频数为60－8－24－22－3＝3，频率为
＝0.05，全校300人中分数在第五组的约有0.05×300＝15（人）．
层级二 应试能力达标
1．将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分成8个组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
9
14
14
13
12
X
13
10
则第六组的频率为________．
解析：
由9＋14＋14＋13＋12＋x＋13＋10＝100，得x＝15.故第六组的频率为
＝0.15.
答案：
0.15
2．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人做进一步调查，则在[2.5,3）（小时）时间段内应抽出的人数是________．
解析：
抽出的100人中平均每天看电视的时间在[2.5,3）（小时）时间内的频率是0.5×0.5＝0.25，所以这10000人中用分层抽样方法抽出100人，在[2.5,3）（小时）时间段内应抽出的人数是100×0.25＝25.
答案：
25
3．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的
，且样本容量为160，则中间一组的频数是________．
解析：
频率分布直方图中所有小长方形的面积和等于1，则中间小长方形的面积为
，也就是中间一组的频率是
，中间一组的频数为160×
＝32.
答案：
32
4．为提高公众对健康的自我管理能力和科学认识，某调查机构共调查了200人在一天中的睡眠时间．现将数据整理分组，如下表所示．由于操作不慎，表中A，B，C，D四处数据污损，统计员只记得A处的数据比C处的数据大4，由此可知B处的数据为________.
分组（睡眠时间）
频数
频率
[4,5）
8
0.04
[5,6）
52
0.26
[6,7）
A
B
[7,8）
C
D
[8,9）
20
0.10
[9,10]
4
0.02
合计
200
1
解析：
设A处的数据为x，则C处的数据为x－4，
则x＋x－4＋8＋52＋20＋4＝200，x＝60，
则B处数据为
＝0.30.
答案：
0.30
5．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为[25,30）的数据不慎丢失，则依据此图可得：
（1）[25,30）年龄组对应小矩形的高度为________；
（2）据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35）的人数为________．
解析：
（1）设[25,30）年龄组对应小矩形的高度为h，则5×（0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02）＝1，h＝0.04.
（2）志愿者年龄在[25,35）的频率为5×（0.04＋0.07）＝0.55，故志愿者年龄在[25,35）的人数约为0.55×800＝440.
答案：
（1）0.04
（2）440
6．某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：
g）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98），[98,100），[100,102），[102,104），[104,106]．已知样本中产品净重小于100g的个数是36，则样本中净重大于或等于98g并且小于104g的产品的个数是________．
解析：
由频率分布直方图可知，产品净重小于100g的频率是0.05×2＋0.1×2＝0.3，所以样本中产品的个数为
＝120，产品净重大于或等于104g的频率为0.075×2＝0.15，∴产品净重大于或等于98g而小于104g的频率为1－0.15－0.1＝0.75，则净重在此范围内的产品个数为120×0.75＝90.
答案：
90
7．为了解某商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客购鞋的尺寸，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），已知图中从左到右前三个小组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，则抽取的顾客人数是________．
解析：
由条件可得，第二小组的频率为2×
＝0.25，因为第二小组的频数为10，所以抽取的顾客人数是
＝40.
答案：
40
8．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：
cm）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130），[130,140），[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
解析：
∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130）外的频率和为0.700，∴a＝
＝0.030.由题意知，身高在[120,130），[130,140），[140,150]的学生分别为30人，20人，10人，∴由分层抽样可知抽样比为
＝
，
∴在[140,150]中选取的学生应为3人．
答案：
0.030 3
9．对某电子元件进行寿命追踪统计，情况如下：
寿命/h
[100,200）
[200,300）
[300,400）
[400,500）
[500,600]
个数
20
30
80
40
30
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的比例；
（4）估计电子元件寿命在400h以上的比例．
解：
（1）频率分布表如下：
分组
频数
频率
[100,200）
20
0.10
[200,300）
30
0.15
[300,400）
80
0.40
[400,500）
40
0.20
[500,600]
30
0.15
合计
200
1.00
（2）频率分布直方图如图：
（3）频率为0.1＋0.15＋0.4＝0.65.
所以我们估计电子元件寿命在100h～400h以内的比例为65%.
（4）寿命在400h以上的电子元件的频率为1－0.65＝0.35.
所以我们估计电子元件寿命在400h以上的比例为35%.
10．为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：
kg），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）．
（1）求出各组相应的频率；
（2）数据落在[1.15，1.30]中的频率为多少；
（3）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中还有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．
解：
（1）由频率分布直方图和频率＝组距×
可得下表
分组
频率
[1.00,1.05）
0.05
[1.05,1.10）
0.20
[1.10,1.15）
0.28
[1.15,1.20）
0.30
[1.20,1.25）
0.15
[1.25,1.30]
0.02
（2）因为0.30＋0.15＋0.02＝0.47，
所以数据落在[1.15，1.30]中的频率约为0.47.
（3）由分层抽样中每个个体被抽到的概率相同知：
设水库中鱼的总条数为N，则
＝
，即N＝2000，故水库中鱼的总条数约为2000条．
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