人教版小学数学第十二册总复习统筹问题同步练习题.docx

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人教版小学数学第十二册总复习统筹问题同步练习题

统筹问题

例1.妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟．洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要20分钟．为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了

【分析与解】：

本题取自华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》．首先向华老致敬。

开水要烧，开水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取．怎样安排工作程序最省时间呢

　　办法甲：

洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶杯，拿茶叶，等水开了，沏茶喝．

　　办法乙：

先做好一切准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，灌水烧水，坐等水开了沏茶喝．

　　办法丙：

洗开水壶，灌上凉水，放在火上坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，沏茶喝．

　　谁都能一眼看出第一种办法好，因为后两种办法都“窝了工”．

　　开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件．它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示．

　　箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间，例如→表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟．从图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟，而办法乙、丙需20分钟．

　　洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系，而且是由同一个人来做，因此可以将上图合并成下图．

先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，同时洗壶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了16分钟．又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须用1分钟洗开水壶，所以用16分钟是最少的．

例2.5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟．如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小并求出最小值．

【分析与解】：

5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了．凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些．考虑用“逐步调整”法来严格求解．

首先证明要使所费总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置．假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中2≤a≤5），而打水需1分钟的人排在第b位（其中2≤b≤5）．我们将这两个人位置交换，其他三人位置不变动．这样调整以后第b位后面的人每人排队打水所费的时间与调整前相同，并且前b个人每人打水所费时间也未受影响，但是第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了（a-1）分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了．换言之，把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省．

　　其次，根据同样道理，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位．所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费时间最省．这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35（分钟）．

例3.有一条可坐20人的木船要载40名学生从湖边到湖中A、B两岛参观.从湖边驶船到A岛需10分钟，到B岛需12分钟.A、B两岛之间船行需6分钟.A岛的参观时间需30分钟，B岛的参观时间需25分钟.问40名学生全部参观完两岛后返回湖边的最少用时是多少（学生上下船的时间忽略不计）

【分析与解】：

由题设40名学生要分两批乘船，这样我们将40名学生分成两组.由于乘船时间与参观时间都是固定的，所以要想节约时间只能是尽量减少学生“等船”的时间.由此分析，第一组学生应先去A岛参观，因为A岛比B岛近“2分钟”的路程，这样第二组学生等船的时间为20分钟（木船往返湖边与A岛所用时间），接下去是第二组学生去A岛还是去B岛参观的问题，我们分两种情况讨论：

（1）第二组学生也去A岛参观。

　　当第二组学生到达A岛时，时间已经过去了30分钟（等船20分钟，乘船10分钟）.第二组开始参观A岛，此时第一组已经在A岛参观了20分钟，10分钟后第一组参观完A岛，乘船去B岛参观，木船将第一组送到B岛后立即返回A岛，由A岛与B岛之间乘船为6分钟，所以木船往返时间为12分钟.当木船回到A岛时，第二组在A岛已参观了22分钟.8分钟后第二组参观完A岛，立即到B岛.第二组到达B岛时，第一组已参观了20分钟（木船从B岛返回A岛的时间和等待第二组学生的时间以及再从A岛到B岛的时间总和）.第二组到达B岛后开始参观.5分钟后第一组参观完B岛，乘船返回湖边，木船将第一组送到湖边后又立即返回B岛接第二组，当木船到达B岛时，距木船把第二组送上B岛相隔了29分钟（木船等待第一组5分钟，往返B岛与湖边24分钟）.此时第二组已参观完B岛并且已等候了4分钟.当第二组乘船返回湖边时，整个参观过程一共用时（等于第二组参观共用的时间）为：

等候乘船共（20+4）分钟；两岛的参观时间共（30+25）分钟；乘船时间共（10+6+12）分钟。

总和为（20+4）+（30+25）+（10+6+12）=107（分钟）。

（2）第二组学生去B岛参观。

　　木船将第一组送到A岛后，返回湖边接第二组去B岛，当木船到达B岛时，时间已经过去了32分钟（等候船20分钟，乘船12分钟）.木船立即去A岛接第一组.船到A岛时，第一组已参观了28分钟（木船从A岛到湖边的时间与从湖边到B岛的时间以及从B岛到A岛的时间总和）.2分钟后，第一组参观完A岛乘船到B岛.到达B岛时，第二组已在B岛上参观了14分钟（木船往返A、B岛的时间与等待第一组的时间总和）.第一组开始参观B岛.11分钟后第二组参观结束乘船到A岛参观.木船又返回B岛，到达B岛时，第一组已参观了23分钟（木船等待第二组11分钟，往返A、B岛12分钟）.2分钟后，第一组参观结束乘船返回湖边.木船送完第一组立即到A岛接第二组.木船到达A岛时，第二组刚好参观完A岛（船从A岛到B岛6分钟，等第一组2分钟，送第一组到湖边12分钟，从湖边再到A岛10分钟）.即刻乘船返回湖边.整个参观过程一共用时（等于第二组参观一共用的时间）为：

等候乘船共20分钟；两岛的参观时间共（30+25）分钟；乘船时间共（12+6+10）分钟。

总和为20+（30+25）+（12+6+10）=103（分钟）

两种方案比较，显然第二种方案较好.故应让第一组先参观A岛，第二组先参观B岛，总用时为103分钟。

例4．郝老师被误抓进了北京市安定精神医院，你能帮助他在层层看守下逃出生天吗最少需要几步（挪动图中的人物块，给郝老师清出一条路来）。

保安

郝老师

保安

季医生

陆院长

王护士

空地

保安

保安

刘门卫

杨前台

大门

例5．东升乡有八个行政村，如图分布.点表示村庄，线表示道路.图中的数字表示道路的长.现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线，问怎样的架线方案能使电线最省

【分析与解】：

要在全乡建立广播网，显然整个线路应该是连通的，并且每个村都有广播线，要使电线最省，即整个广播网络用线最短.因此架线时不能出现“环路”（闭合线路），而乡村分布图是有“环路”的，则需要将环路“破坏”掉，使得架线方案中只有7条线将8个村庄连通，井且这7条线的总长最短。

　　在破坏环路时，我们将环路时较长的路线去掉，当所有的环路都不存在时，剩下来的线路必是最短的。

　　首先破坏环路AGEFA，因为AF最长，故去掉AF.下面依次：

在AGHBA中去掉AB；在BCHB中去掉BC；在CDHC（中去掉CD；在CEHD中去掉HD；在HEGH中去掉EG；到此为止，所有的环路都破坏掉了，剩下来的便是我们所需的架线路线图（如图4所示），即最佳架线方案.

例6.现有2.8米长的方木条原料，要截成1.2米、0.9米两种长度的木条作镜框（每个镜框要用长、短木条各两根）.要做30个镜框，如何下料可以最省

【分析与解】：

这是个节约用料的问题.如果不精打细算就会简单的用一根原料截长短木条各一根，就样就需要60根原料.而这样就会造成很大的浪费.因为每根原料剩下的残料为（米），60根原料所剩的残料则是很大的一个数字，显然这不是最佳的方案。

如果我们考虑用一根原料分别截取长短木条，则：

（1）可截1.2米木条两根，余料0.4米；

（2）可截0.9米木条三根，余料0.1米。

现设取x根原料用于截法

（1）：

取y根原料用于截法

（2）.则有

故需要原料50根即可制成30个镜框。

例7.有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升与5公升．问如何选派车辆才能使运输耗油量最少这时共需用油多少公升

【分析与解】：

依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2（公升）；小卡车每吨耗油量为5÷2=（公升）．为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于157=5×31+2，因此，最优调运方案是：

选派31车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油10×31+5×1=315（公升）

　　说明：

本题是1960年上海市数学竞赛试题．上述解法是最朴素的优化思想——选派每吨耗油量较少的卡车．下面用代数的知识来解题：

设选派大卡车a车次，小卡车b车次，依题意：

5a+2b=157，即10a=314-4b．于是总耗油量为：

W=10a+5b=314=4b+5b=314+b．显然，当b越小时，W也越小．又由5a+2b=157易知，b最小值是1，故W的最小值是314+1=315（公升）．若取b=0，则需派32车次大卡车，耗油量则需320公升．

例8.40名师生参加义务植树活动，他们的任务是挖树坑和运树苗.经过上午的劳动实践，40名师生大致可分成甲、乙、丙三类人员.每类人员的劳动效率见表.下午给他们分配的任务是：

挖树坑30个，运树苗不限，如何安排人员能使树苗运得最多

【分析与解】：

这个问题是当劳动力一定的条件下如何发挥最大效力的问题.要想发挥劳动力的最大效力，首先要知道劳动人员的工作效率（已知）和“相对工作效率”（劳动人员做两项工作时的效率之比）.由相对效率可以得出劳动人员做哪项工作发挥的效力更大。

　　由此可知：

乙类人员挖树坑的相对效率比甲类人员和丙类人员都大.故应让乙类人员挖树坑，即可以挖树坑：

×15=18（个）。

现在离任务要求还相差“12个树坑”，需要由剩下的人员中再挑选一些人挖树坑.因为丙类人员挖树坑的相对效率比甲类人员大，故应优先选丙类人员挖树坑，可挖：

×10=8（个）.最后再由2名甲类人员也参加挖树坑，即可完成任务，其余的13名甲类人员运树苗，可运：

20×13=260（棵）。

　即最佳方案为：

由13名甲类人员运树苗，其余所有人都去挖树坑。

　　注：

同学们可以尝试其他任何分配方案，一定都会比我们上述的方案劣。

例9．北京、上海、杭州三地同时研制成了大型电子计算机若干台，除本地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援外地4台，杭州可以支援外地6台。

现在决定给汉口6台，重庆8台，深圳6台。

若每台计算机的运费如右表，表中运费单位是“万元”。

上海、北京和杭州制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省，最省运费是多少万元

【分析与解】：

按照如图所示的方式调运物品即可。

总计：

118万元

随堂练习

　　1．妈妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼．他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花了17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少．

　　2．用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎一个饼需要4分钟（假定正、反面各需2分钟），问煎m个饼至少需要几分钟

　　3．小明、小华、小强同时去卫生室找张大夫治病．小明打针要5分钟．小华换纱布要3分钟，小强点眼药水要1分钟．问张大夫如何安排治病次序，才能使他们耽误上课的时间总和最少并求出这个时间．

　　4．赵师傅要加工某项工程急需的5个零件，如果加工零件A、B、C、D、E所需时间分别是5分钟、3分钟、4分钟、7分钟、6分钟．问应该按照什么次序加工，使工程各部件组装所耽误的时间总和最少这个时间是多少

　　5．山区有一个工厂．它的十个车间分散在一条环行的铁道上．四列货车在铁道上转圈，货车到了某一车间，就要有装卸工装上或卸下货物．当然，装卸工可以固定在车间等车（各车间所需装卸工人数如图所示）；也可以坐在货车到各车间去；也可以一部分装卸工固定在车间，另一部分坐车．问怎样安排才能使装卸工的总人数最少最少需多少名工人

　6.有七个村庄A1，A2，…，A7分布在公路两侧（见上图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里

随堂练习答案

1．12分钟．

2．若m＝1时，至少需要4分；若m≥2时，至少需要2m分钟．

3．按小强、小华、小明的顺序安排，耽误上课的时间总和为：

1×3+3×2+5=14（分钟）．

4．按B、C、A、E、D的顺序加工，耽误最少为：

3×5+4×4+5×3+6×2+7=65（分钟）．

5．46×4+4+2+6+11=207（人）．

千米。

架设的线路如下图。

课后练习

　　1.早饭前妈妈要干好多的事：

烧开水要15分钟，擦桌椅要8分钟，准备暖瓶要1分钟，灌开水要2分钟，买油条要10分钟，煮牛奶要7分钟。

如果灶具上只有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间怎样安排

　　2.甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开始工作。

问：

加工完七个零件最少需多长时间

　　3.车间里有5台车床同时出现故障。

已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。

问：

（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少

（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟

　　4.下页左上图是一张道路图，每条路上的数是小王走这段路所需的时间（单位：

分）。

小王从A到B，最快需要几分钟

5.致德乡有8个行政村。

分布如右上图所示，点表示村庄，线表示道路，数字表示道路的长（单位：

千米）。

现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线。

问：

电线至少要架多长

6.有一个水塔要供应某条公路旁的A～F六个居民点用水（见下图，单位：

千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省费用应是多少

课后练习答案

分。

提示：

先烧开水后煮牛奶共需22分，其它事情可以在这个期间做，顺序是买油条，准备暖瓶，擦桌椅（水开时暂停，煮上奶），灌开水，继续擦桌椅。

分。

3.

（1）780元；

（2）36分。

提示：

（1）按修复时间需7，8，10，15，29分的顺序修理；

（2）一人修需7分和29分的，另一人修需8，10，15分的。

分。

提示：

A→E→O→G→B。

。

提示：

本题可简化为“B，C，D，E，F处分别站着1，1，2，2，1个人（见下页图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”。

6.从水塔到C点铺粗管，最后三个居民点铺细管，总费用为297000元。

提示：

当长度相同时，四根细管的费用超过一根粗管，所以最后三个居民点用细管。