高考数学培优专题第12讲立体几何中球的综合问题Word格式文档下载.docx
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是三棱锥的高；
再由。
ARC四点共而可知。
是AABC的中心，故。
尸二个二r二至上，当三棱锥的体积最大时，其高为P。
=j（2£
）2-（E）2=1,故三棱锥的体积的最大值为
—x^-x22x1=,应选A。
343
4.如图所示，直四棱柱ABC。
—A4GA内接于半径为3的半球。
，四边形A5CO为正方形，则该四棱柱的体枳最大时，43的长为（）
A.1b.'
2C.>
/3d,2
【答案】D
【解析】设AB=x,则08==尤叫二:
一建，所以直四棱柱的体积为JIJ
V=x2J3--x2,令J3--X2=f，则%2=6—2/，则1/=（6—2〃）/=一2产+6,,故
V'
=一6/+6=-6«
-1）（1+1）,所以当，=1时，即1=2时，体积V最大.故应选D.
5.在正三棱锥S—A8C中，〃是SC的中点，且AMJLS3,底面边长A3=2五，则
正三棱锥S-ABC的外接球的表而积为（）
A.67B.12乃C.327rD.36万
【答案】B
【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC_LSB,结合SB_LAM,得到SBJ_平面SAC,因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直.最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表而积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积.
取AC中点，连接BN、SN,・.・N为AC中点,SA=SC,/.AC±
SN,
同理AC_LBN,VSNABN=N,.・.AC_L平而SBX,
\・SBu平而SBX,AAC1SB,YSB_LAM且ACHAM=A,
...SBJ_平面SAC=>
SB±
SA且SB±
AC,
•・•三棱锥S-ABC是正三棱锥，
ASA.SB、SC三条侧棱两两互相垂直.
•・•底面边长AB=2"
，侧棱SA=2,
•••正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：
2R=2也,：
.R=6
••.正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是S=4M?
2=i2/r,故选：
B.
二、填空题
6.（2017年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正“方体的表面积为
18,则这个球的体积为.
■七心.9兀
【答案】—
【解析】设正方体边长为。
，则6/=18="
=3,
l414279
外接球直径为2R==3,V=—成’=—兀x——=—7i.
3382
7.底面是同一个边长为。
的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底而，球的半径为R。
设两个三棱锥的侧而与底面所成的角分别为。
、），
则tan（a+4）的值是。
……4框R
【答案】一二一.
3a
【解析】如下图所示，右图为左图的纵切面图.
故ZSDA和ZMDA即为二面角a和夕；
设SM交平而ABC于点P,易知P点在AD上，且为“IBC的重心.
SM=2R,AB=a,AD=a,PA=—x—a=-a,PD=-x—a=a,2323326
3n七I。
"
tana+tan/7_PDPD_一P>
SM一6一一4属
—叫]"
.第_]_叫竺一尸0』尸.加p一p02_P片一二且一3aPDPDII"
T
8.已知三棱锥P—A3C的所有棱长都相等，现沿尸AP&
PC三条侧棱剪开，将其表面展
开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为27%,则三棱锥尸-ABC的内切球的表面积为：
【答案】3万
【解析】三棱锥P-43C展开后为等边三角形，设边长X,则」一=2・2而，则x=6贬sinA
因此三棱锥P—43C的棱长为3人,三棱锥P—A5C的高2行，设内切球的半径为，
PIO4x-xrxS.,HC=—S....cx2y/3,：
.r=—,求的表面积S=4%」=3万.
3am匕3Jl/ioco
9.已知球。
的表面上有P.A3.C四点，且两两互相垂直，若PA=PB=PC=u,求这个球的表面积和体积
解：
设过0.48的平面截球所得截面圆心为POI与球而另一交点为。
.因为P8_LPA,所以AS是圆O1的直径，且AS=Ja尸+BP，=、易.因为PCJA,PC1PB，所以PC_L平而PAB,又OO1平面PA8,所以OOJ/尸。
.如图，过OO].PC作平而a,则直线。
尸为平而a和平而以8的交线，点O]e尸。
，连
接CO,在圆O中・.・PC_LP£
）,/CPD为直角,所以CD为圆O的直径,设圆。
的半径为R,
在RtACPD中，CD=ylPC2^PD2=J3a,即2R=方。
，所以/?
=叵,所以2
5j,k=4成，=3加2“球=士冰'
=—3
三、解答题
10.棱长为2°
〃的正方体容器中盛满水，把半径为k?
〃的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出的水量最多，这个铁球半径应该为多大?
过正方体对角线的截而图如图所示，
AC]=26.AO=V5,AS=AO-OS=Ot.设小球半径为r,
tanZCj/lC=—^=-J2
.・.AS=AQ[+O]S二6—1=扬+r解得厂=（2—石）。
月为所求.
11.过球而上一点P的三条弦PAPB,PC,满足ZAP8=N80C=NCPA=60°
PA=PB=PC=&
求此球的表面积
由题意知，四面体p-八质:
是球的内接正四而体.设P'
是AABC的中心，则球心O在PP上.如图，连接OCPP，设球半径为x,则OP=OC=x,在自AOPC中，OP=PP-x而
PP'
=^PC2-PC1=^6-（^xV6）2=2,故
33
OP=2-x,CP，2=2「.『=（2-x）2+2,X=-9表而积为S=4^x（-）2=9%
12.将半径为R的四个球，两两相切地放在桌面上，求上而一个球的球心到桌面的距离。
设四个球心分别为ABC,D,则四而体A-BCD是棱长为2R的正四面体，如图所示，过A
作AHJ»
面BCD与H,则H为4BCD的中心，连接BH并延长交
CD于M,连接AM.则BM_1CD,AMJ_CD且AM二的R,HM==R,
9rz
所以AH=—R,故上面一球的球心到桌而距离为3
B组
1.已知三棱锥P-A8C,在底面AA3C中，A8=l乙4=60,3C=Q,PA_L而
ABC.PA=26则此三棱锥的外接球的表而积为（）
A.B.4/4C.D.16n
【解析】底而三角形内，根据正弦定理，可得AC=2,A32+8C2=AC）满足勾股定理,
ZABC=90°
24_L底而ABC,所以PA_L8C,那么BC_L平而PAB,所以8C_LPB,那么直角三角形24cpBC有公共斜边PC,所以三棱锥的外接球的球心就是PC的中点。
，PC是其外接球的直径，PC=4,所以外接球的表而积S=4成2=16乃，故选D.
2.如图，在菱形A8CD中，/84。
=60,A4=26，石为对角线8。
的中点，将
沿8。
折起到好瓦）的位置，若ZPEC=120,则三棱锥P—8CQ的外接球的表面积为
（）
A.287B.32万C.16%D.12万
【解析】设M,N分别是等边三角形PBD、CBD的外心，则QN=1,NC=2画出图象如下
图所示，由图象可知，NMQN=120,NOQN=60,故ON=l♦tan60=,
r=oc=>
]on2+nc2=VTT4
=币,外接球面积为4ttR2=4%•7=284.
3.已知三棱锥S-ABC,满足SA_LSB,SB±
SC,SC1SA,且SA二SB二SC,若该三棱锥外接球的半径为#,Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（）
645/3
A.3B.2C.3D.3
【解析】因为三棱锥S-A3C中，SA±
SB.SB±
SC,SC±
SA,且S4=S3=SC,所
以三棱锥的外接球即为以S4,S3,SC为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半径为6，所以正方体的对角线长为2行，所以球心到平而ABC的距离为%¥
=£
所以点。
到平面ABC的距离的最大值为、行+4=¥
，故选D.
4.已知从点尸出发的三条射线PA,PB,PC两两成60。
角，且分别与球。
相切于4,B,C三点.若球。
的体积为36兀，则。
，尸两点间的距离为（）
（A）3>
/2（B）3也（C）3（D）6
【解析】连接OP交平面ABC于。
'
，由题意可得：
A43C和M48为正三角形，所以
4=业丝=无竺.因为AO'
_LP。
，OA±
PA,所以—=—,所以33OAAO'
AD__
OP=OA--=6。
4.又因为球的体积为36万，所以半径。
4=3,所以。
0=36.AOf
5.（2017年新课标I卷）已知三棱锥S—A6C的所有顶点都在球。
的球而上，SC是球。
的直径.若平而SC4
_L平而SC8,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-A8C的体积为9,则球。
的表面积为
【答案】364
【解析】取SC的中点O,连接04,OB,
因为SA=AC,SB=BC,所以OA_LSC,OBISC
因为平面SAC_L平面SBC,所以平而。
4_L平面SBC
设。
4=>
所以，所以球的表而积为
【解析】取SC的中点0，连接0A.0B,
因为£
4=/C；
S3=BC,所以04_LSC；
08_LSC.
因为平面SAC_L平面SBC,所以Q4」平面SBC.
设Q4二1/『:
.球=；
xSq5sc乂04=：
乂$■乂2yx/乂尸二：
尸
所以:
尸=9n'
=3,所以球的表面积为4犷=36万
3
6.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为止，那么3
这个三棱柱的体积是.
【答案】48>
/3
【解析】由题意可得，球的半径为R=2,则正三棱柱的高为力=2R=4,底面正三角形中心到各边的距离为R=2,所以底面边长为46,从而所求三棱柱的体积为V=Sh=乎.（4行）2-4=4873.故正确答案为48JJ.
7.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为.【答案】3乃
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截而，得AABC及其内切圆OQ和外切圆。
O?
且两圆同
圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△48C为正三角形，由题意。
1的半径为r=l,••.△ABC的边长为2—,.♦.圆锥的底面半径为JT,高为3,.•.V='
x/rx3x3=3;
r.
8.已知棱长为3的正四面体A-BCD,E,F分别是棱AB,AC上的点，且AF=2FC,BE=2AE,求四而体A-EFD的内切球的半径。
如图所示，设四面体A-EFD的内切球半径为r,球心为0,连接0A,0E,0F,0D,则
K1-£
FD=^O-AEF+VO-AFD+O-ADE+VO-EH）»
四面体A-EFD的各面面积为
373
S^ED='
=—，ADEF各边边长分别为
EF=V3,DF=DE=V7,
-V=_y
•・'
A-EFD9vA-BCD
A-EFD=_MSseF+S^AFC+SAED+*^A£
>
EF）
.•.\2=1厂（\）+上1+2+±
2）,所以，=亚，故四面体A-EFD的内切球半径为2322448
V6
8
9.已知四面体P-ABC,PA=4,AC=2V7尸B=BC=2^/J/A_L而PBC,求四面体P-ABC的内切球与外接球面积的比。
由题意，已知。
4J_而PBC,PA=4,AC=2J7,PB=BC=2JJ,如图，由勾股定理得,
43=2、厅,。
=2行,所以妙5。
为等边三角形，AABC为等腰三角形，等边三角形PBC
所在小圆的直径尸。
=二^=4,那么四而体P-ABC的外接球直径sin60
I1反
AD=2R=J16+16=4、/1,所以R=2、£
l/p_ABc=—Sy8「PA=—・j・12・4=4V5,
表面积5=12、行・4・2+空・12+128・5=168.设内切球半径为r,那么242
4V3=i-16V3r,所以故四面体P-ABC的内切球半径与外接球半径的比34
-4-=—.即表面积之比为2。
2拒1616
10.球与正四而体的六条棱都相切，则球与正四面体的体积比是多少?
如图，设正四而体棱长为“，球半径为R,取AB中点E,CD中点F,连接AF,
BF,EF,则AF=BF=，:
环_LA3,同理可得2
石/_LCD,.•.石尸是AB,CD的公垂线段，则EF的长是
AB.CD的距离，
EF=ylAF-AE?
=l-a2--a2=—a,又由
V442
球与正四面体的六条棱相切，得EF是该球的直径，即
U4H34V23五3p口后
・・4=3"
成=.乃.〒〃二右加7，又嚓四而体=77〃
11.已知正三棱锥P-ABC,点PAB工都在半径为的球面上，若PA,PB,PC两两垂直,求正三棱锥P-ABC外接球球心到截面ABC的距离◎
把正三棱锥补成正方体，如图所示，可知外接球球心O为体对角线PD的中点，且PO=JL又P到平面ABC的距
离为/?
，VP-ABC=VB-APC，则
1.11.（2V2）2-//=l-i-2-2.2,,则球心O到
34323
截而ABC的距离为PO=介=E°
1.已知A,3,C三点都在以。
为球心的球面上，04,08,0。
两两垂直，三棱锥O—A5C
4
的体积为一，则球。
的表而枳为（）3
【解析】设球的半径为R,由题意。
4=OB=OC=R,可得三棱锥0—ABC体枳，
411
—=—x—/?
2xR,解得R=2,则球的表面积为S=4/rR2=4/rx22=16万，故选B.
332
2.三棱锥尸一48c的四个顶点均在半径为2的球面上，且A8=8C=C4=2#,平面R48_L平而ABC,则三棱锥尸一43c的体积的最大值为（）
A.4B.3C.4、/JD.3、/?
【解析】根据题意：
半径为2的球而上，且48=8。
=。
1=20,83。
为截面为大圆上三角形，
设圆形为。
，A3的中点为N,ON=J2・2-3=1,平面产48,平面482,二三棱
锥P—A5C的体积的最大值时，呐，48,9，平面4?
，08=jm=3,二三
棱锥P-ABC的体积的最大值为；
x$x（26丫x=3.
3.己知四面体A8CD的一条棱长为。
，其余棱长均为2小，且所有顶点都在表面积为20乃的球面上，则。
的值等于（）
A.36B.2x/5C.3&
D,3
【解析】如图所示的四面体ABCQ中，设AC=a,其余的棱长均为2/,取BO的中点E,
连接AE,CE,则AE=CE=3,又所有顶点都在表面积为20乃的球面上，所以球的半径为R=B球心。
落在线段“上，且痔=,32_（.）2=,9_：
，在直角△OCF中,则O尸+R?
2=R\即（9—2一行）2+
（二）2=62,解得〃=3jJ,故选A.
4.在三棱锥A-3C。
中，AABC与4BCD都是边长为6的正三角形，平而ABCL平而BCD,则该三棱锥的外接球的体积为（）
A.5yl\5nB.60kC.60JI5兀
D.20JU兀
【解析】取BC的中点为M,E、F分别是正三角形ABC和正三角形BCD的中心，。
是该三棱锥外接球的球心，连接AM、DM、OF、0E、0M>
OB,则E、F分别在AM、DM上,OF«
L平面BCD,OE_L平面ABC,OM±
BC>
AM_LBC,DM±
BC,所以NAMD为二而角A—BC—D的平面角，因为平而ABC_L平面BCD,所以AM_LDX,又AM=DM=3j5,所以==,AM二石，所以四
边形OEMF为正方形，所以0M=y石，在直角三角形OMB中，球半径
0B=JOA/2+BM?
=J（、石尸+32=,所以外接球的体积为4"
［力）-=20、/15兀，故
选D.
5.一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为旷的铁球，这时水而恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是（）
A."
【解析】
如图，作轴截面，设球未取出时，水而高FC=兀，球取出后，水而高阳=送.
：
AC=&
，PC-»
则以工£
为底面直径的圆锥容积为
一合笳代
二］我（遍吟:
・3尸二3支/，
/=7就••
球取出后，水而下降到E冷，水的体积为
匕uLoEH?
.尸H=工乜户Htan30RFH二上招・
女33,9
又‘2=小运专一嚏，则-rF=34三一二懑？
93
解得M=而八选B
6.已知三棱锥S—48C所有顶点都在球。
的球而上，且SC_L平面A8C,若
SC=AB=AC=\,ABAC=120°
则球。
的表而积为.
【答案】51
【解析】•••A8=l,AC=l,NB4C=120°
1-2x1x1x（—；
）=Q,，三角
后
形ABC的外接圆直径2r=二八。
=2,/.r=l,丁SC_L平面力3cse=LzXQSC为sin120
等腰三角形，，该三棱锥的外接球的半径/?
=Ji+L=q,:
该三棱锥的外接球的表面
V42
积为S=4成2=5乃,因此，本题正确答案是：
5万.
7.三棱锥P—A3C中，A3=Z?
C=JTJ,AC=6,PC_L平面ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球表面积为（）
25D25「83卜83
A・7TB・7tC.—7rD.7T
3232
由余弦定理得
【解析】由题意得，在AA3C中，因为A3=8C=Ji5,AC=6
2，=鉴=金=当即T所以球的半径为A八明『卷'
所以球可
的表面积为5=44/?
°
=44乂一=—4，故选。
.
82
.半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径，的可能最大值为（）.
【解析】四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2人该正四而体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为
9.如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处
于同于水平面，则这个碗的半径R是cm
1c105/27
【答案】10+——3
【解析】依题意可得碗的球心为o,半径为r.其它三个球的球心分别是q，ae.这四个点
构成了一个正三棱锥，其中侧棱表示两个球内切的圆心距关系.底面长为两个外切求的圆心距.所以。
LRT0.。
&
=2。
.通过解直角三角形可得g。
+竽.故填
10.有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面内切，第二个球与正方体各条棱相切,
第三个球过正方体各顶点，求三个球表而积的比。
设正方体棱长为，，，则内切球半径上?
棱切球其直径为正方体各面的对
角线长，则凡=也〃；
外接球直径为正方体的体对角线，故&
=史〃，所以表而积之2-2
比为「：
（后尸：
（&
）2=1：
2:
3。
11.如图所示，已知球0是棱长为1的正方体ABCD-A.B^D,的内切球，求平面ACD1截球0的截面积。
根据正方体的几何特征知，平面AC2截球。
的截而是边长为、反的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACR三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得A4CR的内切圆的半
径为也tan3（）o=、5,故所求的截面圆的面积是26
12.已知AB是球0的直径，CQ是球面上的两点，且D在以BC为直径的小圆上，如图所示,设此小圆所在平面为。
，
（1）求证：
平而ACB_L平而a；
（2）设AB与。
所成角为夕，过球半径0D且垂直于。
的截面截BC弦于E点，求AO石。
与经过点0,D的截面面积之比，并求。
为何值时，而积之比最大。
（1）证明：
连接球心。
与小圆圆心由球的性质知,
OQ_L圆面Oi，连接AC,在MAC中，显然有平行
等于白4。
因为_L圆而0「所以AC_L圆面01,又2
ACU而ACB,所以而ACB_L圆面0「即而ACBJ_平面a。
（2）因为而OED_L圆而O],面ACB_L圆而且而
ACBc而ODE=OE,故OE_L圆而,因为001_!
圆而01,所以0-E两点重合，即E为小
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