高层楼房电梯配置.docx
《高层楼房电梯配置.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高层楼房电梯配置.docx（34页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高层楼房电梯配置
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛的题目是：
高层办公楼电梯问题
我们的参赛报名号：
所属学校：
河南科技大学
参赛队员：
1.刘玉数学与统计学院统计系
2.周会玲数学与统计学院统计系
3.李萃数学与统计学院数学与应用数学系
指导教师或指导教师组负责人：
日期：
2010-8-30
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评阅人
评分
备注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
高层办公楼电梯问题
摘要
本文主要解决了高层办公楼在早上8：
20—9：
00之间电梯调度方案的问题。
由于处于上班高峰期，人流量很大，并且电梯数目有限，为了在限定的时间内将每一层的乘客运送上去，必须建立一个合理可行的电梯调度方案。
问题一中，由于电梯数目和时间有限，而且乘客数目很多，为了提高电梯的运行效率，使得电梯在限定时间内运载能力最大，我们采用分区域服务的方法，即每个电梯固定服务于办公楼不相交叉的楼层之间，进而建立以每个区域电梯的运行时间间隔最小为目标函数的非线性规划模型，为了更好的说明问题，我们考察了将楼层分成1个区域，2个区域和3个区域下的电梯运载能力：
17.25%，27.79%，37.69%，以及乘客的侯梯时间：
42.6s,（57.1723s,48.734s）,（56.3833s，57.7176s,58.9517s），因此，我们确定的电梯调运方案为：
区域
运行周期（s）
时间间隔（s）
电梯个数
服务区域
运载能力
1
56.3833
56.3833
1
2--4
37.69%
2
115.4352
57.7176
2
5--14
3
176.855
58.9517
3
15--30
并且得出结论：
在乘客等待且电梯数目有限的情况下，楼层划分的电梯服务区域越多，电梯的运载能力越大。
问题二中，若重新安装电梯，我们综合考虑电梯的运行效率和安装成本，建立了以电梯的运行时间间隔最短和安装成本最低的多目标非线性规划模型，通过求解，综合成本和时间两个因素，得出以下结论：
区域
服务楼层
速度（m/min）
运行周期（s）
时间间隔（s）
电梯个数
运载人数
1
2--8
243.8
87.8
29.3
3
1345
2
9--15
304.8
98.6
24.6
4
1761
3
16--22
243.8
115
28.7
4
1478
4
23--30
304.8
127.8
32.0
4
1364
关键字：
非线性规划多目标非线性规划分区域服务运载能力Matlab
一：
问题重述
商用写字楼在早上8点20分到9点00分这段时间里，上班的人陆续到达，底楼等电梯的地方就人山人海。
常常碰到再５分钟就迟到但电梯等了好长时间还没来的情况，候梯的人焦急万分。
所以，公司强烈要求设计一个合理有效的电梯调度运行方案。
各层楼的办公人数（不包括第一层楼）见表1
（1）数据
表l各楼层办公人数（个）一览表
楼层
人数
楼层
人数
楼层
人数
楼层
人数
1
2
3
4
5
6
7
8
—
208
177
222
130
181
191
236
9
10
11
12
13
14
15
16
236
139
272
272
272
270
300
264
17
18
19
20
2l
22
23
24
200
200
200
200
207
207
207
207
25
26
27
28
29
30
205
205
140
136
132
132
（2）第一层的高度为7．62m，从第二层起相邻楼层之间的高度均为3．9lm；
（3）电梯的最大运行速度是304.8m／min，电梯由速度0线性增加到全速，其加速度为1.22m／s2；
（4）电梯的容量为19人．每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s和0.5s，开关电梯门的平均时间为3s，其它损失时间（如果考虑的话）为上面3部分时间总和的10％；
（5）底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟；
第一问：
假如现有6部电梯，请你设计一下电梯调运方案，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到，减少候梯时间。
第二问：
如果大厦管理者想重新安装改造电梯，除满足以上运行要求外，还考虑电梯安装的安装成本，比如用较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，请给管理者写一个方案，提出一些合理的建议来实现（如需用数据分析说明，可设选用电梯的最大速度分别是243.8m／min，304.8m／min，365.8m／min）。
二：
问题分析
本文主要解决在上班高峰期电梯使用拥挤，周转速度慢的问题。
在8：
20到9：
00这40分钟内，上班的人陆续到达，在一楼等电梯的人越来越多。
题目中给出了各个楼层的人数，通过大约计算我们可以得到每天早上需要乘电梯的总共有5948人，而且电梯的数量有限，如果每部电梯所服务的区域都是从一楼到三十楼，那么所要花费的时间将会更长，一楼等候的时间也会很长。
由此我们可以知道，要想在这么短的时间内把所有人都运送到他所要到达的楼层是不可能的，我们只能通过把电梯分区域服务，以此来减少底楼的等候时间以及提高电梯的周转率。
所以，第一问我们需要解决的问题就是在满足题目中所有约束条件的前提下，确定所要分的区域和每个区域所分配的电梯个数。
对于问题二，如果要重新安装改造电梯，除了要满足题目中的约束条件外，还要考虑到成本问题。
所以，在本问中我们要确定安装各种规格的电梯数目，这也是一个整数规划问题。
本问的难点是既要满足底楼的最大等候时间不超过一分钟，还要使得花费的成本最低，这是一个多目标的规划问题。
三．模型假设
1.电梯每次都是满载运行。
2.电梯运行过程正常没有出现任何故障。
3.电梯在其所服务的区域每层楼都停。
4.电梯的服务区域没有交叉。
5.所有的乘客均为上行，且不考虑中途上下电梯的情况。
6.乘客相继进出电梯，不考虑同时进入或出去的情况。
四．符号定义
1.S表示把楼层分为S个区域。
2.
表示每个服务区域的起始层。
3.
表示每个服务区域的电梯个数。
4.
表示每个服务区域所包含的楼层数。
5.L表示办公楼的总层数。
（本题中L=30）
6.
表示办公楼第一层的高度。
（本题中
=7.62m）
7.h表示从第二层起相邻楼层之间的高度。
（本题中h=3.91m）
8.T表示每个区域电梯一个周期的运行时间。
9.C表示电梯的最大容量。
（本题中C=19）
10.I表示此办公楼的电梯总数。
（本题中I=6）
11.
表示电梯的最大运行速度。
12.a表示电梯的加速度。
（本题中1.22
）
13.
分别表示每个乘客上下电梯的平均时间。
（本题中
）
14.
表示开关电梯门的平均时间。
（本题中
）
15.t表示从第二层楼起相邻两层楼之间电梯作初速度为0的先加速后减速为0的运行时间。
16.
分别表示快速，中速，慢速三种电梯的价格，且
。
17.
表示所分区域的楼层的总人数。
18.
分别表示安装的三种电梯的个数。
19.
表示侯梯时间与安装成本的优先级别向量。
五．模型的建立
5.1电梯的两种运行方式
由分析可知，电梯有两种运行方式：
1.从零加速运行到最大速度然后以最大速度运行一段时间后再减速到零；
2.从零先加速运行然后在减速为零。
用下图来表示电梯的两种运行方式：
图
（1）图
（2）
图
（1）表示的是电梯先加速后减速的运行方式，我们可以推导运行时间t和路程S的关系。
有匀加速直线运动的理论知识我们可知：
（
）
图
（2）表示的是电梯先加速到最大速度然后匀速运动一段时间后再减速到零。
（
）
综上所述，电梯运行时间和路程的关系为：
5.2模型一的建立
由题目数据可得，在8：
20到9：
00之间陆续到达的人数为5948，而在限定的时间内和固定的电梯数的约束下，要想尽量高效的将更多的人运送上去，我们需要考虑电梯分区域服务的规则，又因为在该系统中，运载率不可能达到100%，所以我们只考虑使每个服务区域的电梯运行的时间间隔最短，这样，我们可以提高该系统中的电梯周转率，从而减少人们的等待时间。
我们将这30层楼分为多个区域，每个区域之间没有交叉且电梯在其所服务的区域之间每层楼都停。
办公楼相邻两层之间的高度h=3.91m,则电梯从0加速运行再减速为0的运行时间为t=3.6s;
我们以每个区域的电梯运行时间间隔最小为目标函数，建立下面的非线性规划模型：
◆目标函数：
即优化的目的是使得所有服务区中电梯运行的时间间隔最大的值达到最小；
◆约束条件：
即服务区域的最低层为二楼；
即服务区域的最低层限制于1-30之间；
即每个服务区域所服务的层数为相邻的两个服务区域的最低层之差；
即所有服务区域的服务层数不相重叠，且和为办公楼的总层数；
即对每个服务区域电梯数总和的限制；
即由于电梯数目有限，该办公楼最多分成I个区域；
即题目要求，对每个服务区域电梯的运行时间间隔限制在60秒以内；
其中，每个区域内一个电梯的运行周期
周期T包括四个部分:
从底楼到其服务区域的最低层运行的时间：
在其服务区运行时间：
在服务区域停靠及人进出电梯的时间：
从其服务区最高楼层下行运行的时间：
综上可得运行周期为：
5.3模型二的建立
如果要重新安装改造电梯，我们还要考虑到安装成本，在第一问中我们算出的最大运载能力也只能达到37.69%，而且时间间隔也比较长，很显然这是受电梯数量的限制和电梯速度的限制。
因此我们要想在40分钟内把各层楼的人流快速送到，减少等候电梯的时间，必定要增加电梯的个数以及合理选用电梯的速度。
考虑到如果在较高楼层之间安装速度比较大的电梯可以减少运行时间，从而可以减少电梯的安装数目，且较低层运行周期比较短，从而可以安装速度较小的电梯，综合以上考虑，为了在限定的时间内将所有的乘客都运送到，减少侯梯时间，并且安装成本最小，我们需要建立多目标非线性规划模型。
我们仍需考虑将这30层楼分成S个区域的情况，每个区域之间没有交叉且电梯在其所服务的区域之间每层楼都停。
如题目要求，我们以每个区域电梯运行时间间隔最小和安装电梯的成本最小为目标，建立多目标非线性规划模型：
◆目标函数：
（即成本最小，侯梯时间最短）
◆约束条件：
；即由题目要求可得三种电梯的价格大小
均为整数；
即服务区域的最低层为二楼；
即服务区域的最低层限制于1-30之间；
即每个服务区域所服务的层数为相邻的两个服务区域的最低层之差；
即所有服务区域的服务层数不相重叠，且和为办公楼的总层数；
；即为了在8：
20—9：
00将每个楼层区域的乘客全部运送完毕；
；即满足目标函数下的电梯数目的限制；
即题目要求，对每个服务区域电梯的运行时间间隔限制在60秒以内；
综合考虑安装成本和乘客的等待时间，为了求出最优的电梯安装与调度方案，我们将多目标规划问题转化为单目标规划，为了区分两个目标的优先级别，我们选取权重向量
来将两个目标函数进行线性相加，进而，将多目标非线性规划转化为单目标非线性规划：
◆目标函数：
；
其中权重向量
由实际情况综合分析而得。
六．模型的求解
6.1模型一的求解
由于所建立的目标函数为整数的非线性规划，求解的过称和所要分的区域的个数有关，在当前分为一个区域的情况下，电梯的运载能力不能满足要求。
考虑到要满足运载能力尽可能大且时间间隔不超过60秒，在现有六部电梯的情况下，我们利用matlab编程分别求出当把30层楼分为2个区域以及3个区域下的电梯运行情况以及在40分钟时间内的运载能力。
在当前分为一个区域的情况下
运行周期（s）
时间间隔（s）
电梯个数
服务区域
运载能力
255.9
42.6
6
2--30
17.25%
当分为两个区域时，每个区域分配三部电梯。
区域
运行周期（s）
时间间隔（s）
电梯个数
服务区域
运载能力
1
171.5169
57.1723
3
2--19
27.79%
2
146.2034
48.734
3
20--30
当分为三个区域时，考虑到了三种情况
（一）
区域
运行周期（s）
时间间隔（s）
电梯个数
服务区域
运载能力
1
110.1595
55.0794
2
2--11
37.05%
2
110.8794
55.4394
2
12--19
3
146.2034
73.1017
2
20--30
（二）
区域
运行周期（s）
时间间隔（s）
电梯个数
服务区域
运载能力
1
56.3833
56.3833
1
2--4
34.16%
2
176.7927
58.9309
3
5--22
3
127.8124
63.9062
2
23--30
（三）
区域
运行周期（s）
时间间隔（s）
电梯个数
服务区域
运载能力
1
56.3833
56.3833
1
2--4
37.69%
2
115.4352
57.7176
2
5--14
3
176.855
58.9517
3
15--30
由以上表格我们可知，采取分区域服务这种方法可以提高电梯的运载能力，在这几种方案中，分为三个区域且采取第三种分配方法效率比较高，且满足了时间间隔都不超过60s，同时运载能力也相对来说比较高。
因此我们采用第三种电梯调度方案。
即;
区域
运行周期（s）
时间间隔（s）
电梯个数
服务区域
运载能力
1
56.3833
56.3833
1
2--4
37.69%
2
115.4352
57.7176
2
5--14
3
176.855
58.9517
3
15--30
6.2模型二的求解
根据建立的模型分析可知，要想在40分钟之内把各层楼的人流尽快的送到，减少侯梯时间，一方面要考虑增加电梯的个数，同时还要满足乘客的要求，使等候电梯的时间尽可能的少，这两个目标函数是相互对立的。
增加电梯的个数会减少乘客的侯梯时间，但所需要的成本却增加了。
因此，我们需要权衡花费的成本和乘客的侯梯时间这两个方面。
我们利用matlab编程，采用穷举法，一一算出在不同的区域时这个方案的各个指标，一步一步搜索来确定如何划分区域以及分配的电梯个数和规格。
具体的搜索过程及得到的结果见附录。
根据我们的搜索结果，我们选取了四个区域，见下表.
区域
服务楼层
速度（m/min）
运行周期（s）
时间间隔（s）
电梯个数
运载人数
1
2--8
243.8
87.8
29.3
3
1345
304.8
87.2
29.1
3
1345
365.8
87.0
29.0
3
1345
2
9--15
243.8
101.5
20.3
5
1761
304.8
98.6
24.6
4
1761
365.8
97.2
24.3
4
1761
3
16--22
243.8
115
28.7
4
1478
304.8
109.4
27.3
4
1478
365.8
106.2
26.5
4
1478
4
23--30
243.8
136.3
27.3
5
1364
304.8
127.8
32.0
4
1364
365.8
122.7
30.7
4
1364
通过分析上面表格中的数据，我们可以得出如下结论：
对于区域1中，不同速度的电梯选用的个数均为3，且时间间隔相差不大，考虑到速度大的电梯成本较高，所以，在区域1中，我们选取3部速度为243.8m/min的电梯。
同理，在区域3中，我们选用4部速度为243.8m/min的电梯。
在区域2中，因为电梯的数量越少，选用的速度越低，成本就越小，所以我们选用4部速度为243.8m/min的电梯。
同理，在区域4中，我们选用4部速度为304.8m/min的电梯。
综上，我们就可以得出设定的方案，具体如下：
区域
服务楼层
速度（m/min）
运行周期（s）
时间间隔（s）
电梯个数
运载人数
1
2--8
243.8
87.8
29.3
3
1345
2
9--15
304.8
98.6
24.6
4
1761
3
16--22
243.8
115
28.7
4
1478
4
23--30
304.8
127.8
32.0
4
1364
在该方案中，电梯运行的时间间隔在30s左右，比较短，可以为乘客接受；电梯的数量设置相对较少，而且为低速和中速，公司所付的成本较少，而且大大减轻了电梯拥挤的现象，可以为公司接受。
所以，该方案可以为管理人员制定方案
提供参考。
七．模型评价
我们所建立的模型是基于电梯在所服务的区域中每层都停，电梯以初速为0加速运动再减速为0，且每个电梯所服务的区域不相交叉，而实际中，高峰期可能一个电梯中的19人都属于服务区域中的某几个楼层，电梯可能在某些层不停，这样，我们所求的电梯运行时间可能比实际大，因此我们的模型比较具有实际运用性。
但是，我们所考虑的电梯分区域服务方案中，电梯的停靠次数和运载人数不具有随机性，这些可能与实际有一定的偏差。
八．参考文献
1.宗群.基于排队论的上高峰电梯群控调度的研究【J】.系统工程与电子技术，2003，25（6）
2.陆辉广，谢超，杨博.高层办公楼电梯问题，兰州铁道学院学报，1997年3月
3.姜启源.《数学模型》，北京：
高等教育出版社，2004.
4.曹戈.《MATLAB教程及实训》，北京：
海洋出版社，2000年
附录：
附录：
模型一的程序：
functiont=fun（n,m,p）
%n表示服务区域的最低层，m表示服务区域的最高层，p表示电梯个数
b=3.6;%上升一层所用的时间从第二层开始
v=5.08;%电梯的最大速度
a=1.22;%加速度
h=3.91;%每层楼的高度
h0=7.62;%第一层的高度
H1=21.15;%电梯加速到最大速度在减速到0运行的高度
c=[0208177222130181191236236139272272272270300264200200200200207207207207205205140136132132];%每层楼的人数
H=0;Q=0;
fori=n:
m
Q=Q+c（i）;
end
H=h0+（n-2）*h;
ifH>H1
t1=H/v+v/a;
else
t1=2*sqrt（H/a）;
end
t2=b*（m-n）;
t3=（1.3*19+3*（m-n+1））*1.1;
H2=h0+（m-2）*h;
ifH2>H1
t4=H2/v+v/a;
else
t4=2*sqrt（H2/a）;
end
s=0;
s
（1）=t1+t2+t3+t4;%运行周期
r=floor（2400/s
（1））;
w=19*p*r;
ifw>Q
w=Q;
end
s
（2）=s
（1）/p;%时间间隔
s（3）=w;%运载的人数
t=s;
模型二的程序：
functiont=funn（n,m）
%n表示服务区域的最低层，m表示服务区域的最高层，p表示电梯个数
b=3.6;%上升一层所用的时间从第二层开始
v=5.08;%电梯的最大速度
a=1.22;%加速度
h=3.91;%每层楼的高度
h0=7.62;%第一层的高度
H1=21.15;%电梯加速到最大速度在减速到0运行的高度
c=[0208177222130181191236236139272272272270300264200200200200207207207207205205140136132132];%每层楼的人数
H=0;Q=0;
fori=n:
m
Q=Q+c（i）;
end
H=h0+（n-2）*h;
ifH>H1
t1=H/v+v/a;
else
t1=2*sqrt（H/a）;
end
t2=b*（m-n）;
t3=（1.3*19+3*（m-n+1））*1.1;
H2=h0+（m-2）*h;
ifH2>H1
t4=H2/v+v/a;
else
t4=2*sqrt（H2/a）;
end
s=0;
s
（1）=t1+t2+t3+t4;%运行周期
r=floor（2400/s
（1））
p=ceil（Q/（19*r））;
s
（2）=s
（1）/p;%时间间隔下限
s（3）=p;%电梯的个数上限
s（4）=Q;%运载的人数
t=s;
以下为程序的输出结果：
其中第一列为运行周期第二列为时间间隔第三列为电梯个数第四列为运载人数
>>fori=3:
30
a=i
f=[funn1（2,i）;funn2（2,i）;funn3（2,i）]
end
2—3
48.516848.51681.0000385.0000
48.516848.51681.0000385.0000
48.516848.51681.0000385.0000
2--4
56.383356.38331.0000607.0000
56.383356.38331.0000607.0000
56.383356.38331.0000607.0000
2—5
64.133432.06672.0000737.0000
64.133432.06672.0000737.0000
64.133432.06672.000
升级会员 