.故选D.
4．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品7个月份的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前6个月的市场收购价格：
月份
1
2
3
4
5
6
价格（元/担）
68
78
67
71
72
70
则前7个月该产品的市场收购价格的方差为（ ）
A.
B.
C．11D.
[答案] B
[解析] 设7月份的市场收购价格为x，则y＝（x－71）2＋（x－72）2＋（x－70）2＝3x2－426x＋15125，则当x＝71时，7月份的市场收购价格与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，则7月份的市场收购价格为71.则计算得前7个月该产品的市场收购价格的平均数是71，方差是
.
5．（2013·安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
[答案] C
[分析] 根据抽样方法的概念可判断选项A，B；分别把数据代入方差和平均数的公式可判断选项C，D.
[解析] 若抽样方法是分层抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错；由题目看不出是系统抽样，所以B错；这五名男生成绩的平均数
1＝
＝90，
这五名女生成绩的平均数
2＝
＝91，
故这五名男生成绩的方差为
[（86－90）2＋（94－90）2＋（88－90）2＋（92－90）2＋（90－90）2]＝8，这五名女生成绩的方差为
[（88－91）2×2＋（93－91）2×3]＝6，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以D错．
6．（2015·山东临沂高一月考）某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）
A．31,6岁B．32.6岁
C．33.6岁D．36.6岁
[答案] C
[解析] 根据所给的信息可知，在区间[25,30）上的数据的频率为1－（0.01＋0.07＋0.06＋0.02）×5＝0.2.故中位数在第3组，且中位数的估计为30＋（35－30）×
＝33.6（岁）．
二、填空题
7．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．（从小到大排列）
[答案] 1,1,3,3
[解析] 不妨设x1≤x2≤x3≤x4，
得：
x2＋x3＝4，x1＋x2＋x3＋x4＝8⇒x1＋x4＝4，
s2＝1⇔（x1－2）2＋（x2－2）2＋（x3－2）2＋（x4－2）2＝4⇒
①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意； ②只能取|x1－2|＝1；得：
这组数据为1,1,3,3.
8．阶段考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均分为N，那么MN为________．
[答案] 1
[解析] M＝
，
N＝
＝
＝M，
故MN＝1.
三、解答题
9．（2013·新课标全国卷Ⅰ）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：
h）．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2
3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1
2．3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3
1．4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2
2．7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根据两组数据绘制茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
[解析]
（1）设A药观测数据的平均数为
，B药观测数据的平均数为
.由观测结果可得
＝
×（0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5）＝2.3，
＝
×（0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2）＝1.6.
由以上计算结果可得
＞
，因此可看出A药的疗效更好．
（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有
的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有
的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．
[名师点睛] 从平均数上分析，甲、乙中平均数大的效果较好；从茎叶图上分析，要看甲、乙的叶在哪些茎上分布的比率大．如果甲的叶在某茎上分布的比率大，且该茎所对应的数据较大，那么甲的效果就较好．
10．某学校高一
（1）班和高一
（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下：
班级
平均分
众数
中位数
标准差
（1）班
79
70
87
19.8
（2）班
79
70
79
5.2
（1）请你对下面的一段话给予简要分析：
高一
（1）班的小刚回家对妈妈说：
“昨天的数学测验，全班平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算上上游了！
”
（2）请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议．
[分析]
（1）根据平均数、中位数、众数所反映的情况来分析；
（2）结合方差的意义来提出建议．
[解析]
（1）由于
（1）班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，成绩应该属于中游．
但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游．
（2）①班成绩的中位数是87分，说明高于87分（含87）的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助．
②班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优异的也很少，建议采取措施提高优秀率．
能力提升
一、选择题
1．某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是（ ）
A．高一的中位数大，高二的平均数大
B．高一的平均数大，高二的中位数大
C．高一的平均数、中位数都大
D．高二的平均数、中位数都大
[答案] A
[解析] 由茎叶图可以看出，高一的中位数为93，高二的中位数为89，所以高一的中位数大．由计算得，高一的平均数为91，高二的平均数为92
，所以高二的平均数大．
2．（2013·重庆）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：
分）
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A．2,5B．5,5
C．5,8D．8,8
[答案] C
[分析] 观察茎叶图，由中位数的概念可得x的值，由平均数的计算公式可得y的值．
[解析] 由于甲组的中位数是15，可得x＝5，由于乙组数据的平均数为16.8，得y＝8.
3．（2013·山东）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为（ ）
A.
B.
C．36D.
[答案] B
[分析] 根据茎叶图和平均数的计算公式求出x，然后根据方差的计算公式计算方差
[解析] 由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝
[（87－91）2＋（90－91）2×2＋（91－91）2×2＋（94－91）2×2]＝
.
4．（2015·四川省绵阳中学期末检测）在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）
①平均数x≤3；②标准差s≤2；③平均数x≤3且标准差s≤2；④平均数x≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4.
A．①②B．③④
C．③④⑤D．④⑤
[解析] 本题考查平均数、标准差、极差、众数的统计意义．假设连续7天新增病例数为0,3,3,3,3,3,6，易知满足平均数x≤3且标准差x≤2，但是不符合指标，所以①②③错误．若极差等于0或1，在平均数x≤3的条件下显然符合指标；若极差等于2，则极小值与极大值的组合可能有：
（1）0,2；
（2）1,3；（3）2,4；（4）3,5；（5）4,6.在平均数x≤3的条件下，只有
（1）
（2）（3）成立，且显然符合指标，所以④正确．又易知⑤正确，故选D.
[答案] D
二、填空题
5．某学员在一次射击测试中射靶6次，命中环数如下：
9,5,8,4,6,10
则
（1）平均命中环数为________；
（2）命中环数的标准差为________．
[答案]
（1）7
（2）
[分析] 直接把数据代入平均数和标准差计算的公式可解．
[解析]
（1）由公式知，平均数为
（9＋5＋8＋4＋6＋10）＝7.
（2）由标准差公式知，s2＝
（4＋4＋1＋9＋1＋9）＝
.
6．如图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为________
[答案] 46
[解析] 根据频数分布直方图，可估计有4人成绩在[0,20）之间，其考试分数之和为4×10＝40；有8人成绩在[20,40）之间，其考试分数之和为8×30＝240；有10人成绩在[40,60）之间，其考试分数之和为10×50＝500；有6人成绩在[60,80）之间，其考试分数之和为6×70＝420；有2人成绩在[80,100）之间，其考试分数之和为2×90＝180，由此可知，考生总人数为4＋8＋10＋6＋2＝30，考试总成绩为40＋240＋500＋420＋180＝1380，平均数＝
＝46.
三、解答题
7．（2014·全国高考卷Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标
值分组
[75，85）
[85，95）
[95，105）
[105，115）
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
[解析]
（1）
（2）质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝（－20）2×0.06＋（－10）2×0.26＋0×0.38＋（10）2×0.22＋（20）2×0.08＝104.
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
8．（2015·广东省惠来高一阶段考试）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图所示.
分组
频数
频率
[10,15）
10
0.25
[15,20）
24
n
[20,25）
m
p
[25,30]
2
0.05
合计
M
1
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15）内的人数；
（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．
[解析]
（1）由分组[10,15）内的频数是10，频率是0.25，知
＝0.25，所以M＝40.
因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，m＝4，p＝
＝
＝0.10.
因为a是对应分组[15,20）的频率与组距的商，所以a＝
＝0.12.
（2）因为该校高三学生有240人，分组在[10,15）内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.
（3）估计这次学生参加社区服务人数的众数是
＝17.5.因为n＝
＝0.6，
所以样本中位数是15＋
≈17.1，
估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.1，
样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25，
估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25.
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