江苏专版202x版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词全称量.docx
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江苏专版202x版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第三节简单的逻辑联结词全称量
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
假
假
真
假
真
假
假
假
2．全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少一个、有些、某些等
3．全称命题和存在性命题
名称
形式
全称命题
存在性命题
结构
对M中的任意一个x，有p（x）成立
存在M中的一个x，使p（x）成立
简记
∀x∈M，p（x）
∃x∈M，p（x）
否定
∃x∈M，綈p（x）
∀x∈M，綈p（x）
[小题体验]
1．（2019·启东中学期末检测）在“綈p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，则p，q的真假为p________，q________.
解析：
∵“p∨q”为真，∴p，q至少有一个为真．“p∧q”为假，
∴p，q至少有一个为假，而“綈p”为真，∴p为假，q为真．
答案：
假 真
2．（2019·盱眙中学检测）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是________________________．
答案：
对于任意的实数x，使得x≤1
3．已知命题p：
对任意x∈R，总有2x＞0；q：
“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题：
①p∨q；②綈p∧綈q；③綈p∨q；④p∧綈q.其中为真命题的序号是________．
解析：
由题设可知：
p是真命题，q是假命题；所以綈p是假命题，綈q是真命题；所以p∨q是真命题，綈p∧綈q是假命题，綈p∨q是假命题，p∧綈q是真命题，故①④正确．
答案：
①④
1．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．
2．注意“或”“且”的否定：
“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．
[小题纠偏]
1．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，其否定为_____________________________．
答案：
若ab＝0，则a≠0且b≠0
2．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________．
解析：
命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：
存在两个全等三角形的面积不相等．
答案：
存在两个全等三角形的面积不相等
[题组练透]
1．已知命题p：
∀x∈R，log2（3x＋1）≤0，则命题p的否定是“______________________”．
答案：
∃x∈R，log2（3x＋1）＞0
2．（2018·淮安期末）若“∃x∈
，使得2x2－λx＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为________．
解析：
若“∃x∈
，使得2x2－λx＋1＜0成立”是假命题，
即“∃x∈
，使得λ＞2x＋
成立”是假命题，
所以“∀x∈
，都有λ≤2x＋
成立”是真命题．
由x∈
，得函数y＝2x＋
≥2
＝2
，
当且仅当x＝
时等号成立．
所以λ≤2
，即实数λ的取值范围为（－∞，2
]．
答案：
（－∞，2
]
3．已知函数f（x）＝x＋
，g（x）＝2x＋a，若∀x1∈
，∃x2∈[2,3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是________．
解析：
由题意知，f（x）min
≥g（x）min（x∈[2,3]），因为f（x）＝x＋
，所以f′（x）＝1－
，所以f（x）在
上单调递减，所以f（x）min＝f
（1）＝5，又因为g（x）在[2,3]上的最小值为g
（2）＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1.
答案：
（－∞，1]
4．（2019·南通中学调研）已知命题p：
“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：
“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：
若命题p：
“∀x∈[0,1]，a≥ex”为真命题，则a≥e；若命题q：
“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”为真命题，则Δ＝16－4a≥0，即a≤4，所以若命题“p∧q”是真命题，则实
数a的取值范围是[e,4]．
答案：
[e,4]
[谨记通法]
1．全称命题与存在性命题的否定
（1）改写量词：
确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
（2）否定结论：
对原命题的结论进行否定．
[提醒] 说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需找出一个正例．
2．由真假求参要转化
含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．
[典例引领]
（2019·泰州模拟）已知命题p1：
函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：
函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题①p1∨p2；②p1∧p2；③（綈p1）∨p2；④p1∧（綈p2）中，真命题的序号是________．
解析：
因为y＝2x在R上为增函数，
y＝2－x＝
x在R上为减函数，
所以y＝－2－x＝－
x在R上为增函数，
所以y＝2x－2－x在R上为增函数，故p1是真命题．
y＝2x＋2－x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题，
所以①p1∨p2是真命题；②p1∧p2是假命题；
③（綈p1）∧p2是假命题；④p1∧（綈p2）是真命题．
答案：
①④
[由题悟法]
判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤
（1）先判断简单命题p，q的真假．
（2）再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．
[即时应用]
1．（2018·启东期末）命题p：
0∈N*，命题q：
1∈Q，则“p或q”是________命题．（填“真”“假”）
解析：
命题p：
0∈N*，为假命题；
命题q：
1∈Q，为真命题，则命题“p或q”为真命题．
答案：
真
2．已知命题p：
若x＞y，则－x＜－y；命题q：
若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；
②p∨q；③p∧（綈q）；④（綈p）∨q中，是真命题的序号是________．
解析：
由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③綈q为真命题，则p∧（綈q）为真命题；④綈p为假命题，则（綈p）∨q为假命题．
答案：
②③
[典例引领]
（2019·无锡天一中学月考）已知命题p：
∃m∈[－1，1]，使不等式a2－5a＋5≥m＋2成立；命题q：
x2＋ax＋2＝0有两个负数根，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
解：
因为p∨q为真，p∧q为假，所以p，q一真一假．
由题设知，对于命题p，因为m∈[－1,1]，
所以m＋2∈[1,3]，
所以不等式a2－5a＋5≥1成立，
所以a2－5a＋4≥0，解得a≤1或a≥4.
对于命题q，因为x2＋ax＋2＝0有两个负数根，
所以
所以a≥2
.
若p真q假，则a≤1；若p假q真，则2
≤a＜4，
所以实数a的取值范围为（－∞，1]∪[2
，4）．
[由题悟法]
根据命题真假求参数范围的步骤
（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；
（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
[即时应用]
1．（2018·江苏百校联盟联考）已知命题：
“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：
当x∈[1,2]时，x2＋2x＝（x＋1）2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，
由题意得a＋8≥0，所以a≥－8.
答案：
[－8，＋∞）
2．（2019·海门中学检测）已知命题p：
∀x∈R，x2＋1＞0，命题q：
∀x∈R，
sinx＋cosx＜a，且p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：
由已知可得：
命题p为真命题，
∵p∧q为假命题，∴q为假命题．
若q为真，则a＞
sinx＋cosx对∀x∈R恒成立，
∵
sinx＋cosx＝2sin
且正弦函数y＝sinx的值域为[－1,1]，
∴
sinx＋cosx＝2sin
的最大值为2，∴a＞2.
∵q为假命题，∴a≤2，∴实数a的取值范围为（－∞，2]．
答案：
（－∞，2]
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．（2019·南通中学高三检测）命题“∃x∈（0，＋∞），lnx＝x－1”的否定是“________________”．
答案：
∀x∈（0，＋∞），lnx≠x－1
2．（2018·镇江模拟）已知命题p：
函数y＝ax＋1＋1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（－1,2）；命题q：
已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件，则有下列命题：
①p∧q；②（綈p）∧（綈q）；③（綈p）∧q；④p∧（綈q）．
其中为真命题的序号是________．
解析：
由指数函数恒过点（0,1）知，函数y＝ax＋1＋1是由y＝ax先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到．所以函数y＝ax＋1＋1恒过点（－1,2），故命题p为真命题；命题q：
m与β的位置关系也可能是m⊆β，故q是假命题．所以p∧（綈q）为真命题．
答案：
④
3．若“x∈[2,5]或x∈（－∞，1）∪（4，＋∞）”是假命题，则x的取值范围是________．
解析：
根据题意得“x∉[2,5]且x∉（－∞，1）∪（4，＋∞）”是真命题，所以
解得1≤x＜2，故x∈[1,2）．
答案：
[1,2）
4．已知函数f（x）＝x2＋mx＋1，若命题“∃x＞0，f（x）＜0”为真，则m的取值范围是________．
解析：
因为函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象过点（0,1），若命题“∃x＞0，f（x）＜0”为真，
则函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个不同交点，
所以
解得m＜－2，所以m的取值范围是（－∞，－2）．
答案：
（－∞，－2）
5．（2018·南京外国语学校模拟）已知命题p：
∃x∈R，使tanx＝1，命题q：
x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．
解析：
命题p：
∃x∈R，使tanx＝1是真命题，命题q：
x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也是真命题，所以，①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．故①②③④均正确．
答案：
①②③④
6．（2019·海门实验中学检测）命题p：
∃x∈[－1,1]，使得2x＜a成立；命题q：
∀x∈（0，＋∞），不等式ax＜x2＋1恒成立．若命题p∧q为真，则实数a的取值范围为________．
解析：
由x∈[－1,1]可知，当x＝－1时，2x取得最小值
，
若命题p：
∃x∈[－1,1]，使得2x＜a成立为真，则a＞
.
若命题q：
∀x∈（0，＋∞），不等式ax＜x2＋1恒成立为真，
即∀x∈（0，＋∞），a＜x＋
恒成立为真，
当x＝1时，x＋
取最小值2，
故a＜2.
因为命题p∧q为真，所以a∈
.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是________________．
解析：
全称命题的否定为存在性命题，因此命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n”．
答案：
∃n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
2．（2019·海安中学测试）若命题“∀x∈[1,2]，x2－4ax＋3a2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：
令f（x）＝x2－4ax＋3a2，根据题意可得
解得
≤a≤1，所以实数a的取值范围是
.
答案：
3．（2018·南通大学附中月考）已知命题p：
“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：
“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：
由题意知，p：
a≤1，q：
a≤－2或a≥1.因为“p∧q”为真命题，所以p，q均为真命题，所以a≤－2或a＝1.
答案：
（－∞，－2]∪{1}
4．（2018·沙市区校级期中）函数f（x）＝x3－12x＋3，g（x）＝3x－m，若对∀x1∈[－1,5]，∃x2∈[0,2]，f（x1）≥g（x2），则实数m的最小值是________．
解析：
由f′（x）＝3x2－12，可得f（x）在区间[－1,2]上单调递减，在区间[2,5]上单调递增，
∴f（x）min＝f
（2）＝－13，
∵g（x）＝3x－m是增函数，∴g（x）min＝1－m，
要满足题意，只需f（x）min≥g（x）min即可，解得m≥14，
故实数m的最小值是14.
答案：
14
5．已知p：
|x－a|＜4，q：
（x－2）（3－x）＞0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：
由题意知p：
a－4＜x＜a＋4，q：
2＜x＜3，因为“綈p”是“綈q”的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件．所以
或
解得－1≤a≤6.
答案：
[－1,6]
6．（2019·杨大附中月考）给出下列命题：
①∀x∈N，x3＞x2；
②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
③∃x∈R，x2－x＋1≤0；
④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
则上述命题的否定中，真命题的序号为________．
解析：
命题与命题的否定一真一假．①当x＝0或1时，不等式不成立，所以①是假命题，①的否定是真命题；②可以被5整除的整数，末位数字是0或5，所以②是假命题，②的否定是真命题；③x2－x＋1＝
2＋
＞0恒成立，所以③是假命题，③的否定是真命题；④是真命题，所以④的否定为假命题．
答案：
①②③
7．命题p的否定是“对所有正数x，
＞x＋1”，则命题p可写为________________________．
解析：
因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为存在性命题，再对结论否定即可．
答案：
∃x∈（0，＋∞），
≤x＋1
8．若“∀x∈
，m≤tanx＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．
解析：
由x∈
，可得－1≤tanx≤1，所以0≤tanx＋1≤2，
因为∀x∈
，m≤tanx＋1，所以m≤0，所以实数m的最大值为0.
答案：
0
9．（2018·南京期末）已知m∈R，设命题p：
∀x∈R，mx2＋mx＋1＞0；命题q：
函数f（x）＝x3－3x2＋m－1只有一个零点，则使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围为________．
解析：
若p为真，当m＝0时，符合题意；
当m≠0时，
则0＜m＜4，
∴命题p为真时，0≤m＜4.
若q为真，由f（x）＝x3－3x2＋m－1，得f′（x）＝3x2－6x，
令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2.
∴当x∈（－∞，0）∪（2，＋∞）时，f′（x）＞0；当x∈（0,2）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减区间为（0,2）．
∴f（x）的极大值为f（0）＝m－1，极小值为f
（2）＝m－5.
要使函数f（x）＝x3－3x2＋m－1只有一个零点，则m－1＜0或m－5＞0，
解得m＜1或m＞5.
∵“p∨q”为假命题，∴p为假，q为假，
即
解得4≤m≤5，
故实数m的取值范围为[4,5]．
答案：
[4,5]
10．（2018·南京一中模拟）给出如下命题：
①“a≤3”是“∃x∈[0,2]，使x2－a≥0成立”的充分不必要条件；
②命题“∀x∈（0，＋∞），2x＞1”的否定是“∃x∈（0，＋∞），2x≤1”；
③若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题．
其中正确的命题是________．（填序号）
解析：
对于①，由∃x∈[0,2]，使x2－a≥0成立，可得a≤4，因此为充分不必要条件，①正确；②显然正确；对于③，若“p且q”为假命题，则p，q中有一假命题即可，所以③错误．
答案：
①②
11．已知命题p：
函数y＝lg（ax2＋2x＋a）的定义域为R；命题q：
函数f（x）＝2x2－ax在（－∞，1）上单调递减．
（1）若“p∧綈q”为真命题，求实数a的取值范围；
（2）设关于x的不等式（x－m）（x－m＋2）＜0的解集为A，命题p为真命题时，a的取值集合为B.若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
解：
（1）若p为真命题，则ax2＋2x＋a＞0的解集为R，
则a＞0且4－4a2＜0，解得a＞1.
若q为真命题，则
≥1，即a≥4.
因为“p∧綈q”为真命题，所以p为真命题且q为假命题，
所以实数a的取值范围是（1,4）．
（2）解不等式（x－m）（x－m＋2）＜0，得m－2＜x＜m，
即A＝（m－2，m）．
由
（1）知，B＝（1，＋∞）．
因为A∩B＝A，则A⊆B，
所以m－2≥1，即m≥3.
故实数m的取值范围为[3，＋∞）.
12．设p：
实数x满足x2－5ax＋4a2＜0（其中a＞0），q：
实数x满足2＜x≤5.
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若綈q是綈p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：
（1）当a＝1时，x2－5x＋4＜0，解得1＜x＜4，
即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜4.
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是（2,4）．
（2）綈q是綈p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，
设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则BA，
由x2－5ax＋4a2＜0得（x－4a）（x－a）＜0，
因为a＞0，所以A＝（a,4a），
又B＝（2,5]，则a≤2且4a＞5，解得
＜a≤2.
所以实数a的取值范围为
.
13．（2019·启东检测）已知p：
∃x∈（0，＋∞），x2－2elnx≤m；q：
函数y＝x2－2mx＋1有两个零点．
（1）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
解：
若p为真，令f（x）＝x2－2elnx，问题转化为求函数f（x）的最小值．
f′（x）＝2x－
＝
，令f′（x）＝0，解得x＝
，
函数f（x）＝x2－2elnx在（0，
）上单调递减，在（
，＋∞）上单调递增，
故f（x）min＝f（
）＝0，故m≥0.
若q为真，则Δ＝4m2－4＞0，解得m＞1或m＜－1.
（1）若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，即m＜0且－1≤m≤1，
所以实数m的取值范围为[－1,0）．
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假．
若p真q假，则实数m满足
即0≤m≤1；
若p假q真，则实数m满足
即m＜－1.
综上所述，实数m的取值范围为（－∞，－1）∪[0,1]．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．（2019·姜堰中学检测）设p：
函数f（x）＝x3－mx－1在区间[－1,1]上单调递减；q：
方程
＋
＝1表示焦点在y轴上的椭圆．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：
若p为真，由函数f（x）＝x3－mx－1在区间[－1,1]上单调递减，
得f′（x）＝3x2－m≤0在区间[－1,1]上恒成立，即m≥3x2，
当－1≤x≤1时，3x2≤3，则m≥3；
若q为真，由方程
＋
＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
得
解得1＜m＜5.
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p，q一真一假，
若p真q假，则
得m≥5；
若p假q真，则
得1＜m＜3，
综上，实数m的取值范围是（1,3）∪[5，＋∞）．
答案：
（1,3）∪[5，＋∞）
2．（2018·宿迁中学月考）已知命题p：
∃x∈R，mx2＋2≤0，q：
∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：
因为p∨q为假命题，所以p，q都是假命题．
由p：
∃x∈R，mx2＋2≤0为假命题，得綈p：
∀x∈R，mx2＋2＞0为真命题，所以m≥0.
由q：
∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假命题，得綈q：
∃x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题，所以Δ＝（－2m）2－4≥0，解得m≤－1或m≥1.
综上，可得m≥1.
答案：
[1，＋∞）
命题点一 集合及其运算
1.（2017·江苏高考）已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
解析：
因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即实数a的值为1.
答案：
1
2．（2016·江苏高考）已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.
解析：
在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．
答案：
{－1,2}
3．（2015·江苏高考）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
解析：
因为A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，
所以A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素个数为5.
答案：
5
4．（2018·浙江高考改编）已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝________.
解析：
∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁UA＝{2,4,5}．
答案：
{2,4,5}
5．（2018·北京高考改编）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2，0,1,2}，则A∩B＝________.
解析：
∵A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，B＝{－2,0,1,2}，∴A∩B＝{0,1}．
答案：
{0,1}
6．（2018·全国卷Ⅰ改编）已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝________.
解析：
A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．
答案：
{0,2}
命题点二 充分条件与必要条件
1．（2017·浙江高考改编）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的________条件．
解析：
因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d＞0⇔S4＋S6＞2S5.
答案：
充要
2．（2018·天津高考改编）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的________条件．
解析：
由x3＞8⇒x＞2⇒|x|＞2，反之不成立，
故“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．
答案：
充分不必要
3．（2018·天津高考改编）设x∈R，则“
＜
”是“x3＜1”的________条件．
解析：
由
＜
，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，即“
＜
”⇒“x3＜1”；由x3＜1，得x＜1，当x≤0时，
≥
，即“x3＜1”
“
＜
”．所以“
＜
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