因此在第一段，梁的挠曲线可写为
第二段相对于第一段，在其左端多了一个集中力，相当于该段初始端的剪力。
所以梁的挠度在第一段过渡到第二段时将仅增加一相与集中力P有关的项P
3/6EI。
一般外载荷作用下的梁的挠曲线方程式为
梁的支座型式及所对应的边界条件
梁端的边界条件就是梁端弯曲要素的特定值或梁端弯曲要素之间的特定关系，它取决于梁端的支座情况。
不同的支座对梁有不同的约束，因而给出不同的边界条件，所以研究梁的边界条件必需由梁的支座谈起。
自由支持在刚性支座上、刚性固定在刚性支座上、弹性支座、弹性固定端
梁的应力
梁断面有弯曲正应力和剪应力。
弯曲正应力沿断面高度线性分布、沿断面宽度均匀分布，相应于规定的符号法则（2.1节），断面距中性轴y处的正应力为
（2.2.17）
矩形断面梁距中和轴y处的剪应力为
（2.2.18）
其中
（2.2.19）
为断面上从y到边缘部分的面积对中性轴的静距。
对于b×h的矩形断面，可得出
（2.2.20）
从中可以看出．剪应力沿断面高度为二次抛物线分布，沿断面宽度均匀分布。
在中性轴（y=0）处剪应力最大，其值为
剪切对梁弯曲变形的影响
推导微分方程式EIυIV=q时，在平衡方程式中考虑了剪力，但平衡方程式只是把M与q联系起来，最后仍基于纯弯曲时M与υ的关系导出υ与q的关系。
因此，由EIvIV=q求出的挠度υ通常理解为仅由弯矩引起的挠度。
本节要来考虑剪切对梁弯曲变形的影响。
其做法有两种，其一是从弹性力学出发，得出剪切对梁弯曲变形的影响，这样做严格，但很复杂；其二是不改变梁的基本关系式EIυ′′=M，而是在求出了梁的剪应力后，单独考虑剪应力产生的弯曲变形，再把所得变形与不考虑剪切时的结果相加。
第二种做法相当于对前面所述的弯曲变形作一次剪切修正，这样做的优点是简单，又能满足需要，故采取这一种方法。
下面先分析为什么剪切会引起挠度。
仍旧在梁中取长度为dx的微段来研究，见图2.3.1。
微段的两个断面上作用有剪应力，因此就要发生剪应变。
暂时先不考虑剪应力沿断面高度的变化，这时在图2.3.1所示的剪应力作用下，微段将发生歪斜，于是就产生了由于剪应力的存在而产生的挠度dυ2。
事实上梁断面上的剪应力沿高度是不均匀分布的，在中性轴处剪应力最大，在上下表面剪应力为零，因此梁的剪应变亦必然在中性轴处为最大，在上下表面处为零。
这祥一来，所述的微段除了发生剪切挠度以外，断面不再保持平面，而将发生翘曲，如图2.3.2所示。
图2.3.1图2.3.2
在这种情况下，通常把梁的剪切挠度定义为中性轴处剪切应变相应的挠度。
设中性轴处的剪切角为γmax，则有
（2.3.1）
式中G为材料的剪切模量，As为梁断面的“有效抗剪面积”，它小于断面的真实面积A，As乘上最大剪应力即为断面上的剪力。
于是由上节的结果可知：
短形断面理As=2A/3；圆断面As=3A/4；薄壁工字断面As≈Aw。
公式（2.3.1）中的负号表示剪力N为负时，剪切挠度υ2为正。
剪切引起的挠度计算
现从所得的关系式（2.3.1）出发，计算梁因剪切形成的挠度v2。
设υ1为弯矩形成的挠度，则将前面导得的关系式EIυ1′′=M及EIυ1′′′=N代入式（2.3.1）中，即得
（2.3.2）
积分后得
（2.3.3）
式中c1为积分常数。
另一方面，由2.1节中的公式（2.1.14）可知，梁在受分布载荷q（x）作用的情况下：
（2.3.4）
此式可改写为
（2.3.5）
式中，
；a、b、c、d为四个新的积分常数。
对式（2.3.5）求导得
（2.3.6）
（2.3.7）
如果梁上受任意外载荷，则应利用公式（2.1.18），此时
仍可写成（2.3.5）的形式，但其中的f（x）为（2.1.18）式后面三项组成的函数。
将
代入式（2.3.3）中，即得剪切挠度为
梁的总挠度为
与
之和，因此有
（2.3.8）
式中积分常数a、b、c、d，要由梁的边界条件决定。
在用边界条件时注意到：
（1）梁的挠度为
；
（2）由于剪切变形引起断面翘曲，但没有改变断面的中性轴处的转角，认为剪切不影响断面的转角，从而梁断面的转角将仍用公式（2.3.6）表示；
（3）梁的弯矩与剪力为
，
实际上，剪切对变形的影响只是增加了一个附加挠度υ2。
在考虑剪切对弯曲变形的影响时
需要保留，则梁的挠度增大。
如果仅考虑弯曲变形，要舍弃
项，则梁的挠度减小。
这相当于在理论上提高了梁的抗弯刚度（实际上并没有提高），所以是偏于危险的。
梁的弯曲其他型式
梁复杂弯曲的微分方程式
梁上除了垂直于梁轴线的载荷以外，同时还受到沿着梁轴向作用的载荷（这种载荷叫做梁筑纵向载荷），这时梁的弯曲叫做“复杂弯曲”，又称为“纵横弯曲”。
轴向力的存在一方面使得梁断面的正应力增加一项沿断面均匀分布的量T/A（A为梁的断面面积），同时对梁的弯曲要素也有一定的影响。
梁在复杂弯曲时，认为平断面假定和虎克定律仍然相符，基本关系式EIυ′′=M不变。
弹性基础梁
第四章力法
主要内容及解题要点
0.1叙述了用力法分析杆件结构的原理及其应用。
研究对象为船体结构中的连续梁、不可动节点简单刚架及板架；讨论了船体结构中弹性支座与弹性固定端的形成及其柔性系数的计算问题。
0.2所述的力法以单跨梁建立的弯曲要素表和叠加原理为基础，通过以结构中某些特殊节点（如支座处、断面变化处、相交节点处）的节点力（或力矩）为基本未知数，以这些节点处的变形连续条件建立方程式，解出未知力，从而将复杂的杆系结构化为一根在节点处相联系的单跨梁。
因此力法在具体计算时对象仍为单跨梁。
0.3对于在刚性支座上的连续梁及不可动节点简单刚架，一般将结构在支座或节点处拆为一段段两端自由支持的单跨梁加上未知弯矩，然后用转角连续条件求解。
因此有几个未知弯矩必有几个的转角连续方程式，即三弯矩方程式。
对于在弹性支座上的连续梁，还需在每一个弹性支座处列补充方程式，最后所所得的转角连续方程式即为五弯矩方程式。
0.4在板架（交叉梁系）计算中，将主向梁与交叉构件在节点处分开代以节点力，再用主向梁与交叉构件相交节点挠度相等的条件求解。
对于船体板架，一般认为外荷重全部由主向梁承受。
一根交叉构件与许多根同样主向梁组成的板架的解法是综合力法与弹性支座概念而形成的计算方法。
计算时交叉构件化为弹性基础梁，弹性基础梁的荷重及弹性基础刚度与主向梁上的荷重形式、主向梁边界情况有关。
求解弹性基础梁，即可通过其挠度（板架的节点挠度）求出节点力。
0.5在连续梁与平面刚架结构中，如果所研究的受载杆件与不受外载荷的杆或杆系相连，则总可以将不受载的杆及杆系化为受载杆的弹性固定端。
方法是：
（1）将受载杆和与其相连的不受载杆或杆系在连接支座处分开，加上弯矩M，此弯矩亦可令其为1。
（2）计算不受载杆在M作用断面处的转角θ，此θ必然与M同方向，θ与M的比值就是所需的受载杆弹性固定端的柔性系数。
在板架或一般的交叉梁系结构中，原则上说不受载杆对受载杆的支持可化为弹性支座，只要对不受载杆能写出在与受载杆相交节点处节叔力R与挠度υ之间的正比关系。
弹性支座的柔性系数A=υ/R，计算方法与步骤与上述弹性固定端的计算相同。
4.1超静定结构概念
一个结构，如果它的支座反力和各构件的内力都可以用静力平衡条件唯一地确定，叫做静定结构；如果结构的支座反力和各构件的内力不能完全由静力平衡条件唯一地确定，就叫做超静定结构。
静定结构是没有多余约束的几何不变体系，而超静定结构是有多余约束的几何不变体系。
超静定次数就是超静定结构中多余约束的个数。
如果从一个结构中去掉n个约束，结构就成为静定的，则原结构即为n次超静定结构。
当结构的内力（轴力、剪力、弯矩）无法求出，需解除结构内部约束时，减少的内约束个数亦结构的超静定次数。
4.2力法的基本概念
力法是解超静定结构的一种基本方法，兼顾考虑了静力平衡条件和变形协调条件。
4.2.1思想方法
在超静定结构中涉及到的问题是计算多余的未知力X1，只要设法求得了X1，其余的问题就是静定问题了。
力法的基本思想方法和解题的过程，大致有如下几步：
（1）将超静定结构的多余约束去掉，用约束反力代替，使其成为一个静定结构。
这个结构称为原来结构的基本结构。
（2）在去掉约束的地方，列出变形协调方程，以保证基本结构的变形与原结构相同，变形协调方程是力法的基本方程。
（3）求解变形协调方程，解出约束反力，以后的问题便为静定问题。
对于n次超静定结构，首先将这n个未知力对应的约束解除，得到力法的基本结构。
然后在这n个约束处及约束方向上建立变形协调方程，这些协调方程就是力法的基本方程式，共有n个方程。
根据迭加原理，这些方程可写为
（4.2.6）
式（4.2.6）为n次超静定结构的力法方程式一般形式。
根据位移互等定理，系数δij与δji是相等的，即δij=δji。
所以式（4.2.6）为正则方程式。
将式（4.2.6）用矩阵表达，得力法方程式的矩阵表达式
4.2.3三弯矩方程式－—求解连续梁的著名方法
研究有n+2个支座的连续梁，其支座编号为0、1、……n+1，这是一个n次超静定梁。
将连续梁中的1、2、……n支座处切开，得到n+1个简支梁，切开处的约束用力矩代替。
简支梁是静定的，这n+1个简支梁也是原结构的基本结构。
切开端的变形协调条件是其左右端面的转角相同，可以建立如下的力法正则方程
（4.2.9）
支座i处的转角仅与i-1～i和i～i+1两段梁有关，而与其他梁段无关。
这两段梁端共有三个未知弯矩Mi-1、Mi和Mi+1，建立i支座处变形协调方程时，只与这三个弯矩有关，方程中只有三个弯矩出现，故称为三弯矩方程。
三弯矩方程式广泛应用于求解连续梁和简单刚架上。
值得指出的是，如果连续梁上受到均布荷重、两端为刚性固定，并且是等断面、等跨度的，则连续梁的每一跨度的变形都将相同，从而梁在中间支座断面的转角等于零。
这种连续梁可以将每一个跨度处理为两端刚性固定的单跨梁，无需进行连续梁计算。
4.3简单刚架和简单板架的计算
在船体结构中，有些骨架结构可以简化为刚架，有些可以简化为板架结构。
刚架和板架构造的复杂程度因船而异，计算也有所不同。
下面首先研究简单刚架和简单板架的计算。
4.3.1简单刚架计算
船体结构的刚架大都是由横梁、肋骨与肋板组成的“肋骨刚架”。
刚架中杆件的相交点叫做刚架的“节点”。
如果刚架中节点汇交的杆件只有两根，则这种刚架叫做“简单刚架”；如果刚架节点汇交的杆件大于两根，则叫做“复杂刚架”。
在实际情况中，大多数刚架的节点在刚架受力变形后的线位移可以不计，故称为“不可动节点刚架”。
节点有较大的线位移发生，这种刚架称为“可动节点刚架”。
不可动节点简单刚架可以看作是连续梁的“折合”，刚架的节点相当于连续梁的支座，因此计算并不困难。
4.3.2简单板架计算
船体结构中，相互交叉的梁系叫做板架，板架受垂直于杆系平面的载荷作用而弯曲。
板架中梁的交又点叫做板架的“节点”。
在船体结构中的板架，其周界大都是矩形的，两个方向的梁是正交的，并且两个方向的梁的数目一般是不等的。
其中数目较多的一组梁叫做“主向梁”，与其交叉的数目较少的梁叫做“交叉构件”。
节点数目较少且主向梁与交叉构件都是等断面的简单板架计算。
用力法计算板架时，常用的办法是将板架两个方向的梁在相交节点处拆开。
如果忽略梁的扭转，则把两向梁拆开后，它们之间的相互作用力就是集中力，然后再用变形连续条件建立方程式求解这些集中力。
力法并不一定把原结构化为静定结构，但须有现成解可利用。
4.3.3结构对称、载荷对称的简化计算
结构对称、载荷对称的刚架，在对称节点处节点转角与节点断面弯矩大小相等、方向相反；在对称轴线上，转角与剪力都等于零。
在对称处有杆子（或支座）的刚架，此时刚架除了对称节点的转角与弯矩大小相等、方向相反以外，在对称轴的节点转角等于零，但左右断面中的弯矩与剪力均不等于零，从而可把刚架在对称轴处作为刚性固定端。
4.4弹性固定端与弹性支座的实际概念
4.4.1弹性固定端
杆件的弹性固定端是与其相连的不受外载荷的杆件作用的结果；换言之，受载杆与不受载杆相连时，不受载杆就相当于受载杆的弹性固定端。
计算弹性固定端的柔性系数，只需把受载杆与不受载杆在相交处切开并加上相互作用的弯矩M，计算无载杆在弯矩M作用处的转角θ，θ与M的比值就是柔性系数α。
由于在计算柔性系数时不需要知道M的大小，所以可以假设M=1，这时计算出单位弯矩作用处的转角θ，就是柔性系数的数值。
柔性系数的数值主要取决于无载杆的杆长与断面惯性矩，而与无载杆端点的固定情况关系不大。
这一结论说明，在杆系分析中要计算某一根杆件，事实上只需考虑与它相连的那些杆件的影响，而无需考虑远离此杆的其他杆件对它的作用。
4.4.2弹性固定端的固定系数
“固定系数”（fixitvfactor）反映的式弹性固定端固定程度，是弹性固定端断面的弯矩与假想为刚性固定时的断面弯矩之比，常用κ表示之：
（4.4.3）
κ在0到1中变化：
κ=0，即M弹=0，表示自由支持；κ=1，即M弹=M刚，表示刚性固定。
κ与α都是用来表示弹性固定端的系数，但在定义κ时并未要求弹性固定端中的转角一定要和弯矩成正比。
所以，用κ定义的固定端与用α定义的固定端在意义上并不相
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