河北省高考数学一轮复习 101随机抽样 精品导学案.docx
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河北省高考数学一轮复习101随机抽样精品导学案
第十章统计、统计案例
【知识特点】
1.统计中所学的内容是数理统计中最基本的问题，通过这些内容主要来介绍相关的统计思想和方法，了解一些有关统计学的基本知识，并能够应用几个基本概念、基本公式来处理实际生活中的一些基本问题。
2.统计案例为新课标中新增内容，主要是通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法。
增加了统计和统计案例后，使得高中数学的整个体系更加完善了，有利于开阔数学视野，丰富数学思想和方法。
【重点关注】
1.从对新课标高考试题的分析可以发现,主要考查抽样方法、各种统计图表、样本数字特征等。
对这部分的考查主要以选择题和填空题的形式出现。
2.统计案例中的独立性检验和回归分析也会逐步在高考题中出现,难度不会太大,多数情况下是考查两种统计分析方法的简单知识,以选择题和填空题为主。
【地位与作用】
《全国新课程标准高考数学考试大纲》中对考生能力要求明确界定为空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等六个方面，其中数据处理能力是首次提出的一个能力要求，这定义为：
会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。
数据处理能力主要依据统计（高考考试大纲对知识点要求如下表所示）或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题，对统计的要求已提升到能力的高度。
统计的思想方法广泛应用于自然科学和社会科学的研究中，统计的语言不仅是数学的语言，也是各学科经常引用的大众语言，统计知识是作为一个新时期公民所比备的知识。
统计学就是应用科学的方法收集、整理、分析、描述所要研究的数据资料，然后根据所得到的结果，进行推断或决策的一门实用性很强的科学。
统计这部分内容，在高中数学新课程中，主要分布在必修3第二章（约16课时）与选修2—3第三章（约9课时）。
相对于高中学生的认知水平和生活经历还相对不是很高，所以它只能属于非重点内容，所出的相关题目一般来说都相对比较简单。
但它紧密联系人们的生产生活实际，内容方法比较灵活，为命高考数学应用题提供了一个广阔的领域，将会越来越受到重视。
从最近几年各省份的高考信息统计可以看出，本单元命题呈现以下特点：
1.考查题型以选择、填空为主,分值均占4%～8%,基本属于容易题;
2.重点考查用样本估计总体,特别是频率分布直方图的应用,以及用样本的数字特征估计总体的数字特征,考查的知识是本章的重点内容;
3.预计本章在今后的高考中仍将在“用样本估计总体”中命题,别外由于在2007年广东高考中出现了关于变量间的相关关系的解答题,这就需要引起对变量相关关系的重视.
10.1随机抽样
【高考目标定位】
一、考纲点击
1.理解随机抽样的必要性和重要性;
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;
3.了解分层抽样和系统抽样方法.
二、热点提示
1.本节主要考查学生在应用问题中构造抽样模型、识别模型、收集数据等能力方法,是统计学中最基础的知识;
2.本部分在高考试题中主要以选择题或填空题的形式出现,题目多为中低档题,重在考查抽样方法的应用.
【考纲知识梳理】
1.简单随机抽样
（1）定义:
设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
（2）最常用的简单随机抽样的方法:
抽签法和随机数法.
2.系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
（1）先将总体的N个个体编号;
（2）确定分段间隔k,对编号进行分段,当是
整数时,取k=
;
（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号
（
）;
（4）按照一定的规则抽取样本,通常是将
加上间隔
得到第2个个体编号（
+
）,再加
得到第3个个体编号（
+2
）,依次进行下去,直到获取整个样本.
3.分层抽样
（1）定义:
在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.
（2）分层抽样的应用范围:
当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.
注:
三种抽样方法的共同点和联系:
（1）抽样过程中每个个体被抽取的机会均等;
（2）系统抽样中在分段后确定第一个个体时采用简单随机抽样,分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样.
【热点难点精析】
（一）简单随机抽样
※相关链接※
简单随机抽样的特点:
（1）抽取的个体数较少;
（2）逐个抽取;
（3）是不放回抽取;
（4）是等可能抽取.
注:
抽签法适于总体中个体数较少的情况,随机数表法适用于总体中个体数较多的情况.
※例题解析※
〖例〗某大学为了支持2010年亚运会,从报名的24名大三的学生中选6人组成志愿小组,请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.
思想解析:
（1）总体的个体数较少,利用抽签法或随机数表法可容易获取样本;
（2）抽签法的操作要点:
编号、制签、搅匀、抽取;
（3）随机数表法的操作要点:
编号、选起始数、读数、获取样本.
解答:
抽签法
第一步:
将24名志愿者编号,编号为1,2,3,……,24;
第二步:
将24个号码分别写在24张外形完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签;
第三步:
将24个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀;
第四步：
从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；
第五步:
所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员.
随机数表法
第一步:
将24名学生编号,编号为01,02,03,……24;
第二步:
在随机数表中任选一数开始,按某一确定方向读数;
第三步:
凡不在01～24中的数或已读过的数,都跳过去不作记录,依次记录下得数;
第四步:
找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组.
（二）系统抽样
※相关链接※
系统抽样的特点
（1）适用于元素个数很多且均衡的总体;
（2）各个个体被抽到的机会均等;
（3）总体分组后,在起始部分采用的是简单随机抽样;
（4）如果总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔为
如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样.
注:
系统抽样的四个步骤可简记为“编号——分段——确定起始的个体号——抽取样本”.
※例题解析※
〖例〗某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,3,……,295,为了了解学生的学习情况,要按1:
5的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程.
思路解析:
按比例分组
每组编号
用简单随机抽样确定每一组的学生编号
间隔相同抽取
组成样本.
解答:
按1:
5分段,每段5人,共分59段,每段抽取一人,关键是确定第1段的编号.按照1:
5的比例,应该抽取的样本容量为295÷5=59,我们把295名同学分成59组,每组5人.第一组是编号为1～5的5名学生,第2组是编号为6～1的5名学生,依次下去,第59组是编号为291～295的5名学生.
采用简单随机抽样的方法,从第1组5名学生中抽出一名学生,不妨设编号为
那么抽取的学生编号为
得到59个个体作为样本,如当
时的样本编号为3,8,13,……,288,293.
（三）分层抽样
〖例〗某政府机关有在编有员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级机关为了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施抽取.
思路解析:
（1）机构改革关系到名种人不同的利益;
（2）不同层次的人员情况有明显差异,故采用分层抽样.
解答:
用分层抽样方法抽取.
具体实施抽取如下:
（1）∵20:
100=1:
5,∴10/5=2,70/5=14,20/5=4,∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.
（2）因副处级以上干部与工人的人数较少,他们分别按1～10编号与1～20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;对一般干部70人采用00,01,02,，……，69编号，然后用随机数表法抽取14人。
（3）将2人,4人,14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本.
注:
分层抽样的操作步骤及特点
（1）操作步骤
①将总体按一定标准进行分层;
②计算各层的个体数与总体数的比,按各层个体数点总体数的比确定各层应抽取的样本容量;
③在每层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）.
（2）特点
①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;
②更充分地反映了总体的情况;
③等可能地抽样,每个个体被抽下马看花可能性都是
.
【感悟高考真题】
1.（2010重庆文数）（5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为
（A）7（B）15（C）25（D）35
解析：
青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:
5:
3，所以样本容量为
2.（2010四川文数）（4）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是
（A）12,24,15,9（B）9,12,12,7（C）8,15,12,5（D）8,16,10,6
解析：
因为
故各层中依次抽取的人数分别是
，
，
，
答案：
D
3.
（2010北京理数）（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：
厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
由图中数据可知a＝。
若要从身高在[120,130），[130，140）,[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为。
答案：
0.0303
【考点精题精练】
一、选择题
1.在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（D）
A、与第n次有关，第一次可能性最大
B、与第n次有关，第一次可能性最小
C、与第n次无关，与抽取的第n个样本有关
D、与第n次无关，每次可能性相等
2.对于简单随机抽样，每次抽到的概率（A）
A、相等B、不相等C、可相等可不相等D、无法确定
3.一个年级有12个班，每个班从1-50排学号，为了交流学习经验，要求每班的14参加交流活动，这里运用的抽样方法是（C）
A、简单随抽样B、抽签法C、随机数表法D、以上都不对
4.搞某一市场调查，规定在大都会商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止，这种抽样方式是（D）
A、系统抽样B、分层抽样
C、简单随机抽样D、非以上三种抽样方法
5.为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（A）
A、总体B、个体C、总体的一个样本D、样本容量
6.为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是（B）
A、8B、400C、96D、96名学生的成绩
7.为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（D）
A．1000名运动员是总体B．每个运动员是个体
C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是100
解析：
这个问题我们研究的是运动员的年龄情况，因此应选D。
答案：
D
8.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（B）
A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人
解析：
B；
点评：
根据样本容量和总体容量确定抽样比，最终得到每层中学生人数
9.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法
分析：
此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.
依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选B.
答案：
B
10.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（）
A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样
解析：
D。
点评：
采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定
11.某学校为了解高一800名新入学同学的数学学习水平，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是（）
（A）800名同学是总体
（B）100名同学是样本
（C）每名同学是个体
（D）样本容量是100
【解析】选D.据题意总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本容量是100，故只有D正确.
12.从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）
（A）5,10,15,20,25 （B）3,13,23,33,43
（C）1,2,3,4,5 （D）2,4,8,16,32
【解析】选B.据题意从50枚中抽取5枚，故分段间隔k=
=10,故只有B符合条件.
二、填空题
13.某中学为了了解高一学生的年龄情况，从所有的1800名高一学生中抽出100名调查，则样本是______.
【解析】样本是指从总体中抽取的一部分个体，故本题中的样本是这100名同学的年龄.
答案：
这100名同学的年龄
14.对有n（n≥4）个元素的总体
进行抽样，先将总体分成两个子总体
和
（m是给定的正整数，且2≤m≤n-2）,再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用
表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则
=;所有
（1≤i＜j≤
的和等于.
【答案】
6
【解析】
第二空可分:
①当
时,
;
②当
时,
;
③当
时,
;
所以
点评：
当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样。
采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行
15.某校有学生1387名，若采用系统抽样法从中抽取9名同学参加中学生身体素质检测，若要采用系统抽样，则先从总体中剔除的人数为______名.
【解析】由于1387除以9得154余1，故应先从1387名同学中随机剔除1名同学.
答案：
1
16.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有______名学生.
【解析】由题意知从高三年级抽取的人数为185-75-60=50人.所以该校高中部的总人数为
×1000=3700（人）.
答案：
3700
三、解答题
17.今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本。
问：
①总体中的某一个体
在第一次抽取时被抽到的概率是多少?
②个体
不是在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少?
③在整个抽样过程中，个体
被抽到的概率是多少?
解析：
（1）
，
（2）
，（3）
。
点评：
由问题
（1）的解答，出示简单随机抽样的定义，问题
（2）是本讲难点。
基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性
18.某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估.
（1）应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
（2）要从3000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？
（3）为了从4000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？
【解析】
（1）由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.
因为样本容量=120,总体个数=500+3000+4000=7500,则抽样比:
所以有500×
=8,3000×
=48,4000×
=64,所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.
分层抽样的步骤是：
①分层：
分为教职员工、初中生、高中生，共三层.
②确定每层抽取个体的个数：
在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.
③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本.
④综合每层抽样，组成样本.
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论.
（2）由于简单随机抽样有两种方法：
抽签法和随机数法.如果用抽签法，要作3000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是：
①编号：
将3000份答卷都编上号码：
0001，0002，0003，…，3000.
②在随机数表上随机选取一个起始位置.
③规定读数方向：
向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止.
（3）由于4000÷64=62.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3968个个体进行编号：
1，2，…，3968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1，2，…，62.从中随机抽取一个号码，如若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本：
23,85,147,209,271,333,395,457,…，3929.
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