学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型1.docx

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学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型1

Contents

第1讲平行线四大模型……………………………………………………………1

第2讲实数三大概念………………………………………………………………17

第3讲平面直角坐标系……………………………………………………………33

第4讲坐标系与面积初步…………………………………………………………51

第5讲二元—次方程组进阶………………………………………………………67

第6讲含参不等式（组）…………………………………………………………79

1平行线四大模型

知识目标

目标一熟练掌握平行线四大模型的证明

目标二熟练掌握平行线四大模型的应用

目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造

秋季回顾平行线的判定与性质

l、平行线的判定

根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．

判定方法l：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简称：

同位角相等，两直线平行．

判定方法2：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简称：

内错角相等，两直线平行，

判定方法3：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

简称：

同旁内角互补，两直线平行，

如上图：

若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；

若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；

若已知∠1+∠4=180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

另有平行公理推论也能证明两直线平行：

平行公理推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

2、平行线的性质

利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反

过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同

旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．

性质1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

简称：

两直线平行，同位角相等

性质2：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简称：

两直线平行，内错角相等

性质3：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

简称：

两直线平行，同旁内角互补

本讲进阶平行线四大模型

模型一“铅笔”模型

点P在EF右侧，在AB、CD内部

“铅笔”模型

结论1：

若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；

结论2：

若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.

模型二“猪蹄”模型（M模型）

点P在EF左侧，在AB、CD内部

“猪蹄”模型

结论1：

若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；

结论2：

若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.

模型三“臭脚”模型

点P在EF右侧，在AB、CD外部

“臭脚”模型

结论1：

若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；

结论2：

若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.

模型四“骨折”模型

点P在EF左侧，在AB、CD外部

“骨折”模型

结论1：

若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；

结论2：

若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.

巩固练习平行线四大模型证明

（1）已知AE//CF,求证∠P+∠AEP+∠PFC=360°

.

（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．

（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.

（4）已知∠P=∠CFP-∠AEP,求证AE//CF.

模块一平行线四大模型应用

例1

（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3=．

（2）如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．

（3）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=.

（4）如图，射线AC∥BD，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=．

练

（1）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为．

（2）（七一中学2015-2016七下3月月考）

如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C=.

例2

如图，已知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.

练

如图，已知AB∥DE，∠FBC=

∠ABF，∠FDC=

∠FDE.

（1）若n=2,直接写出∠C、∠F的关系；

（2）若n=3，试探宄∠C、∠F的关系；

（3）直接写出∠C、∠F的关系（用含n的等式表示）.

例3

如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：

∠E=2（∠A+∠C）.

练

如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.

例4

如图，∠3==∠1+∠2，求证：

∠A+∠B+∠C+∠D=180°．

练

（武昌七校2015-2016七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2=90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．

A.120°B.135°C.145°D.150°

模块二平行线四大模型构造

例5

如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则

∠GHM=.

练

如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+∠CHG=.

例6

已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=l0°，求证：

AB∥EF．

练

已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.

（1）如图（l），已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An，∠B1、∠B2…∠Bn-1之间的

关系．

（2）如图

（2），己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．

（3）如图（3），已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An之间的关系．

如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．

挑战压轴题

（粮道街2015—2016七下期中）

如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．

（1）若∠EFB=55°，∠EDP=30°，求∠MPD的度数；

（2）当点P在线段EF上运动时，∠CPD与∠ABP的平分线交于Q,问：

是否为定值？

若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；

（3）当点P在线段EF的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问

的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．

第一讲平行线四大模型（课后作业）

1.如图，AB//CD//EF,EH⊥CD于H,则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于（）.

A.180°B.270°C.360°D.450°

2．（武昌七校2015-2016七下期中）

若AB∥CD，∠CDF=

∠CDE，∠ABF=

∠ABE，则∠E：

∠F=（）．

A．2:

1B．3:

1C．4:

3D．3:

2

3.如图3，己知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=.

4.如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=．

5．如阁所示，AB∥CD，∠l=ll0°，∠2=120°，则∠α=.

6．如图所示，AB∥DF，∠D=116°，∠DCB=93°，则∠B=.

7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为.

8．如图，AB∥CD，EP⊥FP,已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．

9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.

10．已知，直线AB∥CD．

（1）如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？

请说明理由；

（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？

请说明理由；

（3）如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.