有限元基础及应用.pptx
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有限元基础及应用,课程介绍,一、课程内容：
1、有限元法理论基础；2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进行分析。
二、学习方法：
理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实际问题来掌握有限元理论。
三、学时数：
54学时（36学时理论+18学时实验）四、考核方式：
平时成绩+上机考试+笔试成绩,第一章绪论1.1有限元法概述有限元法诞生于20世纪中叶（1943年），随着计算机技术和计算方法的发展，已成为计算力学和计算工程科学领域里最为有效的方法，它几乎适用于求解所有连续介质和场的问题。
一、什么是有限元法？
有限元法是将连续体理想化为有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。
二、有限元法的基本思想,有限元法的基本思想是：
“分与合”。
“分”是为了划分单元，进行单元分析；“合”则是为了集合单元，对整体结构进行综合分析。
结构离散-单元分析-整体求解,三、有限元法的基本步骤,无论对于什么样的结构，有限元分析过程都是类似的。
其基本步骤为：
研究分析结构的特点，包括结构形状与边界、载荷工况等；将连续体划分成有限单元，形成计算模型，包括确定单元类型与边界条件、材料特性等；,（3）以单元节点位移作为未知量，选择适当的位移函数来表示单元中的位移，再用位移函数求单元中的应变，根据材料的物理关系，把单元中的应力也用位移函数表示出来，最后将作用在单元上的载荷转化成作用在单元上的等效节点力，建立单元等效节点力和节点位移的关系。
这一过程就是单元特性分析。
（4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体的有限元方程，求解出节点位移。
重点：
对于不同的结构，要采用不同的单元，但各种单元的分析方法又是一致的。
四、有限元法的学习路线,从最简单的杆、梁及平面结构入手，由浅入深，介绍有限元理论以及应用。
利用ANSYS软件分析问题。
五、有限元法的发展与应用有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。
（一）算法与有限元软件从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。
理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：
大型线性方程组的解法；非线性问题的解法；动力问题计算方法。
目前应用较多的通用有限元软件如下表：
另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。
（二）应用实例有限元法已经成功地应用在以下一些领域：
固体力学：
包括强度、稳定性、振动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学；。
转向机构支架的强度分析,基于ANSYS的齿轮啮合仿真,1.2有限元法在汽车工程中的应用随着大型有限元通用程序的推广和普及以及计算机硬件技术的飞速发展，有限元已成为汽车设计中的重要环节，无论在车型改造，还是在新车开发阶段，就产品中的强度、疲劳、振动、噪声等问题进行设计计算分析，可提高设计质量，缩短开发周期，节省开发费用，从而真正形成自主的产品开发能力。
车辆结构由不同的材料组成，其结构也非常复杂，包括板、梁、轴、块等通过铆接或焊接而成。
车辆结构承受的载荷也十分复杂，其中包括自重，路面激励、惯性力及构件之间的约束力。
各种汽车结构件都可以应用有限元进行静态分析、模态分析和动态分析。
现代汽车设计中，已从早期的静态分析为主转化为以模态分析和动态分析为主。
汽车结构有限元分析的应用主要体现在以下几方面：
整车及零部件强度和疲劳寿命分析整车及零部件刚度分析整车及零部件模态及动态分析汽车NVH（噪声、振动、声振粗糙度）分析整车碰撞安全性分析设计优化分析气动或流场分析热结构耦合分析,有限元应用实例接触问题,有限元应用实例冲压成型,有限元应用实例汽车安全气囊计算,有限元应用实例汽车碰撞1,有限元应用实例汽车碰撞2,有限元应用实例超弹性,总之，在工业产品设计开发的各个阶段，有限元的引入对降低开发成本，缩短研制周期，实施优化设计等都非常关键且效果显著。
设计,计算,判断（强度，刚度，稳定性等）,结束,不合理,合理,学习有限元需要的基础知识,线性代数数值计算：
数值代数、数值逼近、数值积分等弹性力学变分原理,第2章有限元分析过程的概要,2.1有限元分析的目的和概念,描述可承力构件的力学信息一般有三类：
（1）位移：
构件因承载在任意位置上所引起的移动；
（2）应变：
构件因承载在任意位置上所引起的变形状态；（3）应力：
构件因承载在任意位置上所引起的受力状态。
为什么采用有限元方法就可以针对具有任意复杂几何形状的结构进行分析，并能够得到准确的结果呢？
有限元方法是基于“离散逼近”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数。
一个复杂的函数，可以通过一系列的基函数的组合来“近似”，也就是函数逼近，其中有两种典型的方法：
基于全域的展开（如采用傅立叶级数展开）；基于子域的分段函数组合（如采用分段线性函数的连接）,例：
一个一维函数的两种展开方式的比较,两种方法特点,第一种方法（经典瑞利-里兹方法（Rayleigh-Ritz）的思想）：
所采用的基本函数非常复杂，而且是在全域上定义的，但它是高次连续函数，一般情况下，仅采用几个基底函数就可以得到较高的逼近精度；第二种方式（有限元方法的思想）：
所采用的基本函数非常简单，而且是在子域上定义的，它通过各个子域组合出全域，但它是线性函数，函数的连续性阶次较低，因此需要使用较多的分段才能得到较好的逼近效果，则计算工作量较大。
基于分段的函数描述具有非常明显的优势：
可以将原函数的复杂性“化繁为简”，使得描述和求解成为可能所采用的简单函数可以人工选取，因此，可取最简单的线性函数，或取从低阶到高阶的多项式函数可以将原始的微分求解变为线性代数方程。
但分段的做法可能会带来的问题有：
因采用了“化繁为简”，所采用简单函数的描述的能力和效率都较低，由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量。
2.2一维阶梯杆结构问题的求解,以1D阶梯杆结构为例，详细给出各种方法求解的过程，直观地引入有限元分析的基本思路，以此逐步介绍有限元分析的过程。
方法一：
材料力学求解,
（1）求内力,
（2）求应力,（4）求伸长量,（5）求位移（3）求应变,计算结果图示,讨论：
（1）求解的基本力学变量是力（或应力），由于以上问题非常简单，而且是静定问题，所以可以直接求出；,对于静不定问题，则需要变形协调方程，才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调方程时，则需要一定的技巧；若采用位移作为首先求解的基本变量，则可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基于A、B、C三个点的位移来进行以上问题的求解。
方法二：
节点位移求解及平衡关系,要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建相应的平衡关系，然后再进行求解。
首先分析杆内部的受力及变形状况,节点A、B、C的受力状况，分别建立它们各自的平衡关系,写成矩阵形式,代入已知数值,求解得：
已知,回代求出应变和应力,讨论：
物理含义就是内力与外力的平衡关系。
内力表现为各个节点上的内力，并且可以通过节点位移来获取。
方法三：
基于位移求解的通用形式,此方程的左端就是杆件的内力表达和杆件的内力表达之和，这样就将原来的基于节点的平衡关系，变为通过每一个杆件的平衡关系来进行叠加。
标准化过程,单元节点内力,单元节点的内力与外力平衡：
单元节点位移即：
单元节点外力,或,其中,为单元的刚度矩阵,例：
三连杆结构的有限元分析过程,
（1）节点编号和单元划分,
（2）计算各单元的单元刚度方程,（3）组装各单元刚度方程,（4）处理边界条件并求解,求支反力由方程组的最后一行方程，可求出支反力为求各个单元的其它力学量（应变、应力）,有限元分析的基本流程,总结：
有限元分析的最主要内容，就是研究单元，即首先给出单元的节点位移和节点力；然后，基于单元节点位移与节点力的相互关系可以直接获得相应的刚度系数，进而得到单元的刚度方程；再针对实际的复杂结构，根据实际的连接关系，将单元组装为整体刚度方程，这实际上也是得到整体结构的基于节点位移的整体平衡方程。
因此，有限元方法的主要任务就是对常用的各种单元（包括1D、2D、3D问题的单元）构造出相应的单元刚度矩阵；当然，如果采用直接法来进行构造，会非常烦琐，而采用能量原理（如：
虚功原理或最小势能原理）来建立相应的平衡关系则比较简单，这种方法可以针对任何类型的单元进行构建，以得到相应的刚度矩阵，推导单元刚度矩阵的方法的力学基础在后面介绍。
第3章杆梁结构分析的有限元方法,一、杆件有限元分析的标准化表征与算例,1杆件分析的基本力学原理连接它的两端一般都是铰接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，它不传递和承受弯矩。
（1）1D问题的基本变量,平衡方程,几何方程,物理方程位移边界条件,力边界条件,
（2）1D问题的基本方程,（3）虚功原理及虚功方程,图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：
图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：
综合可得：
即：
上式是以功的形式表述的。
表明：
图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。
这就叫做虚功原理。
进一步分析。
当杠杆处于平衡状态时，和这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足上式的关系。
将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。
对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，（由于是假想，故称为虚位移），那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。
这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。
在图中的和所作的功就不是发生在它本身（状态a）的位移上，（因为它本身是平衡的，不存在位移），而是在状态（b）的位移上作的功。
可见，这个位移对于状态（a）来说就是虚位移，亦即是状态（a）假象的位移。
虚功原理,必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。
对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。
它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。
还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。
这时该约束力叫做被动力。
（如图中的反力，由于支点C没有位移，故所作的虚功对于零）。
反之，如图的和是在位移过程中作功的力，称为主动力。
因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。
虚功原理,虚功原理与虚功方程,虚功原理表述如下：
在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功（各力所作的功的代数和）恒对于零。
虚功原理用公式表示为：
这就是虚功方程，其中P和,相应的代表力和虚位移。
虚功原理-用于弹性体的情况,虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设图中的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。
将虚功原理用于弹性变形时，总虚功要包括外力虚功（W）和内力虚功（U）两部分，即：
W-U；内力虚功（-U）前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。
根据虚功原理，总功等于零得：
外力虚功（W）,W-U=0=内力虚功（U）,弹性力学中的虚功原理可表达为：
在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功（外力功）等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功（内力功）。
注意这里的虚位移是指仅满足位移边界条件BC（u）的许可位移。
（4）1D问题的虚功原理求解,试函数（满位移足边界条件）：
由虚功原理：
（5）1D问题的最小势能原理求解,设有满足位移边界条件BC（u）的许可位移场计算该系统的势能（potentialenergy）为,对于包含有待定系数的试函数而言，真实的位移函数应使得该系统的势能取极小值，即,由上面的计算可以看出，基于试函数的方法，包括虚功原理以及最小势能原理，仅计算系统的能量，实际上就是计算积分，然后转化为求解线性方程，不需求解微分方程，这样就大大地降低了求解难度。
同时，也可以看出，试函数的方法的关键就是如何构造出适合于所求问题的位移试函数，并且该构造方法还应具有规范性以及标准化，基于“单元”的构造方法就可以完全满足这些要求。
2.局部坐标系中的杆单元描述,杆单元的描述单元的几何及节点描述,2.局部坐标系中的杆单元描述,1）杆单元的描述
（2）单元位移场的表达,该函数将由两个端节点的位移,，确定，故取：
单元节点条件为,将其代回位移试函数表达式得：
形状函数矩阵,（3）单元应变场的表达,几何矩阵（4）单元应力场的表达,应力矩阵,（5）单元势能的表达,单元刚度矩阵,节点力列阵,（6）单元的刚度方程利用最小势能原理，取极小值，可以得到单元的刚度方程,2.局部坐标系中的杆单元描述,2）变截面杆单元的推导,标准化过程：
1）平面杆单元的坐标变换局部坐标系中的节点位移为,3.杆单元的坐标变换,整体坐标系中的节点位移为,1）平面杆单元的坐标变换等价变换关系,3.杆单元的坐标变换,写成矩阵形式,坐标变换矩阵,整体坐标系下刚度方程的推导,整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的节点力列阵,由最小势能原理可得到整体坐标系中的刚度方程,2）空间杆单元的坐标变换局部坐标系中的节点位移为,整体坐标系中的节点位移为,2）空间杆单元的坐标变换杆单元轴线在整体坐标系中的方向余弦为,2）空间杆单元的坐标变换刚度矩阵和节点力的变换与平面情形相同，但,3.杆结构分析的算例,各杆的弹性模量和横截面积都为，试求解该结构的节点位移、单元应力以及支反力。
（1）结构的离散化与编号,
（1）结构的离散化与编号,
（2）各个单元的矩阵描述,
（2）各个单元的矩阵描述,（3）建立整体刚度方程,刚度矩阵：
节点位移：
节点力：
（3）建立整体刚度方程整体刚度方程为,（4）边界条件的处理及刚度方程求解边界条件BC（u）为：
（5）各单元应力的计算,同理，可求出其它单元的应力。
（6）支反力的计算将节点位移的结果代入整体刚度方程中，可求出,训练题P.91习题3,4.等效载荷。
总刚度矩阵组装方法。
二、梁件有限元分析的标准化表征与算例,1梁件分析的基本力学原理,图.受分布载荷作用的简支梁,图.梁问题的dx“微段”及受力平衡,梁特征：
（1）梁为细长梁，可只用x坐标来刻画，
（2）主要变形为垂直于x的挠度，可只用挠度来描述位移场。
针对这两个特征，可以对梁沿高度方向的变形做出以下设定：
（1）变形后的直线假定；
（2）小变形假定。
应变：
（采用,，沿高度方向满足直线假定）,变量对应于梁截面上的弯矩M。
位移：
应力：
（采用，其它应力分量很小，不考虑），该,【基本变量】平面梁的基本变量,（中性层的挠度）,【基本方程】平面梁的基本方程,
（1）平衡方程,（3）物理方程,（4）边界条件
（2）几何方程或：
为梁截面的惯性矩,对以上方程进行整理,有描述平面梁弯曲问题的基本方程：
（y方向的平衡）（x方向的平衡）（物理方程）（几何方程）,其中：
【求解原理】
（1）简支梁的微分方程解,这是一个常微分方程，其解的形式为,由四个边界条件求出待定参数，最后有结果,【求解原理】
（2）简支梁的虚功原理求解假设有一个只满足位移边界条件BC（u）的位移场为由几何方程：
该简支梁的虚应变能为：
该简支梁的外力虚功为,由虚功原理,，则,【求解原理】（3）简支梁的最小势能原理求解为提高计算精度，可以选取多项函数的组合，这里取满足位移边界条件BC（u）的许可位移场为,计算应变能U为,则为使总势能（,）,取极小值，则有,相应的外力功W为,解出和后得,注：
该方法得到的第一项与前面虚功原理求解出来的结果相同，与精确解相比，该结果比前面由虚功原理得到的结果更为精确，这时因为选取两项函数作为试函数，这也是提高计算精度的重要途径。
以上求解过程所用的试函数为许可基底函数的线性组合，因此，上述求解方法也是瑞利-里兹方法。
以上的【求解原理】
（2）和（3）都是基于试函数的能量方法（也称为泛函极值方法），基本要点是不需求解原微分方程，但需要假设一个满足位移边界条件BC（u）的许可位移场。
因此，如何寻找或构建满足所需要求的许可位移场是一个关键，并且，还期望这种构建许可位移场的方法还应具有标准化和规范性。
下面的重点将讨论通过基于“单元”的位移函数的构建就可以满足这些要求。
【局部坐标系中的平面梁单元】【单元构造】平面纯弯梁单元的描述,
（1）单元的几何及节点描述节点位移列阵为节点力列阵为,
（2）单元位移场的表达,由该单元的节点位移条件,其中：
叫做单元的形状函数矩阵,（3）单元应变场的表达由纯弯梁的几何方程，有梁的应变表达式,叫做单元的几何矩阵，即,（4）单元应力场的表达由梁的物理方程,叫做单元的应力矩阵,其中：
E为弹性模量，,（5）单元势能的表达该单元的势能为,：
外力功为其中：
中的,（6）单元的刚度方程由最小势能原理，将式取极小值，有单元刚度方程,对,【单元构造】一般平面梁单元的描述,为推导局部坐标系中的一般平面梁单元，在纯弯梁的基础上叠加进轴向位移（由于为线弹性问题，满足叠加原理），这时的节点位移自由度（DOF）共有6个。
平面梁单元图,：
平面梁单元的节点位移列阵平面梁单元的节点力列阵：
对应于图中的节点位移和式中节点位移列阵的排列次序，将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组合，可得到单元刚度矩阵，即,【典型例题】受均布载荷平面梁单元的等效节点载荷,解答：
讨论1：
若凭一种直觉，直接按照静力等效的方式来进行计算，即，每个节点各分一半进行静力等效，则计算出的节点等效力为,显然这样计算出的M1和M2都是错误的！
讨论2：
该等效节点载荷是按照外力功进行计算的，是通用的均布载荷的节点等效载荷，与节点的实际约束状态没有关系。
也就是说，图（a）中的几种情况的节点等效载荷都用式（*）。
（*）,【典型例题】悬臂-简支平面连续梁的有限元分析,试确定节点3的竖向位移、节点2和节点3的转角。
同时计算节点1和节点2的反力。
解答：
由于该梁在其中的一个位置有一个支撑，因此采用两个梁单元。
则该结构的整体节点位移列阵,该结构的整体刚度方程为,考虑位移边界条件：
然后，根据下述关系求解得各节点反力和弯矩,注意：
转角,在两个坐标系中是相同的,平面梁单元的坐标变换设局部坐标系下的节点位移列阵为,整体坐标系中的节点位移列阵为,按照两个坐标系中的位移向量相等效的原则，可推导出以下变换关系。
与平面杆单元的坐标变换类似，梁单元在整体坐标系中的刚度方程为,其中：
空间梁单元及坐标变换1.空间梁单元,
（1）对应于图中的节点位移有对应于杆单元的刚度矩阵为,
（2）对应于图中的节点位移有对应于轴单元的刚度矩阵为,（3）对应于图中Oxy平面内的节点位移,（4）对应于图中Oxz平面内的节点位移这是梁在Oxz平面内的纯弯曲情形，可得到与上式类似的刚度矩阵，但所对应的节点位移是不同的。
（6）将各分刚度矩阵进行组合以形成完整的单元刚度矩阵,2.空间梁单元的坐标变换局部坐标系中空间梁单元的节点位移列阵为,整体坐标系中的节点位移列阵为,有了坐标变换矩阵，就很容易写出整体坐标系下的刚度矩阵和刚度方程。
梁单元的常用等效节点载荷表3-4列出了常用的梁单元在承受非节点载荷下的节点载荷等效值，该等效值是根据外力功的计算公式得到的，因此，它与梁单元的边界条件没有关系（表3-4中的图示虽为固支，这些节点载荷等效值也可以用在其它边界情况）。
【典型例题】三梁平面框架结构的有限元分析,解答：
对该问题进行有限元分析的过程如下。
（1）结构的离散化与编号,节点位移列阵为节点外载列阵为支反力列阵为总的节点载荷列阵为,
（2）各个单元的描述单元的局部坐标与整体坐标是一致的，则可以直接得到,单元和单元的情况相同，只是节点编号不同而已，其局部坐标系下的单元刚度矩阵为,这两个单元轴线的方向余弦为,则可以计算出整体坐标下的单元刚度矩阵（单元和单元）,注意这两个单元所对应的节点位移列阵分别为对于单元：
对于单元：
（3）建立整体刚度方程组装整体刚度矩阵并形成整体刚度方程其中刚度矩阵的组装关系为（4）边界条件的处理及刚度方程求解该问题的位移边界条件为,处理该边界条件后的刚度方程为,求解后的结果为,第2章弹性力学基本方程及平面问题的有限元法,2.1弹性力学简介,本课程中的有限单元法理论要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。
将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。
弹性力学区别与联系材料力学,1、研究的内容：
基本上没有什么区别。
弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。
2、研究的对象：
有相同也有区别。
材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。
弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。
弹性力学区别与联系材料力学,3、研究的方法：
有较大的区别。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。
材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。
这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。
而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。
所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。
弹性力学区别与联系材料力学,例如，材料力学在研究有孔的拉伸构件通常就假定拉应力在净截断面均匀分布。
弹性力学区别与联系材料力学总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。
它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。
但是，弹性力学也有其固有的弱点。
由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。
但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。
弹性力学基本方程,、弹性力学中的几个基本概念：
1、体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。
单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。
2、面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。
单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号来表示。
3、内力、平均应力和应力内力（Internalforces）：
是物体本身不同部分之间相互作用的力；平均应力（theaveragestress）：
设作用在包含P点某一个截面mn上的单元面积（elementaryarea）A上的力为F，则F/A称为A上的平均应力；应力：
如果假设内力分布连续，命A无限减小并趋向P点,则F/A将趋向一个极限p:
这个极限P就叫做物体在截面mn上，在P点的应力。
弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
内力、平均应力和应力的概念,4.正应力和切应力的概念,正应力：
应力在作用截面法线方向的分量；切应力：
应力在作用截面切线方向的分量。
正平行六面体应力：
从物体中取出一个微
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