函数求定义域方法总结和配套习题doc.docx

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函数定义域求法的总结和配套习题

（1）分式中的分母不为零；

（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

（3）指数式的底数大于零且不等于一：

（4）对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零；

/

兀

（5）正切函数y=tanxxgk/r-^—.kgZ

（6）余切函数y=cotx（%gkn.kgZ）:

（7）反三角函数的定义域

函数y=arcsinx的定义域是［—1,1］,值域是22；

函数y=arccosx的定义域是［—1,1］,值域是［0,门］；

函数y=arctgx的定义域是R,值域是22；

函数y=arcctgx的定义域是R,值域是（0,□）□

1、抽象的

一、已知/（兀）的定义域，求f［g（x）］的定义域

例1已知函数/（X）的定义域为［-h5］,求/（3尢-5）的定义域.

分析：

该函数是由u=3x-5和/（况）构成的复合函数，其中兀是自变量，u是中间变量，由于于（兀）与/（%）是同一个函数/因此这里是已知TWuW5,即—lW3x—5W5,求x的取值范围・

41（）

解:

/（兀）的定义域为［—1,5］,—lW3x—5W5Ix—・

故函数f（3x-5）的定义域为

二、已知f［gM］的定义域，求/（兀）的定义域

例2已知函数f（x2-2x4-2）的定义域为［0,3］,求函数/（X）的定义域.

分析：

令弘=兀2-2兀+2，则/（x2-2x+2）=f（ii）,

由于/（⑴与/（x）是同一函数,因此“的取值范围即为/（切的定义域.

解：

由0W兀W3,得1W对—2兀+2W5•

v*w=%2-2x+2，贝lj/（x2—2x+2）=f（u）,1WuW5.

故/（x）的定义域为[1,5]・

三、运算型的抽象函数

例3若/（X）的定义域为[-35],求仅兀）=/（-劝+/（2兀+5）的定义域•

「一3W—兀W5,

解：

由/（尢）的定义域为[-35],则©Or）必有_3V2x+5；5解得-4GW0.

所以函数©（X）的定义域为[二0]・

3、逆向型

例5已知函数y=7mA2-6mx+m-^8的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：

函数的定义域为R，表明m<-6mx+/H4-8>0，使一切兀wR都成立，由x2项的系数是加，所以应分m=0或加H0进行讨论。

解：

当m=0时，函数的定义域为R；

当时'mx-6mm+8>0是二次不等式,其对一切实数x者0成立的充要条件是

[m>0

<=>0

[A二（-6m）2-4m（m+8）<0

综上可知0

2<1o

评注：

不少学生容易忽略m=0的情况z希望通过此例解决问题。

亠7

例6已知函数/（x）=nr的定义域是R,求实数k的取值范围。

kx^+4fct+3

解：

要使函数有意义，则必须总2+4也+3工0恒成立z因为/（%）的定义域为R，即匕2+4匕+3=0无实数解

1当"0日寸，△=16/—4x3k

4

2当k=0时，方程左边=3丰0恒成立。

3

综上k的取值范围是05£v丁。

4

抽象函数的定义域

总结解题模板

1•已知./Xx）的定义域,求复合函数/[g（Q]的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：

若/（X）的定义域为兀丘仏方），求出

中Q

2•已知复合函数/[g（x）]的定义域，求/（x）的定义域

方法是:

若/[§（%）]的定义域为xe（a,b）,则由a

3•已知复合函数/[g（Q]的定义域，求f[h（x）]的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：

可先由.f[g（Q定义域求得/⑴的定义域，再由/⑴的定义域求得f[h{x）\的定义域。

4.已知/（%）的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求岀各个函数的定义域，再求交集。

例1已知函数/（切的定义域为[-1,5],求/（3x-5）的定义域•

分析：

若/（x）的定义域为aWxWb，则在f[g（x）]中，dWg（x）Wb，从中解得尤的取值范围即为/[g（x）]的定义域.本题该函数是由w=3x-5和/（«）构成的复合函数，其中兀是自变量z伉是中间变量，由于/⑴与/（况）是同一个函数，因此这里是已知一1W%W5,即-1W3兀一5W5,求x的取值范围.

解：

/（x）的定义域为[—1,5],二—1W3jv—5W5,x.

故函数心-5）的定义域为[老¥]・

变式训练：

若函数y=/（Q的定义域为|,2，则/（log2X）的定义域为o

分析:

由函数y=/（兀）的定义域为韦,2可知：

*K2;所以尸/（log2x）中有^

解：

依题意知：

+

V2

/（log2x）的定义域为|x|V2

例2已知函数/（x2-2x+2）的定义域为[0,3],求函数/（兀）的定义域.

分析：

若f[g（x）]的定义域为mWxWn,则由mWxWn确定的g（x）的范围即为/（Q的定义域•这种情况下，/（Q的定义域即为复合函数f[g（x）]的内函数的值域。

本题中令u=x2-2x-b2,则/（x2-2x+2）=f（u）,

由于/（w）与f（x）是同一函数,因此u的取值范围即为/（x）的定义域•

解：

由0W兀W3t得1W/—2兀+2W5.

^u=x2-2x+2，贝!

]/（+—2兀+2）=/（况），1WuW5.

故兀切的定义域为[1,5]・

变式训练:

已知函数尹=*ig（x+DI的定义域为o

解：

由0

所以°

例3.函数尹=念+1）定义域是【-2,习，则y=f（2x-T）的定义域是（）

A.［0>2］b.［-L%［-5,%.［-3,7］

分析:

已知/［呂（X）］的定义域,求m⑴］的定义域,可先由/［呂（X）】定义域求

得/（R的定义域，再由/（R的定义域求得/［紅巾的定义域

解：

先求/（R的定义域

•••/0+1）的定义域是[一2,3].-2

即HE的定义域是［T，出，再求/WO）］的定义域v-l<2x-l<4

0兰x兰一£…［0»—］

2••了（2兀一1）的定义域是2,故应选A

变式训练：

已知函数f⑵）的定义域是［-1z1］，求f（log2x）的定义域.

分析：

先求公的值域为M则log,x的值域也是M,再根据log,x的值域求定义域。

解Vy=f（2x）的定义域是[-1,1],即-1

•••函数y=f（log2x）中2

故函数f（log2x）的定义域为［忑，4］

例4若/（%）的定义域为[-35],求（p（x）=/（-x）+/（2x+5）的定义域.

分析：

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,其解法是：

先求出各个函数的定义域，然后再求交集•

J-3W-兀W5,[-3W2兀+5W5,

解:

由f（x）的定义域为［-3,5］,则0（兀）必有所以函数。

⑴的定义域为［-40］・

变式训练：

已知函数/㈤的定义域是©1］,求g（x）=/（x+a）/（x-a）（-^

2的定义域。

分析：

分别求f（x+a）与f（x-a）的定义域，再取交集。

10

•••由已知，有［os-必1

•:

函数的定义域由（-&，i-ena1+小确定

v--

2

:

.a<-a<14-（2<1-（2

•:

函数或X）的定义域是H，1+4

例5若函数心+1）的定义域为］・*，2］,求/（劝的定义域.

乙

分析：

已知心+1）的定义域为［・*，2］,x满足-|

得到/W的定义域，然后/（，）的定义域由/W的定义域可得•

解：

先求/（X）的定义域：

由题意知.|<%<2，则+Vx+1V3,即心）的定义域为［+,3］,

再求/［久力］的定义域:

打<,<3,解得"*

例6、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：

m）的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8cm1问x、y分别为多少（精确到0.001m）时用料最省？

分析：

应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。

实际上的有效范围,即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：

（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；

（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；

（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的范围。

本题中总面积为S三角形+S矩形=目+=8,

由于xy>0,于是丄兀$<8,即兀<4血。

又兀〉0,.•.兀的取值范围是0

4

解：

由题意得

xy+—x2=8,・*.y=（0

4xx4

于是，框架用料长度为

l=2x+2y+2（丄2x）=（—+V2）x+—^4+4迈.

22x

当（色+VI）x二仪，即x二8・40时等号成立.

2x

此时，x=2.343,y=2“~2.828.

故当x为2.343m,y为2.828m时，用料最省.

变式训练:

13.（2007•北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此

钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆卜沪CD=2y櫛形面积为S.D_Ac

2rB

（1）求面积S以X

（2）求面积S的最大值.

解

（1）依题意，以AB的中点0为原点建立直角坐标系O-xy（如图），则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程

92

二+1（沖0）,

r4八

解得y=27r2-x2（0

2

=2（x+r）•7r2-x2,其定义域为{x|O

（2）记f（x）=4（x+r）2（r2-x2）,0

1r

令fr（x）=0,得x=-r.因为当00;

22

rI

当—

因此，当x二”时，S也取得最大值,最大值为=竽r2

即梯形面积S的最大值为学严.

巩固训练

1.设函数/（X）的定义域为[51],则

（1）函数/（"）的定义域为。

（2）函数了（石一①的定义域为。

分析：

做法与例题1相同。

解：

（1）由已知有OSXi,解得-1

（2）由已知，得0<./7-2<1,解得4£汇9

故心_2）的定义域为［4,9］

2、已知函数4力1或兀+1）］的定义域为o

O

分析：

做法与例题2相同。

解：

由0

所以°-lg（x+1）-1，故填o1］

3、已知函数I刃lg（x+l）］的定义域为0

O

分析：

做法与例题3相同。

解：

由0

所以0-曲+°'1,所以0<3x-5