万有引力定律知识点例题详解.docx

万有引力定律知识点例题详解.docx

《万有引力定律知识点例题详解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《万有引力定律知识点例题详解.docx（19页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

万有引力定律知识点例题详解

　翰林汇翰林汇翰林汇翰林汇万有引力定律

一.开普勒运动定律

（1）开普勒第一定律：

所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．

（2）开普勒第二定律：

对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．

（3）开普勒第三定律：

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．

二.万有引力定律

（1）内容：

宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．

（2）公式：

F＝G

其中

，称为为有引力恒量。

（3）适用条件：

严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r是两球心间的距离．

注意：

万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：

G在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．

三、万有引力和重力

重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F方向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m2g＝G

g=GM/r2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（r+h）2，比较得gh=（

）2·g

在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上，则有

F＝F向＋m2g，

所以m2g=F一F向＝G

－m2Rω自2

因地球目转角速度很小G

»m2Rω自2,所以m2g=G

假设地球自转加快，即ω自变大，由m2g＝G

－m2Rω自2知物体的重力将变小，当G

=m2Rω自2时，m2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝

，比现在地球自转角速度要大得多.

四.天体表面重力加速度问题

设天体表面重力加速度为g,天体半径为R，由mg=

得g=

由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为

五．天体质量和密度的计算

原理：

天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力．

G

=m

r，由此可得：

M=

；ρ=

=

=

（R为行星的半径）

由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T，就可以算出天体的质量M．若知道行星的半径则可得行星的密度

规律方法

1、万有引力定律的基本应用

【例1】如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？

（2）如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余部分对球外质点m的引力

上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量（7M/8）集中于球心时对质点的引力一样．

【例2】某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a＝½g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90N时，求此时卫星距地球表面有多远？

（地球半径R＝6.4×103km,g取10m/s2）

【例3】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。

已知该单摆在海平面处的周期是T0。

当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T。

求该气球此时离海平面的高度h。

把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。

【例4】登月火箭关闭发动机在离月球表面112km的空中沿圆形轨道运动，周期是120.5min,月球的半径是1740km,根据这组数据计算月球的质量和平均密度．

【例5】已知火星上大气压是地球的1/200．火星直径约为球直径的一半，地球平均密度ρ地=5.5×103kg/m3，火星平均密度ρ火=4×103kg/m3．试求火星上大气质量与地球大气质量之比．

【例6】一个宇航员在半径为R的星球上以初速度v0竖直上抛一物体，经ts后物体落回宇航员手中．为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面，抛出时的速度至少为多少？

2、讨论天体运动规律的基本思路

基本方法：

把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。

【例8】2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经980的经线在同一平面内．若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经980和北纬α＝400，已知地球半径R、地球自转周期T,地球表面重力加速度g（视为常数）和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）．

【例9】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。

它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。

如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：

（1）双星的轨道半径；

（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。

试题展示

1．已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为

A.0.2B.2C.20D.200

2．1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。

假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。

已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。

以下数据中最接近其运行周期的是

A．0.6小时B．1.6小时C．4.0小时D．24小时

3.火星的质量和半径分别约为地球的

和

，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为

A．0.2g　　　　B．0.4g　　　　C．2.5g　　　　　　D．5g

4．假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是

A．地球的向心力变为缩小前的一半

B．地球的向心力变为缩小前的

C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同

D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半

5．天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。

由此可推算出

A．行星的质量B．行星的半径

C．恒星的质量D．恒星的半径

6．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为

A．0.5B．2.

C．3.2D．4

7．2007年4月24日，欧洲科学家宣布在太阳之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese581c。

这颗围绕红矮星Gliese581运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径约为地球的1.5倍，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese581运行的周期约为13天。

假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确是

A．飞船在Gliese581c表面附近运行的周期约为13天

B．飞船在Gliese581c表面附近运行时的速度大于7.9km/s

C．人在Gliese581c上所受重力比在地球上所受重力大

D．Gliese581c的平均密度比地球平均密度小

8．太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比。

地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为B

水星

金星

地球

火星

木星

土星

公转周期（年）

0.241

0.615

1.0

1.88

11.86

29.5

A．1.2亿千米B．2.3亿千米

C．4.6亿千米D．6.9亿千米

9.已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。

某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：

同步卫星绕地球作圆周运动，由

得

2判断上面的结果是否正确，并说明理由。

如不正确，请给出正确的解法和结果。

⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。

10．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。

双星系统在银河系中很普遍。

利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。

（引力常量为G）

11．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。

（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计）

⑴求该星球表面附近的重力加速度g/；

⑵已知该星球的半径与地球半径之比为R星:

R地＝1:

4，求该星球的质量与地球质量之比M星:

M地。

第二单元　专题：

人造天体的运动

基础知识

一、卫星的绕行角速度、周期与高度的关系

（1）由

，得

，∴当h↑，v↓

（2）由G

=mω2（r+h），得ω=

，∴当h↑，ω↓

（3）由G

，得T=

∴当h↑，T↑

二、三种宇宙速度：

1第一宇宙速度（环绕速度）：

v1=7.9km/s，人造地球卫星的最小发射速度。

也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度。

2第二宇宙速度（脱离速度）：

v2=11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

3第三宇宙速度（逃逸速度）：

v3=16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

三、第一宇宙速度的计算．

方法一：

地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力．

G

=m

，v=

。

当h↑，v↓，所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大速度。

其大小为r＞＞h（地面附近）时，

=7．9×103m/s

方法二：

在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．

．当r＞＞h时．gh≈g所以v1＝

=7．9×103m/s

第一宇宙速度是在地面附近h＜＜r，卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．

四、两种最常见的卫星

⑴近地卫星。

近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，由式②可得其线速度大小为v1=7.9×103m/s；由式③可得其周期为T=5.06×103s=84min。

由②、③式可知，它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。

神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km，线速度约7.6km/s，周期约90min。

⑵同步卫星。

“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，即T=24h。

由式G

=m

=m

（r+h）可得，同步卫星离地面高度为h＝

－r＝3·58×107m即其轨道半径是唯一确定的离地面的高度h=3.6×104km，而且该轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。

如果仅与地球自转周期相同而不定点于赤道上空，该卫星就不能与地面保持相对静止。

因为卫星轨道所在平面必然和地球绕日公转轨道平面重合，同步卫星的线速度v=

=3.07×103m/s　　

通讯卫星可以实现全球的电视转播，从图可知，如果能发射三颗相对地面静止的卫星（即同步卫星）并相互联网，即可覆盖全球的每个角落。

由于通讯卫星都必须位于赤道上空3.6×107m处，各卫星之间又不能相距太近，所以，通讯卫星的总数是有限的。

设想在赤道所在平面内，以地球中心为圆心隔50放置一颗通讯卫星，全球通讯卫星的总数应为72个。

五.了解不同高度的卫星飞行速度及周期的数据

卫星飞行速度及周期仅由距地高度决定与质量无关。

设卫星距地面高度为h，地球半径为R，地球质量为M，卫星飞行速度为v，则由万有引力充当向心力可得v=[GM/（R+h）]½。

知道了卫星距离地面的高度，就可确定卫星飞行时的速度大小。

不同高度处人造地球卫星的环绕速度及周期见下表：

高度（km）

0

300

500

1000

3000

5000

35900（同步轨道）

38000（月球轨道）

环绕速度（km/s）

7.91

7.73

7.62

7.36

6.53

5.29

2.77

0.97

周期（分）

84.4

90.5

94.5

105

150

210

23小时56分

28天

六、卫星的超重和失重

（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重．

（2）卫星进入轨道后正常运转时，卫星上物体完全失重．

七、人造天体在运动过程中的能量关系

当人造天体具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动，而在较高轨道上运动的人造天体却具有较小的动能。

反之，如果人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，在这一过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。

同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。

其中卫星的动能为

，由于重力加速度g随高度增大而减小，所以重力势能不能再用Ek=mgh计算，而要用到公式

（以无穷远处引力势能为零，M为地球质量，m为卫星质量，r为卫星轨道半径。

由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。

）因此机械能为

。

同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。

八、相关材料

I．人造卫星做圆轨道和椭圆轨道运行的讨论

当火箭与卫星分离时，设卫星的速度为v（此即为发射速度），卫星距离地心为r,并设此时速度与万有引力垂直（通过地面控制可以实现）如图所示，则

，若卫星以v绕地球做圆周运动，则所需要的向心力为：

F向＝

①当F万=F向时，卫星将做圆周运动．若此时刚好是离地面最近的轨道，则可求出此时的发射速度v＝7.9km/s.

②当F万＜F向时，卫星将做离心运动，做椭圆运动，远离地球时引力做负功，卫星动能转化为引力势能．（神州五号即属于此种情况）

③当F万＞F向时，卫星在引力作用下，向地心做椭圆运动，若此时发生在最近轨道，则v＜7.9km/s，卫星将坠人大气层烧毁。

因此：

星箭分离时的速度是决定卫星运行轨道的主要条件．

2.人造卫星如何变轨

卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术．

以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：

如图所示，在轨道A点，万有引力FA＞

，要使卫星改做圆周运动，必须满足FA＝

和FA⊥v，在远点已满足了FA⊥v的条件，所以只需增大速度，让速度增大到

＝FA，这个任务由卫星自带的推进器完成．

这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭圆轨道的远点由推进器加速，当速度达到沿圆轨道所需的速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道．“神州五号”就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的．

规律方法

1、处理人造天体问题的基本思路

由于运行中的人造天体，万有引力全部提供人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力，因此所有的人造地球卫星的轨道圆心都在地心．解关于人造卫星问题的基本思路：

①视为匀速圆周运动处理；②万有引力充当向心力；③根据已知条件选择向心加速度的表达式便于计算；④利用代换式gR2=GM推导化简运算过程。

注意：

①人造卫星的轨道半径与它的高度不同．②离地面不同高度，重力加速度不同，

【例l】设人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星离地面越高，则卫星的（）

A．速度越大B．角速度越大C．向心加速度越大；D．周期越长

【例2】设地球的半径为R0，质量为m的卫星在距地面R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g0，则以下说法错误的是（）

A.卫星的线速度为

；B.卫星的角速度为

；

C.卫星的加速度为

；D.卫星的周期

；

2、人造天体的发射与变轨

【例3】一组太空人乘坐大空穿梭机，去修理位于离地球表面6．0×105m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H．机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处，如图所示，设G为引力常数，而ME为地球质量．（已知：

地球半径为6．4×106m）

（1）在穿梭机内，一质量为70kg的太空人的视重是多少？

（2）①计算轨道上的重力加速度的值．

②计算穿梭机在轨道上的速率和周期．

（3）①证明穿梭机的总机械能跟

成正比，r为它的轨道半径．

［注：

若力F与位移r之间有如下的关系：

F=K／r2（其中K为常数），则当r由∞处变为0，F做功的大小可用以下规律进行计算：

W＝K／r（设∞处的势能为0）］．

②穿梭机须首先螺旋进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以超前望远镜．用上题的结果判所穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减少其原有速率，解释你的答案．

【例4】如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。

设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4。

试比较v1、v2、v3、v4的大小，并用小于号将它们排列起来______。

解析：

根据题意有v2>v1、v4>v3,而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由式②知v1>v4,故结论为v2>v1>v4>v3。

卫星沿椭圆轨道由P→Q运行时，由机械能守恒可知，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v2>v3。

]

卫星的回收实际上是卫星发射过程的逆过程。

试题展示

1.据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200km,运用周期127分钟。

若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是

A．月球表面的重力加速度B．月球对卫星的吸引力

C．卫星绕月球运行的速度D．卫星绕月运行的加速度

2.1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。

假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。

已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。

以下数据中最接近其运行周期的是

A．0.6小时　　　B．1.6小时　　　　C．4.0小时　　D．24小时

3.据报道．我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月l日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道。

关于成功定点后的“天链一号01卫星”，下列说法正确的是

A．运行速度大于7.9Kg/s

B．离地面高度一定，相对地面静止

C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大

D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

4.图是“嫦娥一导奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是

A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度

B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关

C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比

D．在绕月轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力

5.在不久的将来，我国宇航员将登上月球。

假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，则月球的密度为　　　　　　

A．

B．

C．

D．

6.我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展。

设地球、月球的质量分别为m1、m2，半径分别为R1、R2，人造地球卫星的第一宇宙速度为v，对应的环绕周期为T，则环绕月球表面附近圆轨道飞行的探测器的速度和周期分别为

A．

，

B．

，

C．

，

D．

，

7.现有两颗绕地球匀速圆周运动的人造地球卫星A和B，它们的轨道半径分别为rA和rB。

如果rA＜rB，则

A．卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大

B．卫星A的线速度比卫星B的线速度大

C．卫星A的角速度比卫星B的角速度大

D．卫星A的加速度比卫星B的加速度大

9.神舟载人飞船在绕地球飞行进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度

km的圆形轨道。

已知地球半径

km，地面处的重力加速度

。

试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字）

设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆轨道的半径为r，由万有引力和牛顿第二定

10.在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。

假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为υ0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。

已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。

火星可视为半径为r0的均匀球体。