两角和与差的公式.docx

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两角和与差的公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

cos（a—3=cosacos3+sin久sin3（C（a-®）cos（a+3=cos_%cos_3—sin_久sin_3（C（a+3）sin（a—3=sin_久cos_3—cos_asin_3（S（a—3））sin（a+3=sin久cos3+cosasin3（S（a+3））

tana—tan3十

tan（a—3=（T（a-3）

1+tanatan3

tana+tan3

tan（a+=1—tanaan3（T（a+3）

2•二倍角公式sin2a=2sin_久cos_a;

2222

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a；

tan2a=

2tana

1—tan?

a

❷考点自测

1.（2013浙江）已知a€R,sina+2cos仏=亠2°，则tan2a等于（）

34

C_4D._3

答案C

解析

•'sina+2cosa=

.10

~2~，

225

…Sina+4sinacosa+4cosa=Q.

化简得：

4sin2a=—3cos2a,

sin2a3

•-tan2a=co莎=—4.故选C.

2.若前a+迦a=1,则tan2a等于（

sina—cosa2

A.

4

C.—3

答案

解析

sina+cosa1/

由=-,等式左边分子、

sina—cosa2

分母同除cosa得,

ta^q=1，解得tana=—3,

tana—12

则tan2a=.2tana

1—tan2a

3

4.

3.（2013课标全国n

0为第二象限角,

贝Usin0+cos0=

答案

解析

■/tan

n

0+n=

1

2,

1

•••tan—§，

3sin0=—

即2

sin20+cos20=1,

cos0,

2--

且0为第二象限角,

解得sin0=£°,cos

_3伍

0=—.-

10-

•sin0+cos0=-^^.

4.（2014课标全国n）函数f（x）=sin（x+2$）—2sin$cos（x+妨的最大值为

答案1

解析Tf（x）=sin（x+2$）—2sin$cos（x+$）

=sin[（x+$）+对—2sin$cos（x+妨

=sin（x+$）cos0+cos（x+$）sin2sin$cos（x+妨

=sin（x+0）cos0—cos（x+0）sin0

=sin[（x+0）—0=sinx,

•••f（x）的最大值为1.

题型一三角函数公式的基本应用

例1

（1）设tana，tanB是方程x2—3x+2=0的两根，则tan（a+®的值为（）

A.—3B.—1

C.1D.3

nnn1

⑵若o

cos（4—2）=亍，贝Vcos（a+2）等于（

B.

D.

答案

（1）A

（2）C

解析

（1）由根与系数的关系可知

）

_3

3

.6

6

tana+tanB=3,tandanB=2.

•-tan（a+B=

tana+tanB

1—tan%tanB

=—3.

故选A.

⑵cos（a+2）

n,、/nB

=cos[（4+a-（4-2）】

n、znBn、.znB

=cos（4+acos（4—2）+sinq+a）sin（4—2）.

•/0

nn

4<4

+a<3n

4

pn

又-2＜网，

故COS（a+芜3T+晋¥瞬故选C.

思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立•使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.

nn1

（1）若a€（2,n,tan（a+4）=7，则sina等于（

C.

D.

⑵计算:

1+cos20

2sin20

o

。

一sin10

°1'tan5

-tan5）=

答案

（1）A⑵与—

解析

（1）Ttan（a+

ntana+1

4）=1—tana

7'

sinacosa，

…cos

4

a=—§sina.

又TSin2a+cos2a=1,

/•sin2

a=

25'

（2,n,「・sina=5.

2cos210°

⑵原式=4sin10cos10—sin10

cos25sin25°

sin5cos5

cos10°sin20

2sin10—sin10

cos10—2sin202sin10°

cos10—2sin（30—10°）

2sin10°

cos10—2sin30cds10+2cos30sin10

2sin10

2.

题型二三角函数公式的灵活应用

例2

（1）sin（65丄x）cos（x—20°+cos（65°—x）cos（110°—x）的值为（）

2cos4x—2cos2x+2

⑵化简：

—nn~

2ta门（才一x）si门2（才+x）

，+cos15+sin15°

（3）求值：

=.

cos15—sin15

1

答案

（1）B⑵2cos2x（3）：

3

解析

（1）原式=sin（65—x）cos（x—20°）+cos（65—x）cos[90—（x—20°）]=sin（65—x）cos（x—20°）

+cos（65—x）sin（x—20°）=sin[（65—x）+（x—20°=sin45=专.故选B.

2（4cos4x—4cos2x+1）

（2）原式=

n、

2Xsin（4—x）

•os2（f—x）

4

cos（4—x）

=（2cos2x—1）2=cos22x

冗、/兀、兀

4sinq—x）cosq—x）2sinQ—2x）

cos22x1

=2cosix=2cos2x.

、1+tan15=tan45+tan15°

⑶原式=1—tan15=1—tan45tan15°

=tan（45+15°）=,'3.

思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用

及变形，如tana+tan3=tan（a+3（1—tanatan®和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.

a.a

憑踪训练2

（1）已知（0,n,化简:

2+2cosa

（1+sina+cosa）（cos?

—sin?

Ac厂AC

⑵在△ABC中，已知三个内角A,B,C成等差数列，则tan^+tan?

+.3tan?

tan?

的值为

答案

（1）C0Sa

（2）3

2aaaaa

解析

2a

4cos2

因为

a€（0,力，所以COS2>0,

aaaaa

（2cos22+2sin2cos2）（cos2—sin2）

所以原式=

a

2cos2

/a.aa.a2a.2%

=（cos2+sing）（cosg—sin3）=cos^—sin；=cosa

（2）因为三个内角

A,B,C成等差数列，且A+B+

_2nA+CnA+C

C=n,所以A+C=—,=3tan2

所以tan

A

2+tan

C+,3tan

AC

2tan2

AC

=tan2+21—tangtan2

+3tanAtanC

ACAC-

=31—tan-tan2+.3tan~tan?

=.3.

题型三三角函数公式运用中角的变换

3

例3

（1）已知a,3均为锐角，且sina=_,tan（

5

1

a—3=—3.则sin（a—3）=

cos3=

2

（2）（2013课标全国n）已知sin2a=3,则cos2

a+n等于（）

答案（i）—if

5010

（2）A

解析⑴Ta,

nnn

3€（0,2）,从而—2

又.tan（a—

1

3）=—3<0，

（2cos2^+2sin2cos2）（cosq—sinq）

（1）原式=

n

2

•••sin（a—3）=-老，cos（a—3=^^.

34

Ta为锐角，Sina=—,二COSa=_

55

•••COS3=COS[a—（a—®]

910

50.

=cosacos（a—3+sin久sin（a—3

=4x口+3X（—』）=

5105'10丿

n

⑵因为cos2

1+COs2a+Tn4

a+4=2

n

1+cos2a+2

1—sin2a

2

所以cos2

1

6，选A-

1—_n1—sin2a3a+~=

4

思维升华1•解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.⑴当“已

知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；⑵当“已知角”

有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

2.常见的配角技巧:

2a=（a+3）+（a—3）,a=（a+3）—3?

a+3

3=~T

2，

a=

a+

2

2

于=（a+3）—（a+3）等.

2,.5

（1）设a、3都是锐角，且

cos

_5

a=亏,

3

sin（a+3=5，则cos3等于（

In

（2）已知cos（a—舌）+sin

a=

仝

25

4.3,贝Usina+g21）的值是

4

答案

（1）A

（2）—5

解析⑴依题意得sina=-[1—cos2a=f

cos（a+3=±,14

又a,3均为锐角，所以0COS（a+3）•

因为冷〉-

4

5,

4

所以COs（a+3）=—；.

5

于是cos3=cos[（a+3）—a

=cos（a+0cosa+sin（a+®sina

=-软寻器欝箸

n4t—

（2）■/cos（a—6）+sina=5.“3,

.334

^cosa+gsina=3,

v'3（|cosa+^sina）=43,

、:

3sin（6+a）=53

•••sin（f+a=5,

.,7nn、4

•sin（a+—）=—sin（6+a=—5.

高频小考点

高考中的三角函数求值、化简问题

0

2cos2~—sin0—1典例：

⑴若tan20=—22,n<0<2n,贝U

.2sin（0+4）

n

（2）（2014课标全国I）设a€（0,2）,

7t

2），且tan

1+sin3,、

a=盂J则（）

n

A.3a—3=2

B.

2a—

n

3=n

n

C.3a+3=2

D.

2a+

7t

3=2

⑶（2012大纲全国）已知

a为第二象限角,

sina+cosa

3

-33则cos2a等于（）

a.-TB.—百

⑷（2012重庆严47HTc°30等于（

cos17

A.—23B.—1

思维点拨

（1）注意和差公式的逆用及变形.

（2）“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找

a,3的关系.

⑶可以利用sin2a+cos2a=1寻求sina±coa与sin久cosa的联系.

⑷利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.

cos0—sin01—tanB解析⑴原式=coi+亦=订亦，又tan20=：

；；,0=-2,即2tan20—tan0—,2=0,

1

解得tan0=—一或tan0=2.

Tn<0<2n,•n<0

•tan0=—士,

1

1+走

故原式=1=3+22.

1—2

1+sin3sina

得-

⑵由tana=cos3…cosa

1+sin3cos3,

3,

即sinacos3=cosa+cosain

--sin（a—

n

3）=cosa=sing—a.

nn

2），3€（o,2），

nnn

（-2,2）,2

（0,

•••由sin（a—3）=sinQ—

n

a—3=二—a,

2

n

•2a—3=©

21

⑶方法

2

3.

Tsina+cosa=3，…（sina+cosa=3,

又Ta为第二象限角且sina+cos

肯>0,

•2kn+n

.4kn+n<2%<4kn+2#€Z）,

2a为第三象限角,

•cos2a=-1—sin22a=-才

方法

百1

由sina+cosa=-^两边平方得1+2sinacosa=3,

33

2

--2sin久cosa=—

3'

■/a为第二象限角，•••sina>0,cosa<0,

•sina—cosa=：

'（sina—cosa）2

15

=71—2sin久cosa=-*1^.

i斗心

sina+cosa=3,由

sin

.：

3+\15

a=

Sina—cosa=3

cosa=

•cos2a=2cos2a—1=—申.

3

（4）原式=刑30斗"°）—s"17

cos30

cos17

和差角公式变形:

1+COS2a

2

sin2a=

1—COS2a

2，

sin30cOs17丰cos30sin17—sin17cOs30

cos17

sin30cos17°o1

cos17°=sin30=3

答案

（1）3+2

（2）B（3）A（4）C

⑵三角求值

温馨提醒

（1）三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式.

要注意角的变换，掌握常见的配角技巧.

思想方法・感悟提高

配方变形:

aa2

1土sin（x=sin?

±cos，

2a,c・2a

1+cosa=2cos22，1—cosa=2sin?

.

2.重视三角函数的“三变”：

“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：

对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：

尽可能减少函数名称；变式：

对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等•在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.

失误与防范

1•运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.

J2

2•在（0,n范围内，sin（a+®=-2所对应的角a+B不是唯一的•

3•在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值

练出高分

A组专项基础训练

（时间：

30分钟）

2%1%

1.已知tan（a+®=5,tan4=4那么tana+-等于（）

答案C

nn

解析因为a++・=a+B

44

nn

所以a+4=（a+p）—B—4，所以

nn

tana+4=tan（a+B）—B—4

7t

tan（a+B）—tanB—4

n=22.

1+tan（a+BtanB-4

2•若

?

],sin

sin0等于（

答案

解析

由sin

sin20+cos20=1得

（sin0+cos

nn

又0€[4，》，二sin0+cos

3.已知tana=4,则

2

1+cos2a+8sina,,

的值为（）

sin2a

A.43

C.4

答案

解析

1+cos2a+8sin2

sin2a

a_2cos2a+8sin2a

2sinacosa，

■/tan

2

a=4,.cosaM0,分子、分母都除以cos2a得2+8tan"65

2tana4■

4.（2013重庆）4cos50—tan40等于（）

D.22—1

答案C

解析4cos50°tan40=伽40C°40-Sin40

cos40

2sin80—sin40°2sin（50半30°-sin40

cos40

cos40

3sin50羊cos50—sin40°3sin50-

3

cos40

cos40

o'

A.

C.

已知cos（x-n=-，

rn

则cosx+cos（x-3）的值是（

2,3

3

B.

D.

±1

答案C

解析cosx+

cos（x-

7t

1

=cosx+2COSx+

迪.

2sinx=

3

qCOSx+

2sinx=

cosx+|sinx）=3

n

cos（x—^）=—1.

sin250°

6.

1+sin10=

答案

1

2

解析

sin250°1—cos100°

1+sin10「2（1+sin10）°

1—cos（90亠10°）=1+sin10=12（1+sin10）°=2（1+sin10）=2.

7.已知a、B均为锐角，且cos（a+3=sin（a—B）,贝Utana=,

答案1

解析根据已知条件：

cosacos3—sin«sin3=sin久cos3—cos%sin3,

cosB（cosa—sina）+sinBcosa—sina=0,

即（cos3+sin3（cosa—sina）=0.

又a、3为锐角，则sin3+cos3>0,

a>

cosa—sina=0,—tana=1.

12°—3,（4cos212°—2）sin12）=

答案—4.3

—3

cos12

解析原式=2（2cos212-1）sin12

23如n12—_^3cos12

cos12

2cos24sin12

—2、3sin48°

2cos24sin12c6s12—sin24c6s24

2」3sin（—48°

23sin48°-

1=—43.^sin48

9.已知

1+sina

1—sina

击一2tana,试确定使等式成立的a的取值集合.

解因为

1+sina

1—sina

1—sina

1+sina

（1+sina）2

（1—sina2

2cosa

2cosa

|1+sina|1—sinaicosa|cosa

1+sina—1+sina

|cosa

2sina

|cosa'

2sina

2sina

所以肓=—2tana=—cosa

所以sina

=0或|cosa=—cosa>0.

n3n

故a的取值集合为{aa=kn或2kn+^

n

10.已知a€2,

且Sina+cos专=当

222-

（1）求COSa的值;

⑵若sin（a—3）=

n

3€2,n,求COS3的值.

a

解

（1）因为sin+cos

a2^6

2=~2

两边同时平方，得sin

n

又2

nn

⑵因为2

所以一n<—3<—2,

故—2

3

又sin（a—3）=—;,

5

得COS（a—

COS3=COS[a—（a—

3）]

=cosacos（a—3）+sin久sin（a—3）

4.‘3+3

10

B组专项能力提升

（时间：

25分钟）

n1

2,

11.已知tan（a+4）=2

且-n

2

则2sina+sin2a等于（）

n

COS（a—4）

A.

2,5

5

B.

3,5

10

3伍

C•—10

答案

解析

tan（a+

ntana+11e

4）=1—a+^=2，得

tan

1

a=—3.

▼n~10

2

,2sina+sin2a2sino（sina+cosa故'

又一2

n

COS（a—4）