高三上学期期中考试数学Word版含答案.docx
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高三上学期期中考试数学Word版含答案
2019〜2020学年第一学期高三期中调研试卷数学
（满分160分，考试时间120分钟）
2019.11
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1.已知集合A=｛—2,-1,0,1,2｝,B=｛x|x>0｝，贝UAnB=
2.已知复数z满足F=i（i为虚数单位），则复数z的实部为.
3.已知向量a=（x,2）,b=（2,—1）,且a丄b,则实数x的值是.
4.函数y=lg（x1）的定义域为.
x
5.在等比数列｛an｝中，a1=1,8,Sn是｛a*｝的前n项和，贝US5=
6.
已知tan
=2,则
sina
COSa+2sina
的值为
7•“x>2”是“x>1”的条件.（选填“充分不必要”“必要不充分”
或“既不充分又不必要”）
“充要
n
8.已知函数y=sin2x图象上的每个点向左平移$（0c0<三）个单位长度得到函数y=
n
sin（2x+―）的图象，贝U$的值为.
ex,x>0,2
9.设函数f（x）=i则不等式f（x+2）>f（x）的解集为
|2x+1,xv0,
10.已知函数f（x）=lnx—m的极小值大于0,则实数m的取值范围是.
x
11.在各项都为正数的等差数列｛an｝中，已知a5=3，则a3az的最大值为.
12.已知菱形ABCD的棱长为3,E为棱CD上一点且满足CE=2ED.若AE•EB=—6,
贝ycosc=.
n3
13.若方程cos（2x—■—）=5在（0,n）上的解为X1,X2,则COS（X1—X2）=.
14.已知函数f（x）=3x2—x‘,g（x）=ex1—a—Inx•若对于任意X1€（0,3），总是存在两
个不同的X2,X3€（0,3），使得f（X1）=g（X2）=g（X3），则实数a的取值范围是.
二、解答题：
本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
■演算步骤.
I
:
15.（本小题满分14分）
:
在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=120°,c=7,a—b=2.
i
（1）求a,b的值；
（2）求sin（A+C）的值.
16.（本小题满分14分）已知向量a=（cosx,3cosx）,b=（cosx,sinx）.
n
（1）若a//b,x€[0,2】，求x的值；
n
（2）若f（x）=ab,x€[0,~]，求f（x）的最大值及相应x的值.
17.（本小题满分14分）
已知等比数列｛a*｝满足32=2,且a2,a3+1,印成等差数列.
（1）求数列｛an｝的通项公式；
⑵设bn=|£h-2n+1|,求数列｛bn｝的前n项和Tn.
18.（本小题满分16分）
如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所在圆
的圆心为0•经测量AB=4m,BC=£m,ZCOD=120。
，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E,F在边AB上，G,H在圆弧CD上.设/OGF=0,矩形EFGH的面积为S.
（1）求矩形EFGH的面积S关于变量0的函数关系式；
（2）
求cos0为何值时，矩形EFGH的面积S最大？
19.（本小题满分16分）
1
已知函数f（x）=x——.
寸X
（1）求f（x）的图象在X=1处的切线方程；
⑵求函数F（x）=f（x）—x的极大值；
a的取值范围.
⑶若af（x）20.（本小题满分16分）
已知数列｛an｝满足（n—1）an+1=na“一n€N*.
（1）求证：
数列｛an｝为等差数列；
1111
（2）设数列｛an｝的前n项和为Sn.若a2—&=1,且对任意的正整数n,都有§+S+S
14
+…+右v4，求整数a1的值；
Sn3
31
⑶设数列｛bn｝满足bn=為+10•若a2—ai=5,且存在正整数s,t，使得as+bt是整数，
求lai|的最小值.
高三数学附加题试卷
（一）第页（共2页）（这是边文，请据需要手工删加）
2019〜2020学年第一学期高三期中调研试卷
（一）
数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）
21.【选做题】从A,B,C三小题中选做两题，每小题10分，共20分•若多做，则
按作答的前两题评分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A.（选修42:
矩阵与变换）
已知二阶矩阵M=1的特征值X=-1所对应的一个特征向量为||"1.
13b—]3」
（1）求矩阵M;
（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C'的方程为y2=x,求曲线C的方程.
B.（选修44:
坐标系与参数方程）
已知曲线C的极坐标方程为p=2cosa+23sina（a为参数），直线l的参数方程为
x=1+tcos3,n
（t为参数，0v3y=tsin32
C.
」+亠+亠＞3
b+cc+aa+b2
（选修45:
不等式选讲）
设正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:
【必做题】第22,23题，每小题10分，共20分•解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤.
3
22.某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是4甲、丙二人都没
11
有击中目标的概率是12，乙、丙二人都击中目标的概率是-.甲、乙、丙是否击中目标相互独
立.
（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；
（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望.
中，/BAC=90°，AB=AC=a，AA1=b，点E，F
1b
C1F=1CC1.设入=i.
3a
（1）当匸3时，求异面直线AE与A1F所成角的大小;
A1EF时，求入的值.
高三数学试卷
（一）参考答案第页（共4页）
20佃〜2020学年第一学期高三期中调研试卷（苏州）
数学参考答案及评分标准
因为a—b=2，所以b2+2b—15=0.（5分）因为b>0,所以b=3,a=5.
综上：
a=5,b=3.（7分）
⑵由
（1）知a=5,b=3,c=7,所以cosB==芳d。
分）
因为BABC的内角，所以sinB=1—cos2B=3^.（12分）
因为sin（A+C）=sin（n—B）=sinB=寿^3,
所以sin（A+C）的值为^^.（14分）
16.解：
（1）因为a=（cosx,,3cosx）,b=（cosx,sinx）,a//b,
所以cosxsinx=3cos2x,
所以cosx（sinx—3cosx）=0,（2分）
所以cosx=0或sinx—3cosx=0，即cosx=0或tanx=3.（4分）
因为x€0,-2I,所以x=-2或x^-3.（6分）
■_2」23
（2）因为a=（cosx,.3cosx）,b=（cosx,sinx）,
所以f（x）=ab=cos2x+,3cosxsinx（8分）
1+cos2x3n1
=2+_2sin2x=sin（2x+—）+~（10分）
3n
所以f（x）的最大值为-,此时x=.（14分）
26
17.解:
（1）设等比数列｛an｝的公比为q（不为0）,
因为a?
氏+1,a4成等差数列，所以2（a3+1）=a?
+印.（1分）因为a2=2,所以2（2q+1）=2+2q2,解得q=2或q=0（舍去），所以a1=—=1,（3分）
q
所以数列{an}的通项公式为an=2n—1.（5分）
⑵设cn=an—2n+1=2n1—2n+1,
所以Cn+1—Cn=2n-2（n+1）+1-（2n“-2n+1）=2n“—2,
所以n》3,5+1>Cn.（7分）
因为c4=1>0,所以n>4时，cn>0,即卩n》4时，bn=cn=2n—1-2n+1.
因为C1=0,C2=—1,C3=—1,所以S=0,b2=1,b3=1,
所以T1=0,T2=1,T3=2.（10分）
当n》4时，Tn=切+b?
+b3+b4+…+bn=（0+1+1）+b4+b5+…+bn
=2+（23+24+…+2n—1）—（7+9+-+2n-1）
=2+2（1—2一）—7+2n—1•（n—3）=2n—n2+3.（13分）
1—22
孑0,n=1,
1,n=2,
综上，Tn=（14分）
2,n=3,
-2n—n2+3,n》4.
18.解：
（1）如图，作OP丄CD分别交AB,GH于M,N.
OG=OC=43^,
3
由四边形ABCD,EFGH是矩形，O为圆心，/COD=120°,
所以OM丄AB,ON丄GH,点P,M,N分别为CD,AB,GH的中点，/CON=60°在Rt△COP中，CP=2，/COP=60°,所以OC=誓,OP=竽,
J3
所以OM=OP-PM=OP—BC=三.（3分）
3
在Rt△ONG中，/GON=ZOGF=0,
5n1+129
设0€（0,3）且COS00=16,
由S'v0,得Q）<
所以当
兀Err,n
0<丁，即s在（0,百）上单调递减，（14分）
S取得最大值，
所以当
0=0时，
cos0=1+16129时，矩形EFGH的面积S最大.（16分）
111
（1）因为f（x）=也一灵，所以f'（=2Tx+■^x^x所以f'（=j（2分）
因为y=f（x）经过（1,0），所以f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=x—1.（4分）
1
（2）因为F（x）=近一孑—x,x>0,
11所以F'（x=—尸+尸—1,F'（x）在（0,+^）上递减.
2px2x寸x
又F'（1=0,（5分）
所以当x€（0,1）时，F'（x）>0,即卩F（x）在x€（0,1）上递增；
当x€（1,+^）时，F'（x）<0,即F（x）在x€（1,+^）上递减，（7分）
所以在x=1处，F（x）的极大值为F
（1）=—1.（8分）
（3）设g（x）=lnx—af（x）=lnx—a（g—扌）
19•解:
x€（0,1］,
1—a（ix）2+2Jx—a
x,x）2xx.
①当aw0时，g'（x）>0对x€（0,1］恒成立，所以g（x）在（0,1］上递增.
又g
（1）=0,所以？
x°€（0,1）时，g（x°）<0，这与af（x）wlnx对x€（0,1］恒成立矛盾；（10分）
1
所以g'符丄一
x
2当a》1时，设$（x）=—a（.x）2+2x—a,x€（0,1］,△=4—4a2w0，所以$（x）c0,x€（0,1］，所以g'（x）0对（0,1］恒成立，所以g（x）在（0,1］上递减.
又g
（1）=0,所以g（x）》0对x€（0,1］恒成立，所以a》1成立；（12分）
3当
00,解$（x）=0
得两根为
x1,x2‘其中x2=>1,x1==1+a1—a2€（0,°，所以0
x2>1，所以x€（x1,1）,$（x）>0,g'（x）>0，所以g（x）在（x1,1）上递增.又g
（1）=0,所以g（X1）<0,这与af（x）wInx对x€（0,1］恒成立矛盾.（15分）综上：
a>1.（16分）
20.
（1）证明：
因为（n—1）an+1=nan—a1,n€N①，所以（n—2）an=（n—1）an-1—a1,n》2且n€N*②.
①一②，得（n—1）an+1—2（n—1）an+（n—1）an-1=0,n》2且n€N,（2分）所以外+1—2an+an-1=0,n》2且n€N*,
所以為+1—an=an—an-1=^=a2—a1,所以数列｛an｝为等差数列.（4分）
（2）解：
因为a2—a1=1，所以｛an｝的公差为1.
因为对任意的正整数n,都有7<1+三+1+•••+三<£
3S1S2S3Sn3
<1,
11433
所以~<—v4，所以~3Si344
所以a1=1或2.（6分）
当a1=1时，a2=2,S1=1,S2=3,
1114
所以1+[=1+1=4，这与题意矛盾，所以印工1;（7分）
S1S233
n（n+3）小11111111…、，c
当a1=2时，an=n+1,Sn=>°，S=2>3S+S+S+…+S>3恒成立.（8
分）
因为Sn=號一爲,
1111211111111111+TT+h+…+二（1_；+二_匚+二_二+…+—+—+—）
S1S2S3Sn342536n—2n+1n—1n+2nn+3
211111114
=3（1+2+3-不—n^—）<6<3.
综上，印的值为2.（10分）
11
（3）解：
因为a2—a1=5，所以｛an｝的公差为5，
111
所以01=a1+5（n—1）,所以bn=a1+5n+10.（11分）
由题意，设存在正整数s,t，使得as+bt=l,l€Z,
s1t1
贝Ua〔+二一二+a〔+二+y^=l，即20a〔=2（51—s—t）+1.
55510
1因为5l—s—t€Z,所以2（51—s—t）是偶数，所以|20a1|》1，所以|刘》亦.（14分）
119
当a1=20时，b4=必，所以存在印+b4=1€Z.
1
综上，la1|的最小值为20.（16分）
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