大学物理电子教案之第7章稳恒磁场.docx
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大学物理电子教案之第7章稳恒磁场
大学物理电子教案之第7章稳恒磁场
第7章稳恒磁场
本章要点：
1.磁场磁感强度2.毕奥—萨伐尔定律及其应用3.磁通量磁场的高斯定理4.安培环路定理极其应用
前面我们研究了相对于观察者静止的电荷所激发的电场的性质与作用规律。
从本章起我们看到，在运动电荷周围，不仅存在着电场而且还存在着磁场。
磁场和电场一样也是物质的一种形态。
1820年，丹麦的奥斯特发现了电流的磁效应，当电流通过导线时，引起导线近旁的小磁针偏转，开拓了电磁学研究的新纪元，打开了电应用的新领域。
1837年惠斯通、莫尔斯发明了电动机，1876年美国的贝尔发明了电话。
迄今，无论科学技术、工程应用、人类生活都与电磁学有着密切关系。
电磁学给人们开辟了一条广阔的认识自然、征服自然的道路。
磁场磁感强度
磁现象的发现要比电现象早得多。
早在公元前人们知道磁石 图7-4运动的带电粒子在磁场中的受力情况 大量实验可以得出如下结果：
1．运动电荷在磁场中所受的磁力随电荷的运动方向与磁场方向之间的夹角的改变而变化。
当电荷运动方向与磁场方向一致时，它不受磁力作用[图7-4（a）]。
而当电荷运动方向与磁场方向垂直时，它所受磁力最大，用Fmax表示[图7-4（b）]。
2．磁力的大小正比于运动电荷的电量，即F∝q。
如果电荷是负的，它所受力的方向与正电荷相反。
3．磁力的大小正比于运动电荷的速率，即F∝v。
4．作用在运动电荷上的磁力F的方向总是与电荷的运动方向垂直，即F⊥v。
上述实验结果可以看出，运动电荷在磁场中受的力有两种特殊情况：
当电荷运动方向
与磁场方向一致时，F=0；当电荷运动方向垂直于磁场方向时，FFmax。
根据这两种情况，我们可以定义磁感应强度B（简称磁感强度）的方向和大小如下：
在磁场中某点，若正电荷的运动方向与在该点的小磁针N极的指向相同或相反时，它所受的磁力为零，我们把这个小磁针N极的指向方向规定为该点的磁感强度B的方向。
当正电荷的运动方向与磁场方向垂直时，它所受的最大磁力Fmax与电荷的电q和速度v的大小的乘积成正比，但对磁场中某一定点来说，比值Fmaxqv是一定的。
对于磁场中不同
位置，这个比值有不同的确定值。
我们把这个比值规定为磁场中某点的磁感强度B的大小，即
B=Fmax （7-1）qv磁感强度B的单位，取决于F、q和v的单位，在国际单位制中，F的单位是牛顿（N），q的单位是库仑（C），v的单位是米／秒（ms1），则B的单位是特斯拉，简称为特，符号为T。
所以
1T1NC1m1s1NA1m1。
应当指出，如果磁场中某一区域内各点B的方向一致、大小相等，那么，该区域内的磁场就叫均匀磁场。
不符合上述情况的磁场就是非均匀磁场。
长直螺线管内中部的磁场是常见的均匀磁场。
地球的磁场只有104T，一般永磁体的磁场约为102T。
而大型电磁铁能产生2T的磁场，目前已获得的最强磁场是31T。
毕奥—萨伐尔定律
在静电场中，计算带电体在某点产生的电场强度E时，先把带电体分割成许多电荷元dq，求出每个电荷元在该点产生的电场强度dE，然后根据迭加原理把带电体上所有电荷元在同一点产生的dE迭加（即求定积分），从而得到带电体在该点产生的电场强度E。
与此类似，磁场也满足迭加原理，要计算任意载流导线在某点产生的磁感强度B，可先把载流导线分割成许多电流元Idl（电流元是矢量，它的方向是该电流元的电流方向），求出每个电流元在该点产生的磁感强度dB，然后把该载流导线的所有电流元在同一点产生的dB迭加，从而得到载流导线在该点产生的磁感强度B。
因为不存在孤立的电流元，所以电流元的磁感强度公式不可能直接从实验得到。
历史上，毕奥和萨伐尔两人首先用实验方法得到关于载有稳恒电流的长直导线的磁感应强度经验公式（B∝到如下定律：
I）等，再拉普拉斯通过分析经验公式而得毕奥—萨伐尔定律
稳恒电流的电流元Idl在真空中某点P所产生的磁感强度dB的大小，与电流元的大小Idl成正比，与电流元Idl和电流元到P点的矢径r间的夹角θ［也用
4r2式中r0为r的单位矢量，毕奥—萨伐尔定律虽然不能实验直接验证，但这一定律出发
dB而得出的一些结果都很好地和实验符合。
毕奥—萨伐尔定律的应用
要确定任意载有稳恒电流的导线在某点的磁感强度，根据磁场满足迭加原理，式（7-3）对整个载流导线积分，即得
BdBL0Idlr0 （7-4）
L4r2值得注意的是，上式中每一电流元在给定点产生的dB方向一般不相同，所以上式是矢量积
分式。
于一般定积分的含意是代数和，所以求式（7-4）的积分时，应先分析各电流元在给定点所产生的dB的方向是否沿同一直线。
如果是沿同一直线，则式（7-4）的矢量积分转化为一般积分，即
BdBL0Idlsinθ （7-5）
L4r2如果各个dB方向不是沿同一直线，应先求dB在各坐标轴上的分量式（例如dBx,dBy,dBz），对它们积分后，即得B的各分量（例如Bx矢量（BBxiByjBzk）。
下面应用这种方法讨论几种典型载流导线所产生的磁场。
1．载流直导线的磁场
L最后再求出BdBx,BydBy,BzdBz）。
LL设有一长为L的载流直导线，放在真空中，导线中电流为I，现计算邻近该直线电流的一点P处的磁感强度B。
如图7-6所示，在直导线上任取一电流元Idl，根据毕奥—萨伐尔定律，电流元在给定点P所产生的磁感强度大小为
dB0Idlsinα
4r2dB的方向垂直于电流元Idl与矢径r所决定的平面。
指向如图7-6所示（垂直于xoy平面，沿z轴负向）。
于导线上各个电流元在P点所产生的dB方向相同，因此P点的总磁感强度等于各电流元所产生dB的代数和，用积分表示，有
BdB
图7-6计算直线电流的B分布0Idlsin
LL4r2进行积分运算时，应首先把dl、r、等变量，用同一参变量表示。
现在取矢径r与P
点到直线电流的垂线PO之间的夹角β为参变量。
取O点为原点，从O到Idl处的距离为l并以a表示PO的长度。
从图中可以看出
sinαcosβ,rasecβ，latgβ 从而 dlasec2βd
把以上各关系式代入前式中，并按图中所示，取积分下限β1，上限为β2，得
20I20I0I Bcosdsinsin2sin1 （7-6）14a14a4a式中β1是从PO转到电流起点与P点连线的夹角；β2是从PO转到电流终点与P点连线的夹角。
当β角的旋转方向与电流方向相同时,β取正值；当β角的旋转方向与电流的方向相反时，β取负值。
图7-6中的β1和β2均为正值。
如果载流导线是一无限长的直导线，那么可认为1 B,，所以
2220I （7-7）2a上式是无限长载流直导线的磁感强度，它与毕奥—萨伐尔的早期实验结果是一致的。
2．圆形电流的磁场
设在真空中，有一半径为R的圆形载流导线，通过的电流为I，计算通过圆心并垂直于圆形导线所在平面的轴线上任意点P的磁感强度B（图7-7）。
在圆上任取一电流元Idl，它在P点产生的磁感强度的大小为dB，毕奥—萨伐尔定律得
dBμ0Idlsinθ
4πr2π，上式可写成
2图7-7计算圆电流轴线上的B
于Idl与r垂直，所以θ
dB0Idl
4r2dB的方向垂直于电流元Idl和矢径r所组成的平面，于圆形导线上各电流元在P点所产生的磁感强度的方向不同，因此把dB分解成两个分量：
平行于X轴的分量dB//和垂直于X轴的分量dB。
在圆形导线上，于同一直径两端的两电流元在P点产生的磁感强度对X轴是对称的，所以它们的垂直分量dB互相抵消，于是整个圆形电流的所有电流元在P点产生的磁感强度的垂直分量dB两两相消，所以迭加的结果只有平行于X轴的分量dB//，即
BB//dBsinL0Idlsin
L4r2式中sinR，对于给定点P、r、I和R都是常量，所以
r B0IR2R0IR2dl
4r302（R2x2）32B的方向垂直于圆形导线所在平面，并与圆形电流组成右手螺旋关系。
上式中令x=0，得到圆心处的磁感强度为 B （7-9）
2R在轴线上，远离圆心即（xR）处的磁感强度为
0I0IS
2x2x3式中SR2为圆形导线所包围面积，PmISn，n为面积S法线方向的单位矢量，它
B30IR2的方向和圆电流垂直轴线上的磁感强度的方向一样，与圆电流成右手螺旋关系，则上式可改写成矢量式
B0Pm （7-10）2x3上式与电偶极子沿轴线上的电场强度公式相似，只是把电场强度E换成磁感强度B，系数
20
1
换成
0，而电矩Pe换成Pm。
此可见Pm应叫做载流圆形线圈的磁矩。
式（7-10）可2推广到一般平面载流线圈。
若平面线圈共有N匝，每匝包围面积为S，通有电流为I，线圈平面的法线单位矢量方向的指向与线圈中的电流方向成右旋关系，那么该线圈的磁矩为
PmNISn （7-11）例7-1真空中，一无限长载流导线，AB、DE部分平直，中间弯曲部分为半径R＝的半圆环，各部分均在同一平面内，如图7-8所示。
若通以电流I＝，求半圆环的圆心O处的磁感强度。
解磁场迭加原理，O点处的磁感强度B是AB、BCD和DE三部分电流产生的磁感强度的叠加。
AB部分为“半无限长”直线电流，在O点产生的B1大小为
0Isinβ2sinβ1 4R因β1,β20
B12故
0I4107105T24R410B1的方向垂直纸面向里。
同理，DE部分在O点产生的B2的大小与方向均与B1相同，即 B20I105T4RBCD部分在O点产生的B3要用积分计算：
B3dB
其中dB为半圆环上任一电流元Idl在O点产生的磁感强度，其大小为
dB=μ0Idlsinθ
4πR2Idl因 θπ，故dB02
24RdB的方向垂直纸面向里。
半圆环上各电流元在O点产生dB方向都相同，则
B3dBR00Idl0I4107104T224104R4R因B1、B2、B3的方向都相同，所以O点处总的磁感强度B的大小为
BB1B2B3105105104104T
B的方向垂直纸面向里。
磁场的高斯定理
磁感线
为了形象化的描述磁场分布情况，我们像在电场中用电场线来描述电场的分布那样，用磁感应线简称B线来表示磁场的分布。
为此，我们规定：
1.磁感应线上任一点的切线方向与该点的磁感应强度B的方向一致；
2.磁感应线的密度表示B的大小。
即通过某点处垂直于B的单位面积上的磁感应线条数等于该点处B的大小。
因此，B大的地方，磁感应线就密集；B小的地方，磁感应线就稀疏。
实验上可以利用细铁粉在磁场中的取向来显示磁感应线的分布。
图7-9给出了几种不同形状的电流所产生的磁场的磁感应线示意图。
（a）直电流的磁感应线 （b）圆电流的磁感应线 （c）螺线管电流的磁感应线
图7-9几种不同形状的电流所产生的磁场的磁感应线
从磁感应线的图示，可得到磁感应线的重要性质：
（1）任何磁场的磁感应线都是环绕电流的无头无尾的闭合线。
这是磁感应线与电场线的根本不同点。
它说明任何磁场都是涡旋场。
（2）每条磁感应线都与形成磁场的电流回路互相套合着。
磁感应线的回转方向与电流的方向之间关系遵从右手螺旋法则。
（3）磁场中每一点都只有一个磁场方向，因此任何两条磁感应线都不会相交。
磁感应线的这一特性和电场线是一样的。
磁通量磁场的高斯定理
通过磁场中任一曲面的磁感应线（B线）总条数，称为通过该曲面的磁通量，简称B通量，用Φm表示。
磁通量是标量，但它可有正、负之分。
磁通量Φm的计算方法与电通量Φe的计算方法类似。
如图7-10所示，在磁场中任一给定曲面S上取面积元dS，若dS的法线n的方向与该处磁感应强度B的夹角为θ，则通过面积元dS的磁通量为
dΦmBdSBcosθdS （7-12）式中，dS是面积元矢量，其大小等于dS，其方向沿法线n的方向。
通过整个曲面S的磁通量等于通过此面积上所有面积元磁通量的代数和，即
ΦmdΦmBdSBcosθdS （7-13）
SSS在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，符号为Wb，
1Wb1Tm2
对闭合曲面来说，规定取垂直于曲面向外的指向为法线
于是磁感应线从闭合曲面穿出时的磁通量为正n的正方向。
值（θπ2），磁感应线穿入闭合曲面时的磁通量为负值
图7-10
befc面的磁通量；aefd面的磁通量；整个闭合面的磁通量
解通过befc面的磁通量为
ΦmBdS=BdScos90o0
S
图7-11
通过aefd面的磁通量为
ΦmBdS=BdScosαBSabcdS =2T× =
对整个闭合面而言，面上各点的正法线指向规定向外为正，磁感线从abcd面穿入，则通过abcd面的磁通量为负。
Φm1BdS=BdScosπBSabcdS =2T× =
而通过aefd面的磁通量是穿出的，磁通量为正，得：
Φm2=通过其他三个面的磁通量均为零。
所以通过整个闭合面的磁通量为
ΦmBdS=－＋
=0例7-3真空中一无限长直导线CD，通以电流I＝，若一矩形EFHG与CD共面，如图7-12所示。
其中a=d=，b＝。
求通过矩形EFGH面积S的磁通量。
解于无限长直线电流在面积S上各点所产生的磁感强度B的大小随r不同而不同，所以计算通过S面的磁通量B时要用积分。
为了便于运算，可将矩形面积S划分成无限多与直导线CD平行的细长条面积元dS=bdr，设其中某一面积元dS与CD相距r，dS上各点B的大小视为相等，B的方向垂直纸面向里。
取dS的方向（也就是矩形面积的法线方向）也垂直纸面向里，则
ΦmBdS=BdScos0oBdSSSS
=aμ0IμIbbdrπr2πμ0Ibln22π
107Wb
图7-12
安培环路定理
静电场中的电场线不是闭合曲线，电场强度沿任意闭合路径的环流恒等于零，即
lEdl0。
这是静电场的一个重要特征。
但是在磁场中，磁感应线都是环绕电流的闭合
曲线，因而可预见磁感强度的环流Bdl不一定为零：
如果积分路径是沿某一条磁感应线。
ldl都是大于零，所以则在每一线段元上的B·
lBdl0。
这种环流可以不等于零的场叫
做涡旋场。
磁场是一种涡旋场，这一性质决定了在磁场中不能引入类似电势的概念。
在真空中，各点磁感强度B的大小和方向与产生该磁场的电流分布有关。
可以预见环流Bdl的值也与场源电流的分布有关。
下面的定理将给出它们之间十分简单的定量关
l系。
安培环路定理
为简单起见，下面从特例计算环流Bdl的值，然后引入定理。
l设真空中有一长直载流导线，它所形成的磁场的磁感应线是一组以导线为轴线的同轴圆（图7-13），即圆心在导线上，圆所在的平面与导线垂直。
在垂直于长直载流导线的平面内，任取一条以载流导线为圆心半径为r的圆形环路l作为积分的闭合路径。
图7-13 图7-14
0I则在这圆周路径上的磁感强度的大小为B，其方向与圆周相切。
如果积分路径的绕行
2r方向与该条磁感应线方向相同，也就是积分路径的绕行方向与包围的电流成右螺旋关系，则B与dl间的夹角处处为零，于是
Bdll0I0I0Icos00dldll2r2r2rl2r所以
Bdl=μ0I （7-15a）
l上式说明磁感强度B的环流等于闭合路径所包围的电流与真空磁导率的乘积，而与积分路
径的圆半径r无关。
如果保持积分路径的绕行方向不变，而改变上述电流的方向，于每个线元dl与B的夹角θπ，则
BdlBcosθdlBdl0所以β
Bdl=－μ0I=μ0 （7-15b）
l上式说明积分路径的绕行方向与所包围的电流方向成左旋关系，可认为对路径讲，该电流是
负值。
（7-15a）、（7-15b）两式虽从特例得出，但可证明（从略）：
对于任意形状的载流导线以及任意形状的闭合路径，该两式仍成立。
应指出，当电流未穿过以闭合路径为周界的任意曲面时，路径上各点的磁感强度虽不为零，但磁感强度沿该闭合路径的环流为零，即
Bdl=0 （7-15c）
l，2n）的载流导线穿过以闭合路径l为周界 在一般情况下，设有n根电流为Ii（i1的任意曲面，m根电流为Ij（j1利用（7-15a）、（7-15b）、，2m）的载流导线未穿过该曲面。
dFdFLμ0I1Idxd2πx2
μ0I1I2dL2dx
2πdxμIIdL2
012ln2πd
dL2μdL202I1I2ln4π106N导体L2受力的方向和电流元受力方向一样，也是垂直L2沿图面向上。
代入题设数据后得F107222ln图7-20
磁场对载流线圈的作用力矩
一个刚性载流线圈放在磁场中往往要受力矩的作用，因而发生转动。
这种情况在电磁仪表和电动机中经常用到。
下面我们利用安培定律讨论均匀磁场对平面载流线圈作用的磁力矩。
如图7-21所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一刚性的载流线圈abcd，边长分别为L1和L2，通有电流I。
设线圈平面的法线n的方向（电流I的方向，按右手螺旋法则定出）与磁感应强度B的方向所成的夹角为φ。
ab和cd两边与B垂直。
图可见，线圈
π平面与B的夹角θφ。
2根据安培定律，导线bc和da所受磁场的作用力
分别为F1和F2，其大小
F1IBl1sinθ，F2IBL1sinπθIBL1sinθ
F1和F2大小相等，方向相反，又都在过bc和da中点的同一直线上。
所以它们的合力为零，对线圈不产生力矩。
导线ab和cd所受磁场的作用力分别为F3和F4，根据安培定律，它们的大小为
F3F4IBL2
图7-21
F3和F4大小相等，方向相反，虽然合力为零，但因它们不在同一直线上，而形成一力偶，其力臂为
L1cosθL1cosπφL1sinφ
2因此，均匀磁场作用在矩形线圈上的力矩M的大小为
MF3L1sinφIBL1L2sinφIBSsinφ 式中，S=L1L2为矩形线圈的面积。
M的方向为沿ac中点和bd中点的联线向上。
如果线圈有N匝，则线圈所受力矩为一匝时的N倍，即
MNIBSsinφPmBsinφ
式中，Pm=NIS为载流线圈磁矩的大小，Pm的方向就是载流线圈平面的法线n的方向。
所以上式可以写成矢量形式，即
M=Pm×B 式（7-19）和式（7-20）虽然是矩形载流线圈推导出来的，但可以证明，在均匀磁场中对于任意形状的载流平面线圈所受的磁力矩，上述二式都是普遍适用的。
总之，任何一个载流平面线圈在均匀磁场中，虽然所受磁力的合力为零，但它还受一个磁力矩的作用。
这个磁力矩M总是力图使线圈的磁矩Pm转到磁场B的方向上来。
当φ=π。
2即线圈磁矩Pm与磁场方向垂直，或者说线圈平面与磁场方向平行时，线圈所受磁力矩最大，即
MmaxPmB此也可以得到磁感强度B的大小的又一个定义式，即
BMmaxPm当φ=0即线圈磁矩Pm与磁场方向一致时，磁力矩M=0，此时线圈处于稳定平衡状态；当φ=π时，载流线圈所受的磁力矩为零，此时线圈处于非稳定平衡状态。
磁场对运动电荷的作用力
带电粒子在磁场中运动时，受到磁场的作用力，这种磁场对运动电荷的作用力叫做洛仑兹力。
实验发现，运动的带电粒子在磁场中某点所受到的洛仑兹力f的大小，与粒子所带电量q的量值、粒子运动速度v的大小、该点处磁感强度B的大小以及B与v之间夹角θ的正弦成正比。
在国际单位制中，洛仑兹力f的大小为
fqvBsinθ （7-21）洛仑兹力f的方向垂直于v和B构成的平面，其指向按右手螺旋法则矢积v×B的方向以及q的正负来确定：
对于正电荷（q>0），f的方向与矢积v×B的方向相同；对于负电荷（q<0），f的方向与矢积v×B的方向相反，如图7-22所示。
洛仑兹力f的矢量式为
f=qv×B （7-22）注意，式中的q本身有正负之别，这运动粒子所带电荷的电性决定。
当电荷运动方向平行于磁场时，v与B之间的夹角θ0或θ=π，则洛仑兹力f=0。
当电荷运动方向垂直于磁场时，v与B的夹角
θπ，则运动电荷所受的洛仑兹力最大。
2ffmaxqvB。
图7-22
这正是中定义磁感强度B的大小时引用过的情况。
于运动电荷在磁场中所受的洛仑兹力的方向始终与运动电荷的速度垂直，所以洛仑兹力只能改变运动电荷的速度方向，不能改变运动电荷速度的大小。
也就是说洛仑兹力只能使运动电荷的运动路径发生弯曲，但对运动电荷不作功。
霍耳效应
将通有电流I的金属板置于磁感强度为B的均匀磁场中，磁场的方向和电流方向垂直如图7-23所示，在金属板的第三对表面间就显示出横向电势差，这一现象称为霍耳效应。
UH则称为霍耳电势差。
实验测定，霍耳电势差的大小和电流I及磁感强度B成正比，而与板的厚度d成反比。
这种现象可用载流子受到洛仑兹力来解释。
设一导体薄片宽为l、厚为d，把它放在磁感强度为B的均匀磁场中，通以电流I，方向如图7-23所示。
如果载流子作宏观定向运动的平均速度为v（也叫平均漂移速度，与I的方向相反），则每个载流子受到的平均洛仑兹力Fm的大小为Fm=qvB，它的方向为矢积qv×B的方向。
即图7-23中宽度l向下的方向。
在洛仑兹力作用下，使正载流子聚集于上表面，下表面因缺少正载流子而积累等量异号的负电荷。
随着电荷的积累，在两表面之间出现电场强度为EH的横向电场，使载流子受到与洛仑兹力方向相反的电场力Fe（=qEH）的作用。
达到动态平衡时，两力方向相反而大小相等。
于是有
qvBqEH所以EHvB 图7-23霍耳效应
于半导体内各处，载流子的平均漂移速度相等。
而且磁场是均匀磁场，所以动态平衡时，半导体内出现的横向电场是均匀电场。
于是霍尔电压为UHEHlvlB，于电流Inqvsnqvld，n为载流子密度，上面两式消去v，即得
UH1IB 或写成 UHRHIB （7-23）
dnqd式中RH1叫做材料的霍尔系数。
霍尔系数越大的材料，霍尔效应越显著。
霍尔系数与载
nq流子密度n成反比。
在金属导体中，自电子的浓度大，故金属导体的霍耳系数很小，相应的霍耳电势差也就很弱，即霍耳效应不明显。
而半导体的载流子密度远比金属导体的小，故半导体的霍耳系数比金属导体大得多，所以半导体的霍尔效应比金属导体明显得多。
如果载流子是负电荷（则q0），霍尔系数是负值，则霍尔电压也是负值。
因此可根据霍尔电压的正、负判断导电材料中的载流子是正的还是负的。
在电流、磁场均相同的前提下，应特别注意：
P型半导体和N型半导体的霍耳电势差正负不同。
霍耳系数与材料性质有关。
表7-1列出了几种材料的霍耳系数
表7-1几种材料的霍耳系数
物质锂钠钾铯铜银金化学名称霍耳系数------物质铋镁锌铬铝锡化学名称霍耳系数---LiNaKCsCuAgBeMgZnCrAlSn-铊AuTl用
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