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材料科学基础
第二章
晶向指数和晶面指数
晶向指数［uvw］
晶体中因对称关系而等价的各组晶向可归并为一个晶向族，用＜uvw＞表示。
代表原子排列相
同，空间位向不同的所有晶向。
晶面指数（hkl）
步骤：
（1）设定参考坐标系；
（2）求待定晶面在三个坐标轴上的截距；
（3）取各截距的倒数；（4）将三个倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，
记为（hkl），即表示该晶面的指数。
如果截距为负数，在相应的指数上方加一负号。
例：
已知某晶面在坐标轴上截距为1/2,1/3,2/3，求该晶面指数。
答：
该晶面指数为（463）
推论：
在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相互垂直的。
如［111］垂直于（111）。
例：
求金刚石结构中通过（0,0,0）和（3/4,3/4,1/4）两点决定的晶向，并求与该晶向垂直的晶面。
答：
两点坐标相减后，将其化为一组互质的整数，晶向指数为［331］。
因为立方系中同名晶
面和晶向互相垂直。
则（331）与［331］垂直。
六方晶系指数
采用a1,a2,a3及c四个晶轴表示，其中a1,a2,a3之间的夹角均为120°，晶面指数以
（hkil）四个指数来表示，晶向指数用［uvtw］来表示，要求i=-（h+k）,t=-（u+v）。
晶带：
所有平行或相交于某一晶向直线的晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴。
晶带定律：
晶带轴［uvw］与该晶带的晶面（hkl）之间存在以下关系hu+kv+lw=0
1）2）3）4）见笔记本
立方晶系简单晶胞的晶面间距：
dhkl
低指数的面间距较大，高指数的面间距较小。
晶面间距越大，贝y该晶面上的原子排列越密集；晶面间距越小，贝y排列越稀疏。
2.2种典型的金属晶体结构
面心立方结构（A1或fee）,体心立方结构（A2或bee）,密排六方结构（A3或hcp）晶胞中的原子数（n）
晶胞顶角处的原子被几个晶胞所共有，晶面上的原子被两个晶胞共有，体内的原子单独被一
面心立方结构丹=8X吉+EX号=3
体心立方结构冷=8x£+l=2*
O
密排六方结构壮=12X£+2X寺+3=6口
个晶胞所有。
点阵常数（或晶格常数）
:
由晶胞的棱边长度（a,b,c）来表示。
面心立方结构：
4R
体心立方结构：
4R
a
」2
a二—
点阵常数与原子半径（R）
例：
已知Ni的晶体结构为面心立方结构，其原子半径为
R=0.1243nm，求Ni的晶格常数和
密度。
（Ni的摩尔质量Ar为58.69g/mol，阿伏伽德罗常数NA为6.023X1023）解：
配位数（CN）和致密度（K）
配位数：
指晶体结构中任一原子周围最近邻且等距离的原子数。
致密度：
指晶体结构中原子体积占总体积的百分数。
例：
已知Mn的同素异构体有一立方结构，其晶格常数a=0.632nm，空览;U=7.26g/cm3,
原子半径R=0.122nm，确定该Mn晶胞中的原子数及其致密度。
（Mn的摩尔质量Ar为
54.94g/mol，阿伏伽德罗常数
mnAr
3
VaNA
即：
n
ra3Na
Ar
43
20汽一兀Rnv
20—~0.1223
0.632
33=0.466
-Fe中的C原子所处的位置，若此位置全部被C原子占据，那么，在此情
况下，-Fe能溶解C的质量分数为多少？
实际上碳在铁中的最大溶解质量分数是2.11%,
二者在数值上有差异的原因是什么？
答：
（仁；-Fe为fee结构，八面体间隙的半径为0.414R，四面体间隙半径为0.225R，所以
C原子一般处于八面体间隙位置。
由于fee结构中的的八面体间隙数为4,和原子数相等，
若此类位置全部被C'-Fe中C的原子数分数为50%，质量分数
=12心2+56）=17.6%。
（2）实际上碳在铁中的最大溶解质量分数是2.11%，大大小于理论值，这是因为fee中八面
体间隙半径=0.414R=0.414X0.1288=0.054nm，而C原子的半径为0.077nm，大于八面体间闻.:
半*bFl"汀弊人会引起-Fe晶格畸变，这就妨碍了碳原子进一步的溶入。
合金相分为固溶体和中间相两大类。
固溶体：
是以某一组元为溶剂，在其晶体点阵中溶入其他组元原子（溶质原子）所形成的均
匀混合的固态溶体，它保持着溶剂的晶体结构类型。
中间相：
是指组成合金相的异类原子有固定的比例，所形成的固相的晶体结构与所有组元均
不同，且这种相的成分多数处于A在B中的溶解限度和B在A中的溶解限度之间，即落在相图的中间部位。
随着异类原子的溶入，将引起溶剂晶格常数的改变及晶格畸变，致使合金性能发生变化。
把
形成固溶体而使合金的强度、硬度升高的现象称为固溶强化。
置换固溶体：
当溶质原子溶入溶剂中形成固溶体时，溶质原子占据溶剂点阵的阵点，或者说
溶质原子置换了溶剂点阵的部分溶剂原子所形成的固溶体。
金属元素彼此之间一般都能形成置换固溶体。
影响置换固溶体中溶解度的因素：
（1）晶体结构
（2）、原子尺寸因素（3）、化学亲和力（电负性因素）
4）、原子价因素（5）、温度
当原子尺寸因素有利时，在某些以一价金属为基的固溶体中，溶质的原子价越高，其溶解度
越小。
电子浓度：
合金中价电子数目与原子数目的比值，即e/a。
A（100—x）+Bx
e/a
100
A-溶剂的原子价B-溶质的原子价
x-溶质的原子数分数（%）
例：
根据下表所给值，确定哪一种金属可作为溶质与Ti形成溶解度较大的固溶体，并计算
固溶体中此溶质原子数分数为10%时，相应的质量分数是多少？
Ti
hepa=0.295nm
r=0.145nm
Ar=47.87g/mol
Be
hep
a=0.228nm
r=0.111nm
Ar=9.01g/mol
Al
fee
a=0.404nm
r=0.143nm
Ar=26.98g/mol
V
bee
a=0.304nm
r=0.131nm
Ar=50.94g/mol
Cr
bee
a=0.288nm
r=0.125nm
Ar=52.0g/mol
解:
金属原子一般形成置换固溶体，置换固溶体的固溶度的大小主要取决于晶体结构类型、
原子尺寸、
原子价和化学亲和力等因素。
（1）V、Cr与Ti的晶体结构不同，差异较大，所以一般溶解度较小；
（2）Be与Ti的晶体结构相同，但原子半径相差太大，△r=23%>15%，所以溶解度也不大;
（3）AI与Ti的晶体结构虽然不同，但相近均为密排结构，且原子半径非常接近，二者的化学亲和力也很小，所以AI在Ti中可有较大的固溶度。
当Ti中AI的原子数分数为10%时，相应的质量分数为：
例已知Cu基固溶体的极限电子浓度为1.36,Cu的原子价为1,Zn的原子价为2,Sn的原
子价为4。
（1）Cu-Zn和Cu-Sn组成固溶体最多可溶入多少原子数分数的Zn和Sn?
（2）
若Cu晶体中固溶入Zn的原子数分数为10%，最多还能溶入多少原子数分数的Sn?
解：
（1）设最多可溶入原子数分数为x1的Zn和x2的Sn,根据电子浓度公式得
1X（100-10-x3）+2汉10+4x：
x3
每个晶胞中的原子数为
（°.379510JJ"13=4.002
A19.40910
a=0.4514nm,
例：
渗碳体（Fe3C）是一种间隙化合物，它具有正交点阵结构，其点阵常数
b=0.508nm,c=0.6734nm•其密度=7.66g/cm3，求渗碳体每单位晶胞中含Fe原子和C原子的数目。
（Fe的摩尔质量Ar（Fe）为55.85g/mol,C的摩尔质量Ar（C）为12.011g/mol，阿伏伽德罗常数NA为6.023X1023）
解：
设渗碳体晶胞中C原子个数为x个，则Fe原子的个数为3x个。
mxxAr（C）+3xxAr（Fe）
p==
Va汉bxc汇Na
abcNa
即：
xA
A,C）+3AjFe）
7.660.45140.5080.673410刀6.0231023“c
==3.968叱4
12.011355.85
3x二12
故渗碳体中每单位晶胞内的C原子数为4个，Fe原子数为12个。
第三章
晶体缺陷：
指实际晶体中与理想的点阵结构发生偏差的区域。
这些区域具有晶体结构的基本
特性，仅是晶体中少数原子的排列特征发生了改变。
晶体缺陷对晶体的性能，特别是对结构敏感的性能有很大影响，通过控制点阵中的缺陷，可
获得性能更优异和有实用价值的材料。
根据晶体缺陷的几何特征，可将其分为三类：
（1）点缺陷：
在三维空间各个方向上尺寸都很小，又叫零维缺陷，如空位、间隙原子、杂质和溶质原子等。
（2）线缺陷：
在两个方向上尺寸很小，另外一个方向上延伸较长，也称一维缺陷，如各类位错。
（3）面缺陷：
在一个方向上尺寸很小，另外两个方向上扩展很大，也称二维缺陷，如晶界、相界、孪晶界和堆垛层错等。
点缺陷的类型：
肖特基缺陷弗仑克尔缺陷原子进入其它空位处，使空位消失或移位。
例1:
MgO二」密览对=3.58g/cm3，其晶格常数为0.42nm，MgO为面心立方结构，求每个
MgO晶胞中所含的空位数。
（Mg的摩尔质量Ar（Mg）=24.31g/mol，O的摩尔质量Ar（O）=16g/mol，阿伏伽德罗常数NA=6.023X1023。
）
设单位晶胞内所含的空位数为x个，
（4-x）（Ar（Mg）Ar（O））
a3Na
Na江p江a3
_A,Mg）A,O）
6.
02310233.58（0.4210一7）3
24.3116
点缺陷的平衡浓度
点缺陷一方面造成点阵畸变，使晶体内能升高；另一方面，使晶体熵值增大，因此在一定温度下有一定的平衡浓度
n人/
Aexp（
N
例4:
在某晶体的扩散试验中发现，在500C时，1010个原子中有1个原子具有足够的激活
能，可以跳出其平衡位置而进入间隙位置；在600C时，此比例会增加到109。
（1）求此跳
跃所需要的激活能。
（2）在700C时，具有足够能量的原子所占的比例为多少？
（2）在700C时，
如果一个柏氏矢量是另外两个柏氏矢量之和，则按矢量加法法则有:
aaa
b=db2[u1v1w1][u2v2w2][u1u2,v^v2,w1w2]
nnn
位错强度用|b来表示，
柏氏矢量越大，表明该位错导致点阵畸变越严重，它所处的能量也越高。
例5：
某晶体中有一条位错线b1=a[001]，该位错线的一端露头于晶体表面，另一端与两条
位错线相连接，其中一条位错线b2,求另一条位错线b3的柏氏矢量。
a—aa—a—
b3二d-b2二a[001][111][002][111][111]
2222
运动位错交割后，每根位错线上都可能产生一扭折或割阶，其大小和方向取决于另一个位错
的b,但具有原位错线的b。
所有的割阶都是刃型位错，而扭折可以是刃型，也可以是螺型的。
扭折与原位错线在同一个滑移面上，可以随着主位错线一起运动，几乎不产生阻力，还易于
消失。
割阶与原位错线不在同一滑移面上，除非割阶产生攀移，否则割阶就不能随主位错线一起运
动，成为位错运动的障碍，产生割阶硬化。
位错的应变能：
位错的存在引起点阵畸变，导致能量增高，此增量即为位错的应变能。
位错的应变能包括位错中心畸变能和弹性应变能。
常以弹性应变能代表位错的应变能。
单位长度位错的总应变能E：
位错的线张力T:
位错的线张力是使位错由曲变直的力；在数值上等于单位长度位错的应变能。
对于两端固定的位错弧段，其曲率半径r取决于它所受到的切应力：
作用在位错上的力：
在外切应力作用下，位错将在滑移面上产生滑移运动。
由于位错的移动方向总是与位错线垂
直，可虚拟为有一个垂直于位错线的力。
Fd为作用在单位长度位错上的力：
Fd的方向与位错线垂直并指向滑移面的未滑移部分。
Fd"b
单位长度两平行螺位错的交互作用力fr:
Gbb2
r为两位错间的距离。
fr
2兀r
fr的方向平行于两位错线的连线，且两位错同号相斥，异号相吸。
例6:
假设有两根能量均为E1的左螺旋位错线，当他们无限靠拢时，总能量E为多少？
解：
由于位错的应变能与b2成正比，同号螺位错的能量相同，其柏氏矢量必定相同。
当两个同号位错无限靠拢时，即合并为一根位错，则新位错的柏氏矢量为2b,则其总能量E=4E1。
但实际上此位错反应是无法进行的，因为合并后能量增加，何况同性相斥，两同号位错间的排斥力将不允许他们无限靠拢。
例7:
晶体滑移面上有一位错环，其b=2.5510-10m，外力场在其柏氏矢量方向的切应力
为=10-4G，求此位错环在晶体中能扩张的半径为多大？
解:
当位错所受外力与其线张力达到平衡时，所对应的曲率半径R，即为位错环在晶体中能
扩张的半径，则
Gb
2R
例&在面心立方晶体中，把2个平行的同号同b的螺型位错从距离100nm推近到8nm,
需要做多少功？
已知b=2.1210-10m，G=71010Pa。
解：
两平行单位长度螺位错间的作用力F与其距离r之间的关系式为Gb
则两单位长度位错从100nm推到8nm需要做的功为F=——
2.r
例10:
已知铜晶体的G=4x1010Pa,b=2.5x10-10m.取=0.75,严重变形铜晶体中的位错=1011m/cm3。
试计算单位体积严重变形铜晶体内储存的位错应变能。
解：
（1）单位长度位错的应变能为
E二：
Gt2=0.7541010（2.510-10）2二1.87510—9J/m
（2）单位体积内位错的应变能为
E=EP=1.875汉10一_1011二187.5J/cm3
例11:
如图所示，有两个被钉扎住的刃型位错AB和CD，他们的长度X相等，b的大小和方向也均相同，每个位错都可以看做F-R位错源。
（1）试分析在其增殖过程中二者间的交互作用；（2c1,若能形成一个大的位错源，
c为多少？
解：
两位错在外力作用下将向上弯曲并不断扩大，当他们扩大相遇时，由于相遇处两位错线
均平行于b,并且方向相反，分别属于左螺旋和右螺旋位错，他们互相抵消，将于相互连结
处断开，放出一个大的位错环，形成以A-D两点被钉扎的新位错源。
由于新位错源AD的长度为5X，由临界切应力公式得：
GbGb
例12:
判断下列位错反应能否进行
（1）a[100]a[010]——[111]—[111]
22
aa——
（2）a[100][111][111]
22
解：
（1）几何条件：
反应前a[100]a[010]=a[110]
亠一aa—a
反应后2【111]2【111]=2【220]=a[110]
能量条件：
反应前a|b|2二（a1200）2-（a-..012-0）2二2a2
反应后x|b|^（|121212）2（|...12■12■（-1）2）2
32o2a2a
2
又满足能量条件，故反应式成立。
解：
（2）几何条件：
反应后与反应前一致。
此反应既满足几何条件
a[111]-a[111]=邑[200]=日[100]，
222
能量条件：
反应前'|b|2=a2
反应后X|b|2=（a<12+12+12）2+（a山2+（-1）2+（-1）2）2
22
322
aa
2
此反应虽然满足几何条件，但不满足能量条件，
故该反应式不能成立。
小角度晶界：
相邻晶粒位向差小于100的晶界。
包括对称倾斜晶界、不对称倾斜晶界、扭转晶界
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