n
每个小区间ti1，ti上任取一点i，作和式x（i）ti（）
i1
定义2:
如果对任意的分划及i的任意取法，当d（）0时和式（）都收敛（在X中范数意义下）于同一个元素rX，则抽象函数x（t）在a,b上黎蔓可积的，r称为x（t）在a,b上黎蔓可积，记为
b
x（t）dtr
a
t
性质1:
设抽象函数x（t）黎蔓可积，则抽象函数u（t）x（s）ds在a,b
a
上弗力许可微，且u（t）x（t）,atb（**）
定义3:
设X为巴拿赫空间，F为由X到X的算子，且D（F）R（F）非空，如果xX满足
F（x）x
则称x为算子F的不动点。
换句话说，不动点x是算子方程
F（x）x
（1）的解。
定义4:
设QD（F）,如果存在常数q0,1,使得对任意的x,x"Q均有不等式
||F（x'）F（x"）||q||xx||
（2）
则称F为集合Q上的压缩算子，q称为压缩系数。
定理1（压缩映象原理）设算子F在巴拿赫空间X中的闭集Q为
自己，且F为Q上的压缩算子，压缩系数为q，则算子F在Q内存在唯一的不动点x*，若x。
为Q中任意一点，作序列
Xn1F（Xn），n=0,1,2，（3）
则序列XnQ,且Xnx,并有误差估计
n
llXnX[^-^||F（X0）Xj（4）
证明：
由于FQQ故xnQ
设IxiXJ|F（Xo）X』，利用算子F的压缩性，可依次得到：
11x2x』||F（xi）F（x°）|q||xix』qlbX2II|F（X2）F（Xi）|q||x2x1q2
M
Xn1Xn（5）
现在估计XnpXn，利用（5）式可得到
XnpXnIXnpXnp1||Xnp1XnpJL||Xn1Xn|
np1np2np
qqlq
nnpn
（qq）q
1q1q
即
XnpXn||希||F（X0）X0I（6）
由此可知Xn是柯西点列，由X的完备性知存在X*使得Xnx*又因Q是闭集，故X*Q
现在证明x*是算子F的不动点，由算子F在Q上的压缩性知其在
Q上连续。
事实上，如果x"x'，x",x'Q,则由式
（2）知F（x）"F（x'）
于是在式（3）中令n，既得x*F（x*）。
再证x*的唯一性，设若另有一不动点X，则
Ix*X||F（x*）F（X）|q|x*X||
由于q（0,1），故上式只能在x*x0时成立于是x*x
至于估计式（4）的证明只需在式（6）中令p证毕。
压缩映象原理最常用的两种情形是q=x及Q=sr（a）X中的闭
球。
对于后者，如下列推论所述：
推论1:
设F为闭球&面X上的压缩算子，压缩系数为q,
R（F）X，且
F（a）a（1q）r（7）
则f在中有唯一不动点x*且序列（3）收敛于x*，收敛速度为式（4）,初始近似X。
可在S面中任取。
证明：
只要证明F映帀为自己，如果xS面即xar，则|F（a）a|F（x）x|xaqxa（1q）rqr（1q）rr
二、推广的压缩映象原理
设算子F映集合QX为自己，对任一自然数n，算子F的n次幕定义为：
当xQ时令F2（x）FF（x），如果Fn1（x）已经定义，则令FnFFn1（x）
定理2:
设算子F映闭集QX为自己且对某一自然数k算子Fk为Q上的压缩算子则F在Q中存在唯一不动点x*逼近序列（3）收敛于x*初始近似xoQ为任意。
证明：
当k1时即为定理1,
现设k1，考察算子GFk，根据定理1,G在Q上有唯一的不动点x*，因为算子F与G在Q上可交换，故有：
G（F（x*））F（G（x*））F（x*）
此即表明f（x*）也是G的不动点，但G的不动点是唯一的，故
F（x*）x*即x*也是F的不动点。
下证x唯一。
如果另有；Q，满足
F（x）x，则G（x）Fk（x）x。
但G的不动点是唯一的，故x=x*证毕
三、压缩映象原理的应用
在微分方程，积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在唯
一性以及近似解的收敛性等都是很重要的问题。
为了证明一个微分方
程，积分方程或其它类型的方程存在解。
我们可以将它变成求某一映射的不动点。
现在以大家熟悉的一阶常微分方程
字f（x,y）（8）
dx
为例来说明这一点。
求微分方程（8）满足初始条件yhyo的解与
求解积分方程
x
y（x）yof（t,（t））dt
等价。
为了求积分方程（9），我们可以根据f（x,y）所满足解析条
件适当地取一个度量空间，并在这个度量空间中作映射，
x
（T）（x）=yox°f（t，（t））dt
于是方程（9）的解就转化为求使它满足T。
也就是求出这样的，它经映射T作用后仍变成，这种称为映射T的不动点。
因此求解方程（8）就变成求映射T的不动点。
考察微分方程
ylxxoyo
其中f（x,y）在整个平面内连续，此外还设f（x,y）关于y满足李普希茨条件；
f（x,y）f（x,y）kyy
则通过点Xo,y°微分方程（10）有一条且只有一条积分曲线。
证明：
问题（10）等价于求解下面的积分方程
x
y（x）yof（t,y（t））dt
xo
我们取0使k1用Cx0,xd表示在区间xd,x0
上的连续函数组成的空间，在Cx0必中定义算子（映射）F：
x
Fy（x）yof（t,y（t））dt
x
x
||F（y1）F（y2）||maxf（t,ydt））f（t』2（t））dt
xo
x
maxky1（t）y1（t）dt
XXox0
kmax%⑴y2（t）
|xxo
ky1y2
因k1，由压缩映象原理，存在唯一的连续函数y（x），使
x
y（x）yof（t.y（t））dt
x
由此可以看出，y（t）还是连续可微的，于是yy（t）使是微分方程（10）通过（xo,y。
）积分曲线。
但只定义在X。
xo上，重复利用压缩映象原理，可以将它延拓到整个数轴上。
四、巴拿赫空间中的微分方程
对于微分方程初值问题的解的各种存在唯一定理，利用压缩映象原理，可以给出一种很简单的证明。
下面我们在巴拿赫空间中讨论这一问题，这样做具有普遍性，却并不增加证明的复杂性。
设x（t）为从实数域到某一巴拿赫空间X的抽象函数，我们要讨论
的是非线性微分方程
dx
字f（t,x）（11）
dt
其中F（t，X）是关于两个变元的非线性算子，实变量t0，而x是X的元素。
F的值域也在X中，dx的意义与通常理解的相同：
dt
dx广x（tVt）x（t）
lim
dtVxVt
现假设F为已知，所谓微分方程（11）的初值问题是指求x（t），它满足（11）及初始条件
x（0）X。
（12）
其中xoX
定理3:
设当x为固定且xx0r时F（t,x）在t0,b上连续，而
当t0,b及xxor时有
F（t,x）c（13）
F（t,xJF（t,x2）l为x2（14）
则在0,a（amin（-,-,—））上初值问题（11）、（12）存在唯一一
clb
解x（t）,且xx0r（当t0,a时）。
证明：
所讨论的问题等价于积分方程
x（t）XoF（s,x（s））ds（15）
0
事实上，设x（t）是初值问题（11）、（12）的解，则可将x（t）代入方程（15）,再从0到t积分，考虑到条件（12）,即得式（15）,反之设x（t）满足方程（15），注意到当s0,a时抽象函数F（s，x（s））连续，这是因为||F（s,x（s））F（s,x（s））|
|F（s,x（s））F（s,x（s））||F（s,x（d））F（s,x（s））|
l|x（s）x（s）||F（s,x（s））F（s,x（s））||
又根据x（t）的连续及F（t，x）对t的连续性，当s,s0,a且ss时上式右端的两项均趋于0，根据式（**）即知
x'（t）F（t,x（t））
表明x（t）是问题（11）、（12）的解。
因此，初值问题（11）、（12）等价于求方程（15）的解。
记在0,a上连续，在X中取值的抽象函数x（t）的全体所构成的巴拿赫空间为Cx0,a，其范数定义为
ix（t）iimaxix（t）ii
考察Cx0,a中的闭球
Sr（xo）xCx0,a;x（t）X。
r
s
则非线性算子（x）x0F（s,x（s））ds
0
映Sr（x））为自己，这是因为
s
（x）x）||maxF（s,x（s））ds
0sa0
maxF（s,x（s））dsacr
0sa0
其中用到了不等式（13）
及a的定义。
同时，（x）是sr（x0）上的
（为）
s
（X2）maxF（s,X1（s））F（s,X2（s））ds
0sa0
al|%X2qXiX2
其中q=al<1（由a定义）
于是利用压缩映象原理，方程（15）
这个定理的不足之处是初值问题（11）、（12）的解仅确定在0,a上而不是在0,b上，对于算子F（t，x）附加以较强条件时可以弥补这个缺陷。
定理4:
设算子F（t，x）对每一固定的x,关于t0,b连续且满
足李普希茨条件：
F（t,xJF（tx）lXX2
则初值问题（11）、（12）在0,b上存在唯一解。
我们给出两种证明它们都很简单而富有启发性。
赫空间Cxa,b中考察积分算子
t
（X）XF（s,x（s））ds
0
我们有下列估计式
ItXiX2
由此又有
X-Is
I
2
0sXi
x2ds
I
般地，我们有
n
Xi
n
X2
门上n
n!
在0,b上取最大值，得到
由于当n时|nb%!
0故对于充分大的n,n>Cxo,b中的压缩算
子。
于是定理得证
第二种证明在巴拿赫空间Cx0,b中引入另一种泛数
X11max"xt
显然eK||xq|xtIL|xt||。
我们证明积分算子是这种范数下的
压缩算子。
事实上
s
XiX2IXi（s）X2（s）elsetsds
0
a
IetsdsxX2l
o
©i）NX2
乘以因子e"，再在0,b上取max得到
（Xi）（X2）I（ieIts）XiX2I
五、一个特例一一隐函数存在定理
定理5:
设函数在带状域
axb,y
中处处连续，且处处有关于y的偏导数f；（x,y）
如果还存在常数m和M满足omf'y（x,y）M,mM
贝S方程f（x,y）=0在区间a,b上必有唯一的连续函数y（x）作为
解：
f（x,（x））0,xa,b
证明：
在完备空间Ca,b中作算子（映射）F,使对任意的函数有
（F（（x））（x）丄f（x,（x））按照定理条件，f（x,y）是连续的，故
M
（F）（x）也连续，即FCa,b所以F是Ca,b到自身的映射。
现证F是压缩算子，任取L2Ca,b，根据微分中值定理，存在
01满足
（F2）（x）（Fi）（x）
11
2（x）f2（x））1（x）f2（x））
2（x）1（x）Mmfy'x1（x）（2（x）1（x））a2（x）1（x））
2（x）1（x）（1m
由于0—1,所以令q1—，则有0q1,且
MM
F2（x）F曲q2（x）1（x）
因此，F是压缩映射，由定理1,存在唯一的Ca,b满足F,
即（x）（x）—f（x,（x）），这就是说
M
f（x,（x））0，axb
定理证毕
参考文献：
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人民教育出版社,1980.
[2]李延保，楼宇同.应用泛函分析基础[M].南京：
南京工学院出版社，1986.
[3]李大华.应用泛函简明教程[M].武汉：
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[4]叶怀安.实变于泛函[M].合肥：
中国科学技术大学出版社，1991.
[5]叶怀安.泛函分析[M].安徽：
安徽教育出版社，1984.
[6]刘树琪.泛函分析入门及解题[M].天津：
天津科学技术出版社，1988.
[7]郑维行，王声望.实变函数与泛函分析概要[M]（第二册）.北京：
高等教育出版社，1980.
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高等教育出版社，1984.
[9]张鸣歧.应用泛函分析理论[M].北京：
北京理工大学出版社，1989.
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